2026年高等數(shù)學(xué)最優(yōu)控制專項(xiàng)練習(xí)試題沖刺卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分班級(jí)：__________姓名：__________學(xué)號(hào)：__________得分：__________試卷名稱：2026年高等數(shù)學(xué)最優(yōu)控制專項(xiàng)練習(xí)試題沖刺卷考核對(duì)象：高等院校理工科專業(yè)學(xué)生（中等級(jí)別）題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請(qǐng)判斷下列說(shuō)法的正誤。1.最優(yōu)控制問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)總是連續(xù)可微的。2.最優(yōu)控制問(wèn)題的狀態(tài)方程必須滿足線性時(shí)不變條件。3.最優(yōu)控制問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程是貝爾曼方程的另一種表述形式。4.最優(yōu)控制問(wèn)題的哈密頓函數(shù)是對(duì)狀態(tài)變量和協(xié)狀態(tài)變量的函數(shù)。5.最優(yōu)控制問(wèn)題的極值曲線必須滿足橫截條件。6.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)控制量一定是狀態(tài)變量的線性函數(shù)。7.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的理論基礎(chǔ)。8.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解一定是唯一的。9.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)控制量可以是分段常值函數(shù)。10.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理適用于所有類型的最優(yōu)控制問(wèn)題。二、單選題（每題2分，共20分）請(qǐng)選擇最符合題意的選項(xiàng)。1.在最優(yōu)控制問(wèn)題中，下列哪個(gè)條件是必要條件？（）A.目標(biāo)函數(shù)必須是非負(fù)的B.狀態(tài)方程必須滿足線性時(shí)不變條件C.控制量必須滿足約束條件D.狀態(tài)變量必須滿足初始條件2.最優(yōu)控制問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程中，下列哪個(gè)項(xiàng)是貝爾曼方程的核心部分？（）A.目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)B.狀態(tài)方程的雅可比矩陣C.最優(yōu)值函數(shù)的梯度D.最優(yōu)控制量的約束條件3.最優(yōu)控制問(wèn)題的哈密頓函數(shù)中，下列哪個(gè)變量是協(xié)狀態(tài)變量？（）A.控制量B.狀態(tài)變量C.最優(yōu)值函數(shù)D.時(shí)間變量4.最優(yōu)控制問(wèn)題的橫截條件中，下列哪個(gè)條件是必須滿足的？（）A.狀態(tài)變量的初始值必須為零B.協(xié)狀態(tài)變量的終端值必須為零C.控制量的終端值必須為零D.最優(yōu)值函數(shù)的終端值必須為零5.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪個(gè)條件是關(guān)鍵？（）A.目標(biāo)函數(shù)的凸性B.狀態(tài)方程的線性性C.控制量的連續(xù)性D.最優(yōu)值函數(shù)的平滑性6.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解中，下列哪個(gè)方法可以用于求解？（）A.數(shù)值優(yōu)化方法B.符號(hào)計(jì)算方法C.解析求解方法D.以上都是7.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)控制量中，下列哪個(gè)條件是常見的？（）A.控制量必須是狀態(tài)變量的線性函數(shù)B.控制量必須是時(shí)間變量的線性函數(shù)C.控制量必須是目標(biāo)函數(shù)的線性函數(shù)D.控制量必須是協(xié)狀態(tài)變量的線性函數(shù)8.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪個(gè)條件是假設(shè)？（）A.狀態(tài)方程必須滿足線性時(shí)不變條件B.目標(biāo)函數(shù)必須滿足凸性條件C.控制量必須滿足約束條件D.最優(yōu)值函數(shù)必須滿足平滑性條件9.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解中，下列哪個(gè)方法可以用于驗(yàn)證？（）A.數(shù)值仿真方法B.解析驗(yàn)證方法C.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法D.以上都是10.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪個(gè)條件是應(yīng)用前提？（）A.狀態(tài)方程必須滿足線性時(shí)不變條件B.目標(biāo)函數(shù)必須滿足凸性條件C.控制量必須滿足約束條件D.最優(yōu)值函數(shù)必須滿足平滑性條件三、多選題（每題2分，共20分）請(qǐng)選擇所有符合題意的選項(xiàng)。1.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪些條件是關(guān)鍵？（）A.目標(biāo)函數(shù)的凸性B.狀態(tài)方程的線性性C.控制量的連續(xù)性D.最優(yōu)值函數(shù)的平滑性2.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解中，下列哪些方法可以用于求解？（）A.數(shù)值優(yōu)化方法B.符號(hào)計(jì)算方法C.解析求解方法D.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法3.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)控制量中，下列哪些條件是常見的？（）A.控制量必須是狀態(tài)變量的線性函數(shù)B.控制量必須是時(shí)間變量的線性函數(shù)C.控制量必須是目標(biāo)函數(shù)的線性函數(shù)D.控制量必須是協(xié)狀態(tài)變量的線性函數(shù)4.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪些條件是假設(shè)？（）A.狀態(tài)方程必須滿足線性時(shí)不變條件B.目標(biāo)函數(shù)必須滿足凸性條件C.控制量必須滿足約束條件D.最優(yōu)值函數(shù)必須滿足平滑性條件5.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解中，下列哪些方法可以用于驗(yàn)證？（）A.數(shù)值仿真方法B.解析驗(yàn)證方法C.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法D.理論推導(dǎo)方法6.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪些條件是應(yīng)用前提？（）A.狀態(tài)方程必須滿足線性時(shí)不變條件B.目標(biāo)函數(shù)必須滿足凸性條件C.控制量必須滿足約束條件D.最優(yōu)值函數(shù)必須滿足平滑性條件7.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)控制量中，下列哪些條件是常見的？（）A.控制量必須是狀態(tài)變量的線性函數(shù)B.控制量必須是時(shí)間變量的線性函數(shù)C.控制量必須是目標(biāo)函數(shù)的線性函數(shù)D.控制量必須是協(xié)狀態(tài)變量的線性函數(shù)8.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪些條件是關(guān)鍵？（）A.目標(biāo)函數(shù)的凸性B.狀態(tài)方程的線性性C.控制量的連續(xù)性D.最優(yōu)值函數(shù)的平滑性9.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解中，下列哪些方法可以用于求解？（）A.數(shù)值優(yōu)化方法B.符號(hào)計(jì)算方法C.解析求解方法D.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法10.最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理中，下列哪些條件是應(yīng)用前提？（）A.狀態(tài)方程必須滿足線性時(shí)不變條件B.目標(biāo)函數(shù)必須滿足凸性條件C.控制量必須滿足約束條件D.最優(yōu)值函數(shù)必須滿足平滑性條件四、案例分析（每題6分，共18分）1.問(wèn)題描述：考慮一個(gè)線性時(shí)不變最優(yōu)控制問(wèn)題，狀態(tài)方程為：\[\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),\quadx(0)=x_0\]目標(biāo)函數(shù)為：\[J=\frac{1}{2}x(T)^TQx(T)+\frac{1}{2}\int_0^Tx(t)^TRx(t)\,dt\]控制量\(u(t)\)滿足約束：\[|u(t)|\leq1\]請(qǐng)寫出該問(wèn)題的哈密頓函數(shù)，并說(shuō)明如何利用極值原理求解最優(yōu)控制量\(u(t)\)。2.問(wèn)題描述：考慮一個(gè)非線性最優(yōu)控制問(wèn)題，狀態(tài)方程為：\[\dot{x}(t)=x(t)+u(t)^2,\quadx(0)=1\]目標(biāo)函數(shù)為：\[J=\int_0^1(x(t)^2+u(t)^2)\,dt\]請(qǐng)寫出該問(wèn)題的哈密頓函數(shù)，并說(shuō)明如何利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解最優(yōu)控制量\(u(t)\)。3.問(wèn)題描述：考慮一個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題，狀態(tài)方程為：\[\dot{x}(t)=-x(t)+u(t),\quadx(0)=1\]目標(biāo)函數(shù)為：\[J=\int_0^2(x(t)^2+u(t)^2)\,dt\]控制量\(u(t)\)滿足約束：\[|u(t)|\leq1\]請(qǐng)寫出該問(wèn)題的最優(yōu)性原理，并說(shuō)明如何利用極值原理求解最優(yōu)控制量\(u(t)\)。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述題：請(qǐng)論述最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性原理，并說(shuō)明其在實(shí)際工程中的應(yīng)用價(jià)值。2.論述題：請(qǐng)論述最優(yōu)控制問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，并說(shuō)明其在求解復(fù)雜控制問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì)與局限性。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題（每題2分，共20分）1.√最優(yōu)控制問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)通常假設(shè)為連續(xù)可微，以保證優(yōu)化問(wèn)題的可解性。2.×最優(yōu)控制問(wèn)題的狀態(tài)方程可以是線性的或非線性的，不一定滿足時(shí)不變條件。3.√動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程是貝爾曼方程的另一種表述形式，用于求解最優(yōu)控制問(wèn)題。4.√哈密頓函數(shù)是狀態(tài)變量、協(xié)狀態(tài)變量和控制量的函數(shù)，用于描述最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性條件。5.√極值曲線必須滿足橫截條件，以保證最優(yōu)解的可行性。6.×最優(yōu)控制量的形式可以是線性的或非線性的，不一定必須是狀態(tài)變量的線性函數(shù)。7.√最優(yōu)性原理是動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的理論基礎(chǔ)，用于求解最優(yōu)控制問(wèn)題。8.×最優(yōu)解不一定是唯一的，可能存在多個(gè)最優(yōu)解。9.√最優(yōu)控制量可以是分段常值函數(shù)，例如在約束條件下。10.×最優(yōu)性原理適用于某些類型的最優(yōu)控制問(wèn)題，但不適用于所有問(wèn)題。二、單選題（每題2分，共20分）1.C控制量必須滿足約束條件，這是最優(yōu)控制問(wèn)題的基本要求。2.C最優(yōu)值函數(shù)的梯度是貝爾曼方程的核心部分。3.B協(xié)狀態(tài)變量是哈密頓函數(shù)中的狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。4.B協(xié)狀態(tài)變量的終端值必須為零，這是橫截條件的關(guān)鍵。5.A目標(biāo)函數(shù)的凸性是最優(yōu)性原理的關(guān)鍵條件。6.D以上都是，數(shù)值優(yōu)化方法、符號(hào)計(jì)算方法和解析求解方法都可以用于求解最優(yōu)控制問(wèn)題。7.A控制量通常是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，這是常見的最優(yōu)控制形式。8.B目標(biāo)函數(shù)必須滿足凸性條件，這是最優(yōu)性原理的假設(shè)。9.A數(shù)值仿真方法可以用于驗(yàn)證最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)解。10.B目標(biāo)函數(shù)必須滿足凸性條件，這是最優(yōu)性原理的應(yīng)用前提。三、多選題（每題2分，共20分）1.A,D目標(biāo)函數(shù)的凸性和最優(yōu)值函數(shù)的平滑性是關(guān)鍵條件。2.A,B,C數(shù)值優(yōu)化方法、符號(hào)計(jì)算方法和解析求解方法都可以用于求解最優(yōu)控制問(wèn)題。3.A,B控制量通常是狀態(tài)變量或時(shí)間變量的線性函數(shù)。4.A,B,C狀態(tài)方程的線性性、目標(biāo)函數(shù)的凸性和控制量的約束條件是假設(shè)條件。5.A,B,C數(shù)值仿真方法、解析驗(yàn)證方法和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法都可以用于驗(yàn)證最優(yōu)解。6.A,B,C狀態(tài)方程的線性性、目標(biāo)函數(shù)的凸性和控制量的約束條件是應(yīng)用前提。7.A,B,D控制量通常是狀態(tài)變量、時(shí)間變量或協(xié)狀態(tài)變量的線性函數(shù)。8.A,D目標(biāo)函數(shù)的凸性和最優(yōu)值函數(shù)的平滑性是關(guān)鍵條件。9.A,B,C數(shù)值優(yōu)化方法、符號(hào)計(jì)算方法和解析求解方法都可以用于求解最優(yōu)控制問(wèn)題。10.A,B,C狀態(tài)方程的線性性、目標(biāo)函數(shù)的凸性和控制量的約束條件是應(yīng)用前提。四、案例分析（每題6分，共18分）1.哈密頓函數(shù)：\[H=\frac{1}{2}x^TQx+\frac{1}{2}\int_0^Tx^TRx\,dt+\lambda^T(Ax+Bu)\]極值原理：-最優(yōu)性原理：\[\frac{\partialH}{\partialu}=0\Rightarrow\lambda^TB=0\]\[\dot{\lambda}=-\frac{\partialH}{\partialx}=-Qx-Rx\]-橫截條件：\[\lambda(T)=0\]求解步驟：1.由\(\lambda^TB=0\)得到最優(yōu)控制量\(u(t)\)的形式。2.代入狀態(tài)方程和協(xié)狀態(tài)方程，求解微分方程組。3.利用橫截條件確定終端協(xié)狀態(tài)變量。2.哈密頓函數(shù)：\[H=x^2+u^2+\lambda(x+u^2)\]動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法：-貝爾曼方程：\[V(x)=\min_{u}\left\{x^2+u^2+\lambda(x+u^2)+V(x+u)\right\}\]-求解步驟：1.對(duì)\(u\)求導(dǎo)并令其為零，得到最優(yōu)控制量\(u^\)。2.代入貝爾曼方程，求解最優(yōu)值函數(shù)\(V(x)\)。3.最優(yōu)性原理：\[H=x^2+u^2+\lambda(-x+u)\]-最優(yōu)性條件：\[\frac{\partialH}{\partialu}=0\Rightarrow2u+\lambda=0\Rightarrowu=-\frac{\lambda}{2}\]\[\dot{\lambda}=-\frac{\partialH}{\partialx}=-2x+\lambda\]-橫截條件：\[\lambd