作課人：廉文杰數(shù)學(xué)之王——?dú)W拉北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)作課人：廉文杰焦作市外國(guó)語(yǔ)中學(xué)第一章

預(yù)備知識(shí)第4節(jié)

一元二次函數(shù)與一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法

第1課時(shí)（共1課時(shí)）學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)目

標(biāo)重

點(diǎn)難

點(diǎn)1、一元二次不等式的解法。1、通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.2、了解圖象法解一元二次不等式.3、掌握代數(shù)法解一元二次不等式.1、理解一元二次不等式與一元二次函數(shù)之間的聯(lián)系。新

知

引

入數(shù)學(xué)王子——高斯k≠0時(shí)，y=kx+b叫作__________________kx+b=0叫作__________________kx+b＞0，kx+b＜0，kx+b≥0，kx+b≤0叫作_________________一元一次函數(shù)一元一次方程一元一次不等式

使得一元一次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個(gè)一元一次不等式的解集。學(xué)

習(xí)

新

知?dú)W幾里得（約公元前300年）《幾何原本》a≠0時(shí)，y=ax2+bx+c叫作___________________ax2+bx+c=0叫作___________________ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0，ax2+bx+c≥0，ax2+bx+c≤0叫作___________________

使得一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個(gè)一元二次不等式的解集。一元二次函數(shù)一元二次方程一元二次不等式新

知

引

入韋

達(dá)1、畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象。3、方程x2-2x-3=0的實(shí)數(shù)根是_________-1或32、圖象與x軸的交點(diǎn)是______________(-1,0),(3,0)這說(shuō)明一元二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根。反之，一元二次方程的根是其對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。那么，一元二次函數(shù)與一元二次不等式之間有什么聯(lián)系呢？新

知

引

入布

豐設(shè)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),觀察圖像：1、滿足x＜-1或x＞3的點(diǎn)都在在x軸的_______，

此時(shí)，這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)y______0.即x＜-1或x＞3時(shí)，y___0即x2-2x-3____0反之，當(dāng)x2-2x-3＞0即y＞0時(shí)，x___-1或x____3所以就說(shuō)一元二次不等式x2-2x-3＞0的解是________________，解集是__________________上方＞＞＞＜＞x＜-1或x＞3{x|x＜-1或x＞3}新

知

引

入伯努利2、滿足-1＜x＜3的點(diǎn)都在在x軸的________，

此時(shí)，這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_____0.

即-1＜x＜3時(shí)，y_____0即x2-2x-3______0

反之，當(dāng)x2-2x-3＜0即y＜0時(shí)，-1_____x______3所以就說(shuō)一元二次不等式x2-2x-3＜0的解是_____________，解集是___________________下方＜＜＜＜＜-1＜x＜3{x|-1＜x＜3}設(shè)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),觀察圖像：學(xué)

習(xí)

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》一元二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系

方程根的判別式函數(shù)的圖象方程的實(shí)數(shù)根不等式的解集的解集

無(wú)實(shí)根

學(xué)

習(xí)

新

知阿波羅尼奧斯（約公元前200年）

《圓錐曲線論》

學(xué)

習(xí)

新

知拉格朗日(1)圖像法：(2)代數(shù)法：解一元二次不等式的常見(jiàn)方法

一般步驟：①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c

圖像的簡(jiǎn)圖；③由圖像得出不等式的解集。

將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解。當(dāng)m<n時(shí)，若(x－m)(x－n)>0，則可得x>n或x<m；

若(x－m)(x－n)<0，則可得m<x<n?？谠E如下：大于取兩邊，小于取中間。3、恒成立問(wèn)題：①不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立

?________________

或_________②不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立?_________________或_________學(xué)

習(xí)

新

知拉格朗日1、一元二次不等式解集的_________即為相應(yīng)一元二次方程的實(shí)數(shù)根.

端點(diǎn)值f(x)g(x)＞0f(x)g(x)＜0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)＞0或f(x）=0f(x)g(x)≤0且g(x)≠0f(x)g(x)＜0或f(x）=0

典

例

引

路集合論之父——康托例1、解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;（2）9x2-6x+1>0(3)-x2+4x-4>0

解:不等式可化為x2-4x+4<0畫出函數(shù)y=x2-4x+4的圖像.所以不等式的解集為?同

步

練

習(xí)無(wú)冕的數(shù)學(xué)之王——希爾伯特練1、解下列不等式:(1)-x2+7x>6.(2)-x2+2x-3>0(3)x2-2x+1＞0解：原不等式可化為x2-7x+6<0,畫出函數(shù)y=x2-7x+6的圖像，與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(6,0).所以不等式的解集為{x|1＜x＜6}解:不等式可化為x2-2x+3<0畫出函數(shù)y=x2-2x+3的圖像.所以不等式的解集為?解：畫出函數(shù)y=x2-2x+1圖象，圖像與x軸的交點(diǎn)為（1,0）。1所以不等式的解集為{x|x≠1}典

例

引

路柯

西例2、解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;解:不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.解：由(x-3)(x-7)=0得x=3或x=7,

故不等式的解集是{x|3<x<7}.解：不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象開(kāi)口向上,所以不等式的解集是R.同

步

練

習(xí)解析幾何之父——笛卡爾

典

例

引

路牛

頓

同

步

練

習(xí)黎

曼

典

例

引

路狄利克雷例4、解關(guān)于x的不等式ax2+(a-2)x-2≥0(a<0).

同

步

練

習(xí)龐加萊練4、解關(guān)于x的不等式(x-a)(x-a2)<0.解:由(x-a)(x-a2)=0得x=a或x=a2

當(dāng)a<a2即a<0,或a>1時(shí),不等式的解集為{x|a<x<a2};

當(dāng)a2<a即0<a<1時(shí),不等式的解集為{x|a2<x<a};

當(dāng)a2=a即a=0,或a=1時(shí),原不等式無(wú)解.綜上,當(dāng)a<0,或a>1時(shí),原不等式的解集為{x|a<x<a2};

當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為{x|a2<x<a};

當(dāng)a=0,或a=1時(shí),原不等式的解集為?.典

例

引

路傅里葉例5、已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.

同

步

練

習(xí)萊布尼茲

C典

例

引

路皮

亞

諾

同

步

練

習(xí)洛必達(dá)

典

例

引

路華羅庚