第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.3.1對(duì)數(shù)的概念

一、教學(xué)目標(biāo)1.初步理解對(duì)數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化．2.了解指數(shù)與對(duì)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，在概念指導(dǎo)下完成對(duì)數(shù)計(jì)算．3.通過轉(zhuǎn)化與劃歸思想方法的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)的概念的理解．難點(diǎn)：對(duì)數(shù)的概念的理解，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化．

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境情境：十六世紀(jì)末到十七世紀(jì)初，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科.可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間.299792.468×31536000=？（光速m/s）（一年s）數(shù)學(xué)家們也感慨：“沒有什么比大數(shù)的乘、除、開平方或開立方運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭疼、更阻礙著計(jì)算，這不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且容易出錯(cuò).”問題：如何簡(jiǎn)化“大數(shù)”的運(yùn)算呢？…思考：觀察下列各式，你能簡(jiǎn)化乘法運(yùn)算嗎？（1）16×64=（2）256×1024=答：24×26=24+6=21028×210=28+10=218思考：上面的乘法運(yùn)算是怎樣完成的？答：乘法轉(zhuǎn)換成加法，先把兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪，再利用同底數(shù)冪的乘法法則來完成.思考：如何將5×123456789轉(zhuǎn)化為加法呢？答：2m=5，2n=123456789思考：滿足2m=5的m一定存在嗎？為什么？滿足2n=123456789的n呢？答：存在且唯一.為了體現(xiàn)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，英國數(shù)學(xué)家約翰?納皮爾創(chuàng)造了“Logarithm（對(duì)數(shù)）”一詞，直至1624年，開普勒將其簡(jiǎn)化為“Log”，經(jīng)過多次演變現(xiàn)在用“l(fā)og”.m是以2為底的冪5所對(duì)應(yīng)的指數(shù).記作：m=log25n=log2123456789.應(yīng)用本小節(jié)對(duì)數(shù)的概念的相關(guān)知識(shí)，我們就能清晰地描述并解決上述問題了，讓我們一起探究吧．設(shè)計(jì)意圖：通過初中所學(xué)及實(shí)例，引發(fā)學(xué)生的思考，大膽猜想，使他們體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，我們生活在充滿數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實(shí)世界中.能促進(jìn)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識(shí)周圍的事物，有效的促進(jìn)知識(shí)的遷移.（二）探究新知任務(wù)1：探究對(duì)數(shù)的概念.探究：你能通過上述情境歸納出對(duì)數(shù)的概念嗎？師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.答：一般地，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：x=例如：1.11x=2

?

x42=16

2=log416

讀作：以4探究：閱讀教科書“對(duì)數(shù)的概念”，說說什么是常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)？它們?nèi)绾伪硎?？師生活?dòng)：獨(dú)自思考，并匯報(bào)交流.總結(jié)：常用對(duì)數(shù)：將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e

=2.71828…為底的對(duì)數(shù)，稱為自然對(duì)數(shù)，并把loge設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例，讓學(xué)生感知、了解，進(jìn)而概括出對(duì)數(shù)的含義.提高學(xué)生用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題的能力.任務(wù)2：探究對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系.探究：底數(shù)a、指數(shù)x（對(duì)數(shù)）、冪N（真數(shù)）有什么關(guān)系?如何表達(dá)？答：當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，ax=N?x=logaN，指數(shù)與對(duì)數(shù)互化．任務(wù)3：探究對(duì)數(shù)的性質(zhì).對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；②loga③loga探究：你能利用對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系論證上述結(jié)論嗎？答：利用對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系證明兩個(gè)結(jié)論.因?yàn)閍x=N(a>0且因?yàn)閍0=1，所以loga1=0；設(shè)loga1=x，則有ax=1=a設(shè)logaa=x，則有ax=思考：logaa答：設(shè)logaax=m?am=ax，設(shè)logaN=t結(jié)論：logaax=設(shè)計(jì)意圖：通過思考進(jìn)一步使學(xué)生熟練掌握指對(duì)互化的流程與技巧以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)，教會(huì)學(xué)生解決和研究問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括等一般能力的發(fā)展．（三）應(yīng)用舉例例1將下列指數(shù)形式化為對(duì)數(shù)形式，對(duì)數(shù)形式化為指數(shù)形式：（1）54＝625；（2）2-6＝164；（3）1（4）log1216=?4；（5）lg

0.01=?2；答：(1)解：(1)由54＝625，可得log5625＝4(2)由2-6＝164，可得(3)由13m=5.73(4)由log1216=4(5)由lg0.01＝-2，可得10-2＝0.01；(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.例2求下列各式中的x的值.(1)log64x=?23；(2)logx8=6；(3)lg100＝x；(解：(1)因?yàn)閘og64x=?23，所以(2)因?yàn)閘ogx8=6，所以x6=8，又(3)因?yàn)閘g100＝x，所以10x=100，10x(4)因?yàn)?lne2=x，所以lne2=?x，e2=總結(jié)：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的方法：1.將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，只需要將冪作為真數(shù)，指數(shù)當(dāng)成對(duì)數(shù)值，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式.2.將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，只需將真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.例3在對(duì)數(shù)式b=log(a?3)(5?a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(?∞，3)∪(5，+∞) B．(3，5) C．(3，4) D．(3，4)?(4，5)解：要使對(duì)數(shù)式b=log(a?3)(5?a)有意義，需滿足a?3>0a?3解得3<a<4或4<a<5，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，4)?(4，5)．總結(jié)：要求對(duì)數(shù)的值，設(shè)對(duì)數(shù)為某一未知數(shù)，將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解.例4求下列各式中x的值log3(lgx)＝1；(2)ln[log2(lgx)]＝0.解：(1)∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx=3，(2)∵ln[log2(lgx)]＝0，∴l(xiāng)og2lgx＝1∴x=例5以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是( )A、lg(C、若e＝lnx，則x=e解：因?yàn)?/p>

lg(lg10)=lg(若e=lnx，則x=eelg1=0，而ln0沒有意義，故D錯(cuò)誤總結(jié)：1.利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求解的2類問題的解法（1）求多重對(duì)數(shù)式的值解題方法是由內(nèi)到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值.（2）已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解.2.性質(zhì)alogaN=（1）alogaN=（2）logaab=loglogaax=設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例，讓學(xué)生感知、了解對(duì)數(shù)的概念，進(jìn)而會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，提高學(xué)生用對(duì)數(shù)的性質(zhì)思考并解決問題的能力．課堂練習(xí)1.若lnx=6，lny=3，則xA.1e3 B.1e2 C.解：因?yàn)閘nx=6，所以x=e6，y=e故選：D．2.已知2a=3，log45=b解：由題意，2a=3，∴4故8a故答案為：271253.設(shè)m，n是方程(lgx)2?lg解：由方程(lgx)2?lg令t=lgx，得方程因?yàn)閙，n是方程(lgx所以lgm,lgn是關(guān)于tΔ=1?4×2×(?2)=17>0則有l(wèi)gm+lgn故答案為：104.若xex=1，lny?eA.3 B.e C.1e D.解：由lny?ey=1，可得令t=lny又因?yàn)閥=xe所以t=x，即則xy=故選B．5.已知函數(shù)fx=b+2a?12x?a解：依題意函數(shù)

fx

又

2x?a≠0

，所以所以

fx

定義域?yàn)?/p>

x|因?yàn)?/p>

fx

的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以

log2a=0

，解得又

f?x=?fx

所以

b?2x2x?1所以

b=12

，所以

故答案為：

12

6.已知函數(shù)y=fx的表達(dá)式為fx=3?2x?1，若對(duì)于任