2026屆北京市第101中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代號(hào)x01234年銷量y1015m3035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）A.22 B.20C.30 D.32.52．設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（）A.6 B.8C.9 D.103．驚艷全世界的南非雙曲線大教堂是由倫敦著名的建筑事務(wù)所完成的，建筑師的設(shè)計(jì)靈感源于想法：“你永無止境的愛是多么的珍貴，人們?cè)谀阈蹅サ某岚蛳卤幼o(hù)”.若將如圖所示的雙曲線大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.505．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則函數(shù)（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值6．已知點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.47．若，則下列不等式不能成立是（）A. B.C. D.8．已知橢圓，則橢圓的長軸長為（）A.2 B.4C. D.89．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.110．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.11．如圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的的值為（）A. B.2C. D.312．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，則對(duì)角線的長度為___.14．在等差數(shù)列中，，公差，則_________15．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為___________.16．若兩條直線與互相垂直，則a的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù)（1）若在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍19．（12分）已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）若不過原點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)并求出定點(diǎn)坐標(biāo).21．（12分）已知直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的方程為（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求與圓相交所得的弦長；（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，，且為的中點(diǎn)，求直線的方程22．（10分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出樣本中心的橫坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出樣本中心的縱坐標(biāo)，然后求解即可【詳解】因?yàn)?，代入回歸直線方程為，所以，，于是得，解得故選：B2、A【解析】計(jì)算拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)距離結(jié)合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，到軸的距離是4，故到準(zhǔn)線的距離是，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是.故選：A.3、B【解析】首先根據(jù)雙曲線的漸近線方程得到，從而得到，，，再求離心率即可.【詳解】雙曲線，，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，即，所以，解得，所以，，，.故選：B4、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B5、A【解析】對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)a，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.【詳解】由題設(shè)，且，∴，可得.∴且，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A6、B【解析】先求出拋物線方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線中得：，解得：，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為故選：B7、C【解析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，利用賦值法即可判斷C，如.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，，故ABD正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤.故選：C.8、B【解析】根據(jù)橢圓的方程求出即得解.【詳解】解：由題得橢圓的所以橢圓的長軸長為.故選：B9、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為1，故選：D.10、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.11、B【解析】根據(jù)程序流程圖依次算出的值即可.【詳解】，第一次執(zhí)行，，第二次執(zhí)行，，第三次執(zhí)行，，所以輸出.故選：B12、A【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用，兩邊平方后，利用向量數(shù)量積計(jì)算公式，計(jì)算得.【詳解】對(duì)兩邊平方并化簡得,故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量的加法和減法運(yùn)算，考查空間向量數(shù)量積的表示，屬于中檔題.14、15【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式直接可得.【詳解】.故答案為：1515、【解析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出圓心到定點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：816、4【解析】兩直線斜率均存在時(shí)，兩直線垂直，斜率相乘等于-1，據(jù)此即可求解.【詳解】由題可知，.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進(jìn)行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點(diǎn)，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O(shè)原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖：設(shè)|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設(shè)平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設(shè)二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒18、（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由可求得實(shí)數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得，即可證得結(jié)論成立；（3）分析可知在上存在唯一的極值點(diǎn)，且，可得出，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，再構(gòu)造，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，即可得出的取值范圍.【小問1詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?由題意可得，解得.【小問2詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，其中，則，故函數(shù)在上遞減，因?yàn)?，，所以，存在，使得，則，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，.【小問3詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，其中，則，所以，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在上存在唯一的極值點(diǎn)，且為極大值點(diǎn)，且，即，所以，，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，由，可得，?gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).19、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得數(shù)列的和；（2）由題得，再利用分組求和求出，得到，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性得解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由題意：，，，令，則，即對(duì)任意的恒成立，是單調(diào)遞增數(shù)列，，只需，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的最值，常用數(shù)列的單調(diào)性求解，求數(shù)列的單調(diào)性，一般利用定義法作差或作商判斷.20、（1）（2）證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為(8,0).【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求出結(jié)果；（2）由題意直線方程可設(shè)為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)韋達(dá)定理，化簡求解，即可求出定點(diǎn).【小問1詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)，設(shè)拋物線的方程為，到焦點(diǎn)的距離為6，即有點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，即解得，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設(shè)為,與拋物線聯(lián)立得，消去得,設(shè)，則,則，,由，可得，所以，即，亦即，又，解得，所以直線方程為，易得直線過定點(diǎn).21、（1）（2）或【解析】（1）、由題意可知直線的方程為，圓的圓心為，半徑為，求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理即可求出與圓相交所得的弦長；（2）、設(shè)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，均在圓上，將，坐標(biāo)代入圓方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，