壓軸題型05三角函數(shù)的取值范圍及解三角形中的范圍與最值問題命題猜測(cè)三角函數(shù)與解三角形是每年高考?？純?nèi)容，在選擇、填空題中考查較多，有時(shí)會(huì)消滅在選擇題、填空題的壓軸小題位置，綜合考查以解答題為主，中等難度．高頻考法（1）取值與范圍問題（2）面積與周長的最值與范圍問題（3）長度的范圍與最值問題01取值與范圍問題1、在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)同理，在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)2、在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)同理在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)3、在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)同理在區(qū)間內(nèi)有個(gè)零點(diǎn)4、已知一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，由于對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的水平距離為，則．5、已知單調(diào)區(qū)間，則.【典例1-1】（2025·江蘇南通·二模）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，又，由，得到，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，依題有，則，得到，故選：B.【典例1-2】（2025·四川瀘州·三模）已知函數(shù)（）在有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以，由于函數(shù)（）在有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，解得，故選：B.【變式1-1】（2025·四川德陽·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足．給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）①；②若，則函數(shù)的最小正周期為；③關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；④若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①由于且，所以.①正確.②由于所以的對(duì)稱軸為,.②正確.③在一個(gè)周期內(nèi)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且，.當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上實(shí)數(shù)解最多為共3個(gè).③正確.④函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)零點(diǎn)，，解得；又由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)且，，即，所以.④錯(cuò)誤故選：C【變式1-2】（2025·江蘇泰州·模擬猜測(cè)）設(shè)函數(shù)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令得，由于，所以，令，解得或，從小到大將的正根寫出如下：，，，，，……，由于，所以，當(dāng)，即時(shí)，，解得，此時(shí)無解，當(dāng)，即時(shí)，，解得，此時(shí)無解，當(dāng)，即時(shí)，，解得，故，當(dāng)，即時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.故選：A02面積與周長的最值與范圍問題正弦定理和余弦定理是求解三角形周長或面積最值問題的殺手锏，要牢牢把握并機(jī)敏運(yùn)用．利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，并結(jié)合正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，再結(jié)合角的范圍、幫助角公式、基本不等式等求其最值．【典例2-1】（2025·青?！つM猜測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為S．周長為L，求的最大值．【解析】（1）由正弦定理可得，，所以,所以，即，由，可知，所以，即，由，知.（2）由余弦定理，得，即，所以，即，由于，，所以，所以，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最大值為.【典例2-2】（2025·陜西漢中·二模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，請(qǐng)從下列條件中選擇一個(gè)條件作答：（注：假如選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．）①記的面積為S，且；②已知．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．【解析】（1）選條件①，由，得，整理得，而，所以.選條件②，由及正弦定理，得，而，則，整理得，而，所以.（2）由（1）知，由正弦定理得，因此由為銳角三角形，得，解得，因此，則，于是，，所以周長的取值范圍是.【變式2-1】（2025·寧夏銀川·二模）已知平面四邊形中，.(1)若，求；(2)若的面積為，求四邊形周長的取值范圍.【解析】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由于，所以，即，解得.（2）由已知，得，在中，，由余弦定理得，則，設(shè)，在中，由余弦定理得，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以四邊形周長的取值范圍為.【變式2-2】（2025·四川德陽·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【解析】（1）由于中，，即，而，故，故，又，則；（2）由（1）以及題設(shè)可得；由正弦定理得，由于為銳角三角形，，，則，則，則，即，則，即面積的取值范圍為.03長度的范圍與最值問題對(duì)于利用正、余弦定理解三角形中的最值與范圍問題，主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍，確定所求式的范圍．【典例3-1】（2025·貴州遵義·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若為銳角三角形，，求b的取值范圍．【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，則，即，而，于是，又，所以.（2）由（1）知，，由正弦定理得，由為銳角三角形，得，解得，則，,則，所以b的取值范圍是.【典例3-2】（2025·寧夏固原·一模）在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且．(1)求證：；(2)求的取值范圍．【解析】（1）由于，所以，則，由正弦定理可得，即，所以，又，故，由，故；（2）由（1）得，由于，所以由正弦定理得，又銳角中，有，解得，所以，則，所以，即，故的取值范圍為.【變式3-1】（2025·河北衡水·一模）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，三角形面積為，若為邊上一點(diǎn)，滿足，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.【解析】（1），，即，由正弦定理得，，，，，，由，得.（2）由（1）知，，由于，所以，，在中，由正弦定理得，即，在中，，，，,，，，，所以的取值范圍為.【變式3-2】（2025·陜西安康·模擬猜測(cè)）已知銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，其中，，且．(1)求證：；(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求的取值范圍．【解析】（1）由于，即，由正弦定理可得，又，即，所以，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，即，整理得，又由于為銳角三角形，則，可得，所以，即.（2）由于點(diǎn)在線段上，且，即平分，又，所以，則，在中，由正弦定理得，所以，由于為銳角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長度的取值范圍.1．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理得，即，又為銳角三角形，，又，則，解得，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，所以.故選：C2．已知函數(shù)，現(xiàn)有如下說法：①若，函數(shù)在上有最小值，無最大值，且，則；②若直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且在上單調(diào)遞減，則的最大值為；③若在上至少有2個(gè)解，至多有3個(gè)解，則；則正確的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】對(duì)于①，由于時(shí)，有最小值，所以，所以，得到，由于在區(qū)間上有最小值，無最大值，所以，即，令，得，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，依據(jù)題意，有，得出，即，得到或，故②正確；對(duì)于③，令或，則或，故需要上述相鄰三個(gè)根的距離不超過，相鄰四個(gè)根（距離較小的四個(gè)）的距離超過，即，解得，故③正確，故選：C．3．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知易知，當(dāng)時(shí)，所以要滿足題意有.故選：C4．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，再把橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到函數(shù)的圖象．若點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，所以將的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，再把所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得到函數(shù)的圖象，由于點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，所以，解得，又，所以的最小值為．故選：C5．已知函數(shù)，若將的圖象向左平移個(gè)單位后所得的函數(shù)圖象與曲線關(guān)于對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】函數(shù)，的圖象向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，于是對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，因此，解得，而，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A6．（多選題）中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．若，則只有一解C．若為銳角三角形，則取值范圍是D．若為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由于，所以，則，由于，所以，故A正確；對(duì)于B，由于，則，，故只有一解，故B正確；對(duì)于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若D為邊上的中點(diǎn)，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即，故D正確.故選：ABD.7．已知函數(shù)，若的圖象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，則的取值范圍是．【答案】【解析】由于，由于的圖象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，所以，解得，所以的取值范圍是．故答案為：.8．已知函數(shù)，若，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【解析】設(shè)，，則，所以問題轉(zhuǎn)化為在上存在最大值和最小值，由正弦函數(shù)圖象可得，，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，即，所以時(shí)，全部狀況的范圍的并集為；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或.9．已知函數(shù)滿足，且在區(qū)間上恰有兩個(gè)最值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由于，所以，所以，，即，，所以．當(dāng)時(shí)，．由于在區(qū)間上恰有兩個(gè)最值，且，所以，解得．故答案為：．10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，又的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，解得，且，解得，又，所以0，所以的取值范圍為.故答案為：11．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的最大值為．【答案】【解析】由題得：，令，則在單調(diào)遞減，故，由，故，所以的最大值為，故答案為：.12．已知函數(shù)，且，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，與函數(shù)的圖象相鄰的三個(gè)交點(diǎn)依次為A，B，C，且，則的取值范圍是．【答案】【解析】依題意，函數(shù)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，由，得，且，解得，，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，觀看圖象知，，取中點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性知，，由，得，即，，由，得，則，解得，于是，則，因此，解得，所以的取值范圍是.故答案為：13．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值為．【答案】【解析】如圖所示，則的面積為，則，所以，明顯，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.故答案為：.14．在銳角中，角所對(duì)邊的邊長分別為，且.(1)求角；(2)求的取值范圍.【解析】（1），，又，，.（2）由（1）可知，，且為銳角三角形，所以，，則，由于，.15．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大?。?2)求的取值范圍．【解析】（1）由于，由正弦定理邊化角得：，所以，由于在中，，所以，即，又，所以.（2）由（1）可知，所以，所以由于在銳角中，，所以，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.16．已知銳角的三內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，(1)求角的大小；(2)假如該三角形外接圓的半徑為，求的取值范圍．【解析】（1），由余弦定理可得，化簡(jiǎn)整理得，又，，又，所以.（2）由于三角形外接圓半徑為，所以，，，由（1）得，所以，由于是銳角三角形，且，所以，，，，即.所以的取值范圍為.17．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，．(1)求角，并計(jì)算的值；(2)若，且是銳角三角形，求的最大值．【解析】（1）由，得，則，又，所以或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）若為銳角三角形，則，有，解得.由正弦定理，得，則，所以，其中，又，所以，則，故當(dāng)時(shí)，取到最大值1，所以的最大值為.18．在中，為邊上一點(diǎn)，，且面積是面積的2倍．(1)若，求的長；(2)求的取值范圍．【解析】（1）設(shè)邊上的高為，垂足為，由于面積是面積的2倍，所以有，設(shè)，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由（1）可知，設(shè)，由且，由余弦定理可得：，，在中，由于，所以由正弦定理可知：，由于，所以，于是有，因此的取值范圍為..19．記銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【解析】（1）證明：由，得，即，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，故，又，故，由，故；（2）由正弦定理可得：，又銳角中，有，，解得，即，即，故.20．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且的面積為.(1)求角；(2)若，求的最小值.【解析】（1），結(jié)合余弦定理得，，，，即，又，，故；（2）由（1）知：，，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，長取最小值，此時(shí)，長的最小值為.21．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且求的取值范圍.【解析】（1）.由于所以故.由解得當(dāng)時(shí)又所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由得（所以.由于所以又所以又三角形為銳角三角形，則，則，所以，又，，則，所以的取值范圍為.22．已知在中，，(1)求A；(2)若點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，，△ABC的面積為，求AD的最小值.【解析】（1）由于，所以，由于，，則，故，所以，，（2）由于，則，所以，故，由于的面積為，所以，所以上式當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取得“”號(hào)，所以AD的最小值是.23．在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若點(diǎn)在線段上，且滿足，求面積的最大值．【解析】（1）由題意得，即，，，，又；（2）解法一：令，則，，，即，①，又，②，聯(lián)立①②，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即，，面積的最