任務一基本幾何體任務三相貫體模塊三立體的投影本模塊內容任務二切割體任務一基本幾何體

機器零件是復雜的形體，任何復雜的形體都可以看成是由一些基本幾何體組成的，如圖3-1所示。因此，在分析形體的投影時，首先要把這些基本幾何體的投影分析清楚。

任務引出圖3-1零件的形體組成

常見的基本幾何體平面立體曲面立體

最簡單立體稱為基本幾何體?；編缀误w可分為平面立體和曲面立體兩大類，表面全部由平面圍成的的立體，稱為平面立體，如棱柱、棱錐等；表面全部由曲面或曲面和平面所圍成的立體，稱為曲面立體，如圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)。任務描述直棱柱——棱線垂直于底面的棱柱，稱之為直棱柱；正棱柱——當直棱柱的底面為正多邊形時，稱之為正棱柱；斜棱柱——棱線傾斜于底面的棱柱，則稱之為斜棱柱。1.棱柱棱柱的形成正六棱柱由若干棱面和頂面、底面所圍成。一、平面立體的投影棱面與棱面的交線稱為棱線，棱線互相平行；棱面與頂面、底面的交線稱為頂邊、底邊。(a)直觀圖(b)投影圖圖3-2正六棱柱的投影（1）棱柱的投影

首先要確定棱柱在投影系中的位置，原則是讓盡可能多的表面與投影面處于特殊位置（垂直或平行）。

正六棱柱分析:正六棱柱由頂面、底面和六個側棱面組成。正六棱柱的頂面、底面為水平面，前后兩面為正平面，其余側棱面為鉛垂面。棱柱的各表面均處于特殊位置，棱柱表面上點的投影可利用平面投影的積聚性求得。

直觀圖（2）棱柱表面上點的投影點的可見性判別：若點所在平面的投影可見，點的投影可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見?！纠?-1】如圖3-3（a）所示，已知正六棱柱表面上點M的正面投影m'和N點的水平投影n，求作點M的其他兩投影m、m"，點N的其他兩投影n'、n"，并判斷其可見性。圖3-3正六棱柱表面上點的投影棱錐由棱面和底面所圍成，所有的棱線都交于一點（頂點）。

正棱錐——底面為正多邊形,且錐頂在底面上的投影是多邊形的中心。棱錐的形成正三棱錐ABCS2.棱錐sc′（1）棱錐的投影

要先確定棱柱在投影系中的位置。正三棱錐分析:底面ABC為是水平面，棱面SAB、SBC為一般位置平面，棱面SAC是側垂面。作圖:(a)直觀圖(b)投影圖3-4正三棱錐的投影abcs"a"(c")b"a′b′s′（2）棱錐表面上點的投影【例3-2】如圖3-5（a）所示，已知正三棱錐表面上點M的正面投影m'、點N的水平投影n，求作點M的其他兩投影m、m"，點N的其他兩投影n'、n"，并判斷其可見性。s"（a)直觀圖(b)投影圖3-5正棱錐表面上點的投影s′n"aba′b′c′ca"(c")b"ssm′mm"(n′)n方法一：利用積聚性或表面取點。

過點M引平行于底邊AB的平行線M，也可求得點m和m″。aba′b′c′ca"(c")b"ssm′mm"ns′s"正棱錐表面上點的投影方法二：二、曲面立體的投影

回轉曲面可以看作是母線（直線、圓弧或其他曲線）繞一軸線作回轉運動形成的。母線在曲面上的任一位置，稱為素線。表面有回轉面的立體，稱為回轉體，(a)形成軸線母線回轉體和回轉面的形成(b)回轉體

工程中常見的曲面立體是回轉體。

將回轉曲面向某投影面進行投影時，曲面上可見與不可見部分的分界線稱為回轉曲面對該投影面的轉向輪廓線。母線上任意一點繞軸線的運動軌跡是一個圓，該圓稱為緯圓，緯圓所在平面必與軸線垂直。常見的回轉體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)。

緯圓（a)圓柱體形成立體圖

(b)圓柱體投影直觀圖素線

軸線

圓柱體（簡稱圓柱）由圓柱面、頂面圓及底面圓所圍成。圓柱面是由一直母線繞與它平行的軸線回轉一周而形成的，母線在圓柱面上的任一位置稱為圓柱面的素線。1.圓柱（1）圓柱的投影分析：圓柱軸線為鉛垂線。圖3-6圓柱的投影

對V面轉向輪廓線

對W面轉向輪廓線【例3-3】如圖3-7（a）所示，已知圓柱表面上A、B、C、D點的一面投影，求出點的另兩面投影，并判別可見性。圖3-7圓柱的表面上取點（2）圓柱面上點的投影1'(2')1(2")1"2已知圓柱面上兩點Ⅰ和Ⅱ的正面投影1′和（2′），求作其余兩面投影。

分析：圓柱面上的點，利用投影積聚性求出一面上的投影，利用“三等”關系求另一面上的投影；特殊素線上的點，可直接利用素線求出。圓柱體的投影軸線素線

圓錐由圓錐表面和底面所圍成。圓錐表面是由直母線繞與它相交的軸線回轉而形成的，直母線與軸線的交點是圓錐表面的頂點。圓錐表面的素線都是通過錐頂的直線，母線上任一點的運動軌跡都是垂直于軸線的圓。（a)圓錐體形成立體圖

(b)圓錐體投影直觀圖緯圓2.圓錐

分析:當圓錐的軸線是鉛垂線時,底面為水平面。將該圓錐體分別向V、H、W面投射，即可得到其三面投影。畫投影圖：①畫軸線、中心線；②畫底圓的各面投影；③畫錐頂各面投影；④畫各轉向素線的投影。

s'a'b'ascdbd"s"c"

圓錐體的投影（1）圓錐的投影Amm"1"m'1'1

方法一：素線法輔助素線過錐頂和已知點作輔助素線【例3-4】如圖3-9所示，已知圓錐表面上M點的一面投影，求出點的另兩面投影，并判別可見性。圖3-9用輔助素線法作圓錐面上點的投影（2）圓錐面上點的投影輔助緯圓m'm1'2'12過已知點作輔助緯圓A方法二：輔助緯圓法圖3-10用輔助緯圓法作圓錐面上點的投影m"（a)圓球立體圖

(b)圓球體投影直觀圖軸線緯圓

母線

圓球由圓球面所圍成。圓球面是由一個圓母線繞通過其圓心且在同一平面上的軸線回轉180°而形成的。3.圓球a"a'ba投影：三面投影均為圓，直徑等于球的直徑。畫圖：應先畫圓的中心線，然后分別畫圓。c'b'cc"b"圖3-11圓球的投影（1）圓球的投影【例3-5】如圖3-12所示，已知圓球面上點M的水平投影m，求作點M的其他兩投影m'

、m"，并判斷其可見性。圖3-12圓球面上點的投影（2）圓球面上點的投影n'mm"12方法：圓球表面取點只能用緯圓法。1'2'm'圓球面上點的投影

已知球面上點M、N的正面投影m'

、n'

，求作其水平投影m、n和側面投影m"

、n"

。

(n")n軸線母線

圓環(huán)的形成

圓環(huán)由圓環(huán)面所圍成。圓環(huán)面是由圓母線繞不過母線圓心，但與母線在同一平面上的軸線回轉而形成的。遠離軸線的半圓母線回轉形成外環(huán)面，靠近軸線的半圓母線回轉形成內環(huán)面。4.圓環(huán)圖3-13圓環(huán)的投影（1）圓環(huán)的投影分析：將一軸線垂直于水平面的圓環(huán)分別向V、H、W面作投射，即可得到其三面投影。作投影圖時，先按投影規(guī)律確定圓環(huán)軸線的三面投影，再確定母線圓心軌跡的三面投影，然后分別畫出圓環(huán)面在三個投影面上可見、不可見的轉向輪廓線的投影。ba圓環(huán)的投影a'b'在圓環(huán)面上求點的投影時，通常利用輔助緯圓法?！纠?-6】如圖3-14所示，已知圓環(huán)面上點M的正面投影m'，求作點M的其他兩投影m、m"，并判斷其可見性。（2）圓環(huán)面上點的投影三、基本幾何體的尺寸標注常見基本幾何體的尺寸標注圖3-15幾種常見平面立體的尺寸標注圖3-16幾種常見曲面立體的尺寸標注任務二切割體任務引出

機件的結構形狀常有立體被平面切割而成的情形，如圖3-17所示，頂尖可看成由圓柱與圓錐組合后被平面切割而成，撥叉軸可看成是圓柱被平面切割，中間鉆一個圓柱通孔而成的。圖3-17切割體組成的零件任務描述

切割體的投影分析是基于基本幾何體的投影，以及平面與基本幾何體表面相交的交線的投影分析。截平面截交線截斷面圖3-18切割體的基本概念切割體一、切割體及截交線的概念切割體——基本幾何體被平面截切后的立體截平面——截切基本幾何體的平面截斷面——截交線圍成的平面圖形截交線——截平面與基本幾何體表面的交線截交線性質：(1)截交線一般是封閉的平面圖形。(2)截交線是截平面與基本幾何體表面的共有線；截交線的形狀取決于:(1)立體的形狀；(2)截平面與立體的相對位置。

二、平面切割體的投影平面立體截交線是一個封閉的平面多邊形。多邊形各邊是截平面與立體相應棱面的交線。多邊形的頂點是截平面與立體相應棱線的交點。求平面立體截交線的實質截平面與立體各個被截棱線的交點。【例3-7】正五棱柱被截切，如圖3-19（a）、（d）所示，求作正五棱柱被截切后的投影。圖3-19求被截正五棱柱的投影圖圖3-20求斜切三棱錐的投影圖【例3-8】如圖3-20（a）所示，求斜三棱錐被正垂面截切后的投影。分析：正四棱柱開槽，可以看作是正四棱柱被3個截平面截切而成，如圖3-21（c）所示?？煞謩e求出各截平面上截交線的投影?！纠?-9】如圖3-21（a）所示，求正四棱柱開槽后的水平投影及側面投影。圖3-21正四棱柱開槽后的水平投影及側面投影性質：曲面立體的截交線一般為封閉的平面曲線或平面曲線和直線圍成的平面圖形。實質：首先要根據截平面與曲面立體的相對位置判斷截交線的形狀，然后求作截交線上的點，即截平面與曲面立體上被截各素線的交點，最后光滑連接各點即可。作圖步驟：

1)求特殊點；

2)求作一般點；

3)判別各點的可見性，并順次光滑連接各點：可見部分用粗實線連接，不可見部分用細虛線連接。（4）整理圖線：擦除切割掉的線條，補畫暴露出來的線條。特殊點是指特殊素線點、確定大小、范圍的點，極限位置點，橢圓長、短軸的端點，以及拋物線、雙曲線的頂點等。三、曲面切割體的投影根據截平面與圓柱軸線位置不同，圓柱被切割后其截交線有3種不同的形狀。1.圓柱切割【例3-10】如圖3-28所示，求斜截圓柱的投影。圖3-28斜截圓柱的投影【例3-11】如圖3-23（a）所示，補全接頭的正面投影和水平投影。圖3-23補全接頭的正面投影和水平投影2.圓錐切割

截平面切割圓錐時，根據截平面與圓錐軸線位置的不同，與圓錐面的截交線有5種情況。【例3-12】如圖3-24所示，圓錐被正平面截切，求作截交線的投影。圖3-24求圓錐被正平面切割的投影【例3-13】如圖3-25所示，求頂尖頭的水平投影。圖3-33頂尖水平投影求法(a)立體圖

(b)已知如下圖所示，求頂尖的水平投影。210369'(10')1081732692'(3')451457891'8'1'8'4'(5')6'(7')4'(5')6'(7')9'(10')1

3

(7

)8

9

10

2

(6

)1

2

3

8

9

10

5

(7

)4

(6

)分析：立體由圓錐和圓柱組合后，被水平面和正垂面截切。水平面截交線為雙曲線、兩條平行的素線；正垂面截交線為橢圓弧。V面、W面投影有積聚性，需求其H面投影。作圖：(1)求水平面截圓錐的截交線——雙曲線；

(2)求水平面截圓柱的截交線——兩條平行的素線；

(3)求正垂面截圓柱面的截交線——橢圓??；

(4)整理輪廓，完成全圖。4

5

2'(3')同軸復合回轉體的截交線(c)求各面截交線(d)整理輪廓，完成全圖表3-3 圓球的切割

對于圓球來說，用任何方向的截平面切割，其截交線均為圓，圓的大小，由截平面與球心之間的距離而定，如表3-3所示。說明截平面為正平面截平面為水平面截平面為正垂面軸測圖投影圖3.圓球切割圖3-26所示為圓球被水平面Q和側平面P切割截交線的求法。圖3-26平面與球面交線的基本作圖QP(a)立體圖

(b)已知分析:該立體是在半球的上部開出一個方槽后形成的。左右對稱的兩個側平面P和水平面Q與球面的交線都是圓弧，平面P和Q彼此相交于直線段。P'q'【例3-14】如圖3-27所示，根據半圓球開槽后的正面投影，求作水平投影和側面投影。圖3-27球上開槽的畫法作圖:

(1)完成平面P的投影；

(2)完成平面Q的投影；

(3)整理輪廓，完成全圖。(c)求P、Q的投影

圓球上開槽的畫法(d)整理輪廓，完成全圖四、切割體尺寸標注圖3-28常見切割體尺寸標注任務三相貫體任務引出

機件的結構形狀常由立體與立體相交而形成，兩立體相交即為相貫。掌握相貫體的投影，有助于讀者正確表達機件的結構形狀和讀圖時對機件進行形體分析。任務描述

相貫體的投影分析是基于基本幾何體的投影，以及兩相交的基本幾何體表面與表面相交的交線的投影。立體表面取點分析是基礎，交線的形狀分析和投影分析是關鍵。一、相貫體及相貫線的概念相貫線概念：表面產生的交線稱為相貫線相貫體概念：兩基本幾何體相交而形成的立體圖3-30相貫體表面的相貫線

機件上常見的相貫體，以由兩回轉體相交而成最為常見，這里僅討論這類相貫線的性質和作圖分析。（1）相貫線是兩曲面立體表面的共有線，也是兩相交曲面立體的分界線。相貫線上的點一定是兩立體表面的共有點。（2）由于立體的表面是封閉的，因此相貫線一般為封閉的空間曲線，特殊情況下也可能是平面曲線或直線。

兩回轉體相交時相貫線基本特性：求相貫線的實質：求兩回轉體表面上一系列共有點的連線，（1）先作出相貫線上一些特殊點的投影，如回轉體投影的轉向輪廓線上的點，對稱的相貫線在其對稱面上的點，以及如最高、最低、最左、最右、最前、最后這些確定相貫線形狀和范圍的點，（2）然后再作出一般點，從而作出相貫線的投影。

相貫線為封閉

的空間曲線(b)相貫線為不封閉的空間曲線(d)相貫線為直線(c)相貫線為平面曲線兩曲面體相貫線的不同情況兩曲面體相貫線的不同情況兩圓柱正交求相貫線(a)立體圖(b)已知二、利用積聚性求相貫線

當相交的兩曲面立體中有一個是圓柱面，其軸線垂直于投影面時，則該圓柱面的投影積聚為一個圓，即相貫線上的點在該投影面上的投影也一定積聚在該圓上，其他投影可根據表面取點的方法求出?！纠?-15】求如圖3-31所示兩圓柱正交的相貫線。5'(6')3y1y12'3'(4')1'6

(8

)7'(8')1241

(2

)5

(7

)4

3

5678空間及投影分析:

兩圓柱正交，相貫線為一前后、左右對稱的封閉的空間曲線。相貫線的W面投影與大圓柱面重合，為一段圓??；H面投影與小圓柱面重合，為一個圓；需求V面投影。兩圓柱正交的相貫線作圖:(1)求特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；(2)求一般點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；(3)光滑連接，整理輪廓。

（a)兩實心圓柱正交（b)圓柱穿孔（c)圓柱孔與圓柱孔正交圖3-32圓柱與圓柱相交的3種情況圖3-33尺寸變化對相貫線的影響

正交兩圓柱相對位置不變，尺寸變化時，相貫線的形狀和位置也將隨之變化，如圖3-33所示。相對尺寸

d1＞d2

d1=d2

d1＜d2

投影圖

立體圖相貫線形狀左右對稱的兩條空間曲線兩相交的平面兩曲線——橢圓上下對稱的兩條空間曲線

表面性質和尺寸變化對相貫線的影響三、兩回轉體相貫線的特殊情況（1）兩圓柱軸線平行相交或兩圓錐共錐頂相交時，其相貫線為直線。圖3-34特殊相貫線的情況（一）（2）兩個同軸回轉體的相貫線是垂直于軸線的圓，是平面曲線。圖3-35特殊相貫線的情況（二）（3）兩回