目錄第6章

拉普拉斯變換

6.1拉普拉斯變換的定義6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)6.3拉普拉斯變換的反演6.4拉普拉斯變換的應(yīng)用第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用6.1拉普拉斯變換的定義6.1拉普拉斯變換的定義由上一章的討論可以知道，對(duì)于傅里葉積分變換，要求原函數(shù)

f(x)在區(qū)間-∞，∞上分段光滑，而且絕對(duì)可積。這個(gè)條件相當(dāng)苛刻，以至于許多常見的函數(shù)(如多項(xiàng)式、三角函數(shù)等)都不滿足這個(gè)條件。下面我們將看到，對(duì)于拉普拉斯變換，對(duì)原函數(shù)的要求要寬松得多。拉普拉斯變換的定義為其中

f(t)是原函數(shù)，F(xiàn)(p)是像函數(shù)，e-pt

是積分變換的核，p=s+iσ

為復(fù)數(shù)，且要求Re(p)=s>0。這里需要說明的一點(diǎn)是，在式(6.1-1)的積分變換中，要求

f(t)在t<0時(shí)刻的值為零，即這樣才能保證式(6.1-1)的積分變換有意義。拉普拉斯變換存在的條件是：(1)f(t)在區(qū)間0≤t<∞中是分段連續(xù)的，而且導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)；(2)存在正常數(shù)

M>0及s0

≥0，使得對(duì)于任何t值，有在實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的大多數(shù)函數(shù)都能滿足上述要求。為了熟悉拉普拉斯變換的方法，我們先舉例計(jì)算一些簡(jiǎn)單函數(shù)的拉普拉斯變換。6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)f(t)=1的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有所以有求函數(shù)f(t)=eαt

的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有其中要求Rep>Reα。這樣有6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)

f(t)=tn

的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有即類推，有6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)

f(t)=sinωt(ω

為實(shí)數(shù))的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有即類似地，還有6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)

f(t)=sinhωt(ω

為實(shí)數(shù))的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有即類似地，還有記住上述簡(jiǎn)單函數(shù)的拉普拉斯變換式非常有用，因?yàn)樵诶绽狗囱輹r(shí)要經(jīng)常用到它們。6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)與傅里葉積分變換一樣，拉普拉斯變換也有一些重要的性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化一些拉普拉斯變換過程。1.線性定理如果f1(t)?F1(p)及f2(t)?F2(p)，則有其中α

和β

為常數(shù)。求函數(shù)cosωt+isinωt的拉普拉斯變換。解：令f1(t)=cosωt及f2(t)=sinωt，則按照線性定理，有6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)2.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ設(shè)

f(t)在t=0時(shí)刻的值為

f(0)，則它的導(dǎo)數(shù)f(1)(t)的拉普拉斯變換為證明：根據(jù)拉普拉斯變換的定義，有推廣到高階導(dǎo)數(shù)f(n)(t)，則有由此可以看出，在拉普拉斯變換下，一個(gè)常微分方程將會(huì)變成一個(gè)代數(shù)方程，而且還把初始值考慮了進(jìn)去。6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)已知函數(shù)f(t)滿足如下二階常微分方程其中ω

為常數(shù)，初始條件為

f(0)=1及

f(1)(0)=0。試用拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ

求解該方程。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ，有即由式(6-1.7)可以知道，該像函數(shù)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為

f(t)=cosωt6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)3.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅱ證：根據(jù)拉普拉斯變換的定義式，則有即類似地，可以證明：利用導(dǎo)數(shù)定理

Ⅱ，求函數(shù)tsinωt的拉普拉斯變換。

6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)4.積分定理

其中利用了g(0)=0。再利用

f(t)=g(1)(t)?F(p)，則有即5.相似性定理其中a為常數(shù)。6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)6.位移定理利用這個(gè)定理，就可以得到7.延遲定理證明：由于在拉普拉斯變換中要求原函數(shù)

f(t)在t<0的時(shí)刻為零，則有

6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)8.卷積定理設(shè)原函數(shù)

f1(t)及

f2(t)對(duì)應(yīng)的像函數(shù)分別為F1(p)及F2(p)，則它們的卷積對(duì)應(yīng)的拉普拉斯變換為證明：根據(jù)拉普拉斯變換的定義及卷積的定義，有這是一個(gè)二重積分，其中先從τ=0到τ=t進(jìn)行積分，然后再?gòu)膖=0到t=∞進(jìn)行積分，積分區(qū)域如圖6-1所示?，F(xiàn)在改變積分順序，先從t=τ

到t=∞進(jìn)行積分，然后再?gòu)摩?0到τ=∞進(jìn)行積分?？梢钥闯?，兩種積分順序給出的積分結(jié)果是相同的。這樣有6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)再進(jìn)行變量代換，令ζ=t-τ，則有可見，兩個(gè)函數(shù)的卷積在拉普拉斯變換下變成了它們對(duì)應(yīng)的像函數(shù)的乘積。在解決實(shí)際問題中，這種卷積定理非常有用。例如，一個(gè)像函數(shù)可以分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單像函數(shù)的乘積，則它的反演就可以用這兩個(gè)簡(jiǎn)單像函數(shù)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)的卷積來(lái)表示。6.3拉普拉斯變換的反演6.3拉普拉斯變換的反演前面討論的是在已知原函數(shù)的情況下，求出它對(duì)應(yīng)的像函數(shù)，這叫拉普拉斯變換。反過來(lái)，若已知像函數(shù)，來(lái)求出它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，這叫作拉普拉斯變換的反演。在一般的情況下，拉普拉斯變換的反演過程是非常復(fù)雜的。但對(duì)于一些特殊情況，如：(1)一個(gè)像函數(shù)可以分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的像函數(shù)之和；(2)一個(gè)像函數(shù)可以分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的像函數(shù)的乘積；(3)經(jīng)過其他的數(shù)學(xué)操作，這個(gè)像函數(shù)可以用一些簡(jiǎn)單的像函數(shù)來(lái)表示。這樣就可以利用一些已知的簡(jiǎn)單原函數(shù)(如：tn，sinωt，cosωt及eαt等)所對(duì)應(yīng)的像函數(shù)及上節(jié)介紹的拉普拉斯變換的性質(zhì)，來(lái)完成反演過程。下面舉例進(jìn)行說明。6.3拉普拉斯變換的反演

解：有兩種方法，如下：方法一：可以把這個(gè)像函數(shù)分解為

6.3拉普拉斯變換的反演

解：6.3拉普拉斯變換的反演

6.3拉普拉斯變換的反演

在一般情況下，可以采用所謂的黎曼

梅林反演公式來(lái)計(jì)算像函數(shù)的反演，其中積分路徑是p

平面上一條平行于虛軸的直線，且要求像函數(shù)F(p)在這條直線的右半平面沒有奇點(diǎn)。由于這個(gè)公式涉及復(fù)平面上的積分，因此計(jì)算反演的過程比較復(fù)雜，這里不再進(jìn)行詳細(xì)介紹。6.4拉普拉斯變換的應(yīng)用1.求解常微分方程對(duì)于電感

電阻串聯(lián)回路，見圖6-2，當(dāng)開關(guān)

K合上之前，回路中沒有電流流動(dòng)，其中E為直流電源的電動(dòng)勢(shì)，R為電阻，L為電感。

求開關(guān)合上之后，電路中的電流i(t)。解：回路電流i(t)所滿足的方程為初始條件為i(0)=0。這是一個(gè)典型的一階常微分方程。根據(jù)拉普拉斯變換，則有由此得到所以回路中的電流為該電流包含了兩部分，即穩(wěn)恒部分E/R

和暫態(tài)部分Ee-Rt/L/R。1.求解常微分方程對(duì)于如圖6-3所示的電感-電容串聯(lián)回路，電容器上的初始電荷為±q0。當(dāng)電容器進(jìn)行放電時(shí)，回路中的電流i(t)是多少?

這是一個(gè)典型的微分

積分方程。根據(jù)拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)定理和積分定理，則有由于初始電流i(0)為零，則有很顯然，它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，即瞬時(shí)電流為

1.求解常微分方程在如圖6-4所示的電感

阻回路中，交變電源的電壓為E(t)=E0sinωt。當(dāng)開關(guān)閉合時(shí)，求回路中的電流i(t)。已知初始電流為零，即i(0)=0。解：回路中電流所滿足的微分方程為根據(jù)拉普拉斯變換，則有由此可以得到由于所以由卷積定理，可以得到1.求解常微分方程一個(gè)質(zhì)量為m、彈性系數(shù)為k的彈簧振子在外界強(qiáng)迫力

f(t)=f0sinωt的作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為其中

f0

為強(qiáng)迫力的振幅，ω

為強(qiáng)迫振動(dòng)的圓頻率。初始位移及速度均為零，即x(0)=0，x(1)(0)=0。求彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)。

由此可以得到像函數(shù)為假設(shè)ω≠ω0(即不會(huì)發(fā)生強(qiáng)迫共振)，則可以把上式改寫為利用可以得到1.求解常微分方程利用拉普拉斯變換方法求解如下微分方程組其中初始條件為y(0)=1及z(0)=3。解：對(duì)上述方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，則變成如下線性代數(shù)方程組：由此得到像函數(shù)為進(jìn)行反演后，可以得到2.計(jì)算特殊積分的值利用拉普拉斯變換方法，除了可以求解微分方程(或微分

積分方程)外，它還可以用來(lái)計(jì)算某些特殊的積分，不過需要與留數(shù)定理聯(lián)合來(lái)使用。下面舉例進(jìn)行說明。在

§4.4節(jié)中，利用留數(shù)定理，我們?cè)玫搅巳缦路e分的值見式(4.4-8)。如果令a=t，則可以把上式寫成對(duì)上式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，有下面計(jì)算式(6.4-2)左邊的積分，則有2.計(jì)算特殊積分的值

或這是一個(gè)非常重要的拉普拉斯變換的公式。實(shí)際上，也可以直接由拉普拉斯的普遍反公式[見式(6.3-1)]得到式(6.4-3)，但計(jì)算過程非常復(fù)雜。由式(6.4-3)，還可以得到這也是一個(gè)重要的拉普拉斯反演公式，我們將在第十章中用到它。2.計(jì)算特殊積分的值利用拉普拉斯變換方法計(jì)算積分的值，其中a>0。解：利用拉普拉斯變換則有再利用留數(shù)定理，可以得到然后再進(jìn)行反演，可以得到2.計(jì)算特殊積分的值利用拉普拉斯變換方法計(jì)算積分的值，其中t>0。解：利用拉普拉斯變換則可以得到再利用留數(shù)定理，可以進(jìn)一步完成對(duì)x

的