2026年數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)分析題庫一、線性規(guī)劃問題（3題，每題15分）題目1某城市自來水公司需要從兩個水源地A和B取水供應(yīng)全市。水源地A的水質(zhì)較好，但取水成本較高，每天最多可取水10萬立方米，單位成本為2元/立方米；水源地B的水質(zhì)一般，取水成本較低，每天最多可取水15萬立方米，單位成本為1.5元/立方米。該城市每天至少需要供應(yīng)25萬立方米的水，且水質(zhì)要求中污染物含量不超過0.01克/立方米。已知水源地A的水中污染物含量為0.005克/立方米，水源地B的水中污染物含量為0.02克/立方米。問：如何安排每日從兩個水源地取水量，使得總成本最低？請建立數(shù)學(xué)模型并求解。題目2某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品P1和P2，需要經(jīng)過兩道工序加工。每件產(chǎn)品P1需要經(jīng)過工序1加工2小時，工序2加工1小時；每件產(chǎn)品P2需要經(jīng)過工序1加工1小時，工序2加工2小時。工序1每天可用工時為40小時，工序2每天可用工時為30小時。產(chǎn)品P1的利潤為每件50元，產(chǎn)品P2的利潤為每件40元。市場需求調(diào)查顯示，產(chǎn)品P1每天最多銷售100件，產(chǎn)品P2每天最多銷售80件。問：如何安排每日生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的數(shù)量，使得工廠總利潤最大？請建立數(shù)學(xué)模型并求解。題目3某農(nóng)場計劃種植三種作物A、B和C，種植面積分別為x1、x2和x3（單位：公頃）。作物A、B和C的單位面積產(chǎn)量分別為1000公斤/公頃、800公斤/公頃和1200公斤/公頃。作物A、B和C的單位面積成本分別為200元/公頃、150元/公頃和250元/公頃。此外，農(nóng)場還需要滿足以下條件：作物A的種植面積不能超過40公頃；作物B和C的種植面積之和至少為60公頃；作物C的種植面積不能超過作物A種植面積的1.5倍。問：如何安排三種作物的種植面積，使得農(nóng)場總利潤最大？請建立數(shù)學(xué)模型并求解。二、非線性規(guī)劃問題（2題，每題20分）題目4某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(q)=0.5q^2+10q+500（q為產(chǎn)量），需求函數(shù)為p=100-0.02q（p為價格）。公司希望通過生產(chǎn)量的優(yōu)化，使得總利潤最大。請建立數(shù)學(xué)模型并求解最優(yōu)產(chǎn)量和最大利潤。題目5某城市交通管理部門需要規(guī)劃一條新的公交線路，以最小化乘客的出行時間。假設(shè)線路總長度為L，分段數(shù)為n，每段長度為l_i，每段行駛速度為v_i。乘客在每段上的等待時間為服從均勻分布[0,t_i]的隨機變量。請建立數(shù)學(xué)模型并求解最優(yōu)分段方案，使得乘客的平均出行時間最小。三、整數(shù)規(guī)劃問題（2題，每題20分）題目6某公司需要從三個供應(yīng)商處采購原材料，供應(yīng)商A、B和C分別提供原材料X、Y和Z。每個供應(yīng)商的供應(yīng)量有限，價格也不同。公司需要采購至少100單位X，50單位Y和80單位Z，以滿足生產(chǎn)需求。供應(yīng)商A提供X最多100單位，價格為10元/單位；供應(yīng)商B提供Y最多60單位，價格為8元/單位；供應(yīng)商C提供Z最多80單位，價格為12元/單位。此外，公司需要滿足以下約束：供應(yīng)商A和C的總供應(yīng)量不能超過150單位。問：如何安排采購方案，使得總成本最??？請建立數(shù)學(xué)模型并求解。題目7某城市需要建設(shè)一條新的高速公路，路線分為若干段，每段的建設(shè)成本不同。假設(shè)路線總長度為L，分段數(shù)為n，每段長度為l_i，每段建設(shè)成本為c_i。此外，還需要滿足以下條件：高速公路的總長度不能超過L_max；每段的最小長度不能小于l_min；任意兩段之間需要滿足一定的連接要求。問：如何規(guī)劃高速公路的分段方案，使得總建設(shè)成本最??？請建立數(shù)學(xué)模型并求解。四、動態(tài)規(guī)劃問題（1題，25分）題目8某公司需要制定未來五年的投資計劃，每年可以選擇投資于項目A、B或C。項目A的投資回報率為10%，項目B的投資回報率為15%，項目C的投資回報率為20%。每年的投資額不能超過1000萬元。此外，還需要滿足以下條件：第一年必須投資于項目A；第三年不能同時投資于項目B和C；第五年的投資總額必須為前四年投資總額的兩倍。問：如何制定投資計劃，使得五年的總回報最大？請建立數(shù)學(xué)模型并求解。五、圖論與網(wǎng)絡(luò)流問題（2題，每題20分）題目9某城市需要建設(shè)一個供水網(wǎng)絡(luò)，從水源地到各個用水點。假設(shè)水源地位于點A，用水點分別為點B、C、D和E。每段管道的流量限制和建設(shè)成本不同。請建立數(shù)學(xué)模型并求解最優(yōu)管道建設(shè)方案，使得總流量滿足需求且總建設(shè)成本最小。題目10某公司需要從多個倉庫向多個銷售點配送貨物。假設(shè)倉庫分別為W1、W2和W3，銷售點分別為S1、S2和S3。每段運輸路線的運輸成本和容量限制不同。請建立數(shù)學(xué)模型并求解最優(yōu)配送方案，使得總運輸成本最小。六、概率統(tǒng)計問題（2題，每題20分）題目11某商場進行促銷活動，顧客購買滿100元可以參與抽獎。抽獎規(guī)則如下：顧客購買滿100元，可以隨機抽取一個球，球的顏色為紅、黃、藍或綠，分別對應(yīng)不同的中獎概率。紅色球中獎概率為10%，黃色球中獎概率為20%，藍色球中獎概率為30%，綠色球中獎概率為40%。顧客每次抽獎需要支付5元，每次抽獎后可以重新選擇是否繼續(xù)抽獎。問：顧客在抽獎過程中期望的凈收益是多少？題目12某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，其合格率為95%。質(zhì)檢部門采用抽檢的方式進行質(zhì)量檢驗，抽檢方案為：隨機抽取100件產(chǎn)品進行檢驗，如果抽檢產(chǎn)品中合格品數(shù)量少于85件，則判定該批次產(chǎn)品不合格。問：該抽檢方案下，合格品批次被誤判為不合格品的概率是多少？答案與解析題目1答案與解析設(shè)從水源地A取水量為x1萬立方米，從水源地B取水量為x2萬立方米。目標(biāo)函數(shù)：minZ=2x1+1.5x2約束條件：1.x1+x2≥25（供應(yīng)量要求）2.x1≤10（水源地A的取水限制）3.x2≤15（水源地B的取水限制）4.0.005x1+0.02x2≤0.0125（污染物含量要求）5.x1,x2≥0（非負約束）求解該線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解為x1=5,x2=20，總成本為25+1.520=35元。題目2答案與解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品P1的數(shù)量為x1件，生產(chǎn)產(chǎn)品P2的數(shù)量為x2件。目標(biāo)函數(shù)：maxZ=50x1+40x2約束條件：1.2x1+x2≤40（工序1時間限制）2.x1+2x2≤30（工序2時間限制）3.x1≤100（產(chǎn)品P1市場限制）4.x2≤80（產(chǎn)品P2市場限制）5.x1,x2≥0（非負約束）求解該線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解為x1=20,x2=10，總利潤為5020+4010=1400元。題目3答案與解析目標(biāo)函數(shù)：maxZ=800x1+650x2+950x3約束條件：1.x1≤402.x2+x3≥603.x3≤1.5x14.x1,x2,x3≥0求解該線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解為x1=20,x2=40,x3=30，總利潤為80020+65040+95030=80000元。題目4答案與解析目標(biāo)函數(shù)：maxZ=q(100-0.02q)-(0.5q^2+10q+500)化簡為：maxZ=-0.5q^2+90q-500求解頂點，最優(yōu)解為q=90，最大利潤為Z=4050元。題目5答案與解析設(shè)分段方案為{l_1,l_2,...,l_n}，平均出行時間為T。目標(biāo)函數(shù)：minT=Σ(t_il_i/v_i+t_i/2)約束條件：Σl_i=L求解該優(yōu)化問題，需要具體分段方案和參數(shù)進行計算。題目6答案與解析目標(biāo)函數(shù)：minZ=10x1+8x2+12x3約束條件：1.x1≥1002.x2≥503.x3≥804.x1+x3≤1505.x1,x2,x3≥0求解該整數(shù)規(guī)劃問題，最優(yōu)解為x1=100,x2=50,x3=50，總成本為10100+850+1250=1800元。題目7答案與解析目標(biāo)函數(shù)：minZ=Σc_i約束條件：1.Σl_i≤L_max2.l_i≥l_min3.連接要求約束求解該整數(shù)規(guī)劃問題，需要具體分段方案和參數(shù)進行計算。題目8答案與解析設(shè)每年投資于項目A、B、C的金額分別為x1,x2,x3。目標(biāo)函數(shù)：maxZ=0.1x1+0.15x2+0.2x3約束條件：1.x1+x2+x3≤1000（第一年投資限制）2.x1≥1000（第一年必須投資于項目A）3.x2+x3≤1000（第三年不能同時投資于項目B和C）4.x1+x2+x3=2(x1+x2+x3-x3)（第五年投資總額要求）5.x1,x2,x3≥0求解該整數(shù)規(guī)劃問題，最優(yōu)解為x1=1000,x2=500,x3=500，總回報為0.11000+0.15500+0.2500=300元。題目9答案與解析設(shè)每段管道的流量為l_i。目標(biāo)函數(shù)：minZ=Σc_i約束條件：1.l_i≤c_i（流量限制）2.Σl_i≥需求量（總流量要求）求解該整數(shù)規(guī)劃問題，需要具體管道方案和參數(shù)進行計算。題目10答案與解析設(shè)每段運輸路線的流量為l_ij。目標(biāo)函數(shù)：minZ=Σd_ijl_ij約束條件：1.l_ij≤c_ij（容量限制）2.Σl_ij≥需求量（總流量要求）求解該整數(shù)規(guī)劃問