《數(shù)理統(tǒng)計》考試題及參考答案1.（單選）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～N(μ,σ2)，σ2未知。對H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?，若采用拒絕域|X??μ?|/(S/√n)≥c，則當顯著性水平α給定時，c應(yīng)取A.t_{α/2}(n?1)?B.t_{α}(n?1)?C.t_{α/2}(n)?D.t_{α}(n)答案：A解析：檢驗統(tǒng)計量T=√n(X??μ?)/S服從t(n?1)分布，雙側(cè)檢驗臨界值應(yīng)為t_{α/2}(n?1)。2.（單選）設(shè)X～Bin(n,p)，若用頻率X/n估計p，則其均方誤差MSE為A.p(1?p)/n?B.p(1?p)?C.p(1?p)/n2?D.p2(1?p)2/n答案：A解析：MSE=Var(X/n)=p(1?p)/n，偏差為0。3.（單選）對正態(tài)樣本，樣本方差S2是σ2的UMVUE，其方差為A.2σ?/(n?1)?B.2σ?/n?C.σ?/(n?1)?D.σ?/n答案：A解析：已知(n?1)S2/σ2～χ2(n?1)，Var[χ2(k)]=2k，故Var(S2)=2σ?/(n?1)。4.（單選）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～Exp(λ)，則P(X???>t)等于A.e^{?nλt}?B.e^{?λt}?C.(1?e^{?λt})??D.1?e^{?nλt}答案：A解析：P(X???>t)=P(全部X?>t)=(e^{?λt})?=e^{?nλt}。5.（單選）若隨機變量X的矩母函數(shù)M_X(t)=exp{μt+σ2t2/2}，則E(X3)=A.μ3+3μσ2?B.μ3?C.μ3+μσ2?D.0答案：A解析：對MGF求三階導數(shù)并令t=0得E(X3)=μ3+3μσ2。6.（單選）設(shè)θ?是θ的MLE，若g(θ)可微且g′(θ)≠0，則g(θ?)的漸近分布為A.N(g(θ),[g′(θ)]2I(θ)^{?1})?B.N(g(θ),I(θ)^{?1})?C.N(θ,I(θ)^{?1})?D.N(0,1)答案：A解析：利用Delta方法，漸近方差為[g′(θ)]2/I(θ)。7.（單選）在線性回歸Y=Xβ+ε,ε～N(0,σ2I)中，若X列滿秩，則β?=(X?X)^{?1}X?Y的協(xié)方差陣為A.σ2(X?X)^{?1}?B.σ2X?X?C.σ2I?D.σ2X答案：A解析：直接計算Cov(β?)=σ2(X?X)^{?1}。8.（單選）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～U(0,θ)，則θ的MLE為A.X????B.X????C.X??D.2X?答案：A解析：似然函數(shù)L(θ)=θ^{?n}I_{θ≥X???}，在X???處取最大值。9.（單選）若T是充分統(tǒng)計量，且分布族為指數(shù)族，則T的分布A.必為指數(shù)族?B.必為正態(tài)?C.必為泊松?D.無法確定答案：A解析：指數(shù)族的充分統(tǒng)計量仍服從指數(shù)族。10.（單選）對兩獨立樣本t檢驗，若兩總體方差不等，應(yīng)選用A.Welch檢驗?B.配對t?C.方差分析?D.Z檢驗答案：A解析：方差不等時Welch修正自由度。11.（填空）設(shè)X～N(0,1)，Y～χ2(k)且獨立，則T=X/√(Y/k)服從______分布，自由度為______。答案：t；k解析：t分布定義。12.（填空）若X?,…,X?i.i.d.～Poisson(λ)，則λ的矩估計為______，其方差為______。答案：X?；λ/n解析：一階矩方程E(X)=λ?λ?=X?，Var(X?)=λ/n。13.（填空）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～N(μ,σ2)，則√n(X??μ)/S服從______分布，其期望為______。答案：t(n?1)；0（對稱）14.（填空）若隨機變量X的密度f(x)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0，則θ的Fisher信息量為______。答案：I(θ)=1/θ2解析：計算?E[?2lnf/?θ2]=1/θ2。15.（填空）對簡單線性回歸Y?=β?+β?x?+ε?，ε?～N(0,σ2)，則β?的OLS估計可寫為β??=______。答案：∑(x??x?)(Y??Y?)/∑(x??x?)216.（填空）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～Exp(λ)，則λ的MLE為______，其漸近方差為______。答案：1/X?；λ2/n解析：L=nlnλ?λ∑X?，求導得λ?=1/X?，I(λ)=n/λ2?漸近方差λ2/n。17.（填空）若X～Bin(n,p)，則p的Jeffreys先驗為______。答案：Beta(0.5,0.5)解析：Jeffreys先驗∝[I(p)]^{1/2}∝p^{?1/2}(1?p)^{?1/2}。18.（填空）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～N(μ,1)，檢驗H?:μ=0vsH?:μ=1，若拒絕域為X?>c，則當n=25,α=0.05時，c=______。答案：1.645/√25=0.329解析：X?～N(0,1/25)，單側(cè)0.05臨界1.645×1/5=0.329。19.（填空）對兩正態(tài)總體方差比檢驗，統(tǒng)計量F=S?2/S?2服從______分布，自由度為______。答案：F(n??1,n??1)；(n??1,n??1)20.（填空）若X的累積量母函數(shù)K_X(t)=lnM_X(t)=μt+σ2t2/2+κ?t3/6，則其三階累積量κ?=______。答案：E[(X?μ)3]21.（解答）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～N(μ,σ2)，σ2已知。求μ的(1?α)置信區(qū)間，并證明其覆蓋概率確為1?α。答案：區(qū)間[X??z_{α/2}σ/√n,X?+z_{α/2}σ/√n]。證明：√n(X??μ)/σ～N(0,1)，故P(?z_{α/2}≤√n(X??μ)/σ≤z_{α/2})=1?α，等價于μ落在上述區(qū)間。22.（解答）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～Exp(λ)，求λ的矩估計、MLE并比較其效率。答案：矩估計：λ?_M=1/X?；MLE：λ?_{MLE}=1/X?，二者相同。Fisher信息量I(λ)=n/λ2，故Var(λ?)=λ2/n，達到Cramér-Rao下界，效率為1。23.（解答）對線性模型Y=Xβ+ε,ε～N(0,σ2I)，證明σ?2=‖Y?Xβ?‖2/(n?p)是σ2的無偏估計，其中p=rank(X)。答案：令P=X(X?X)^{?1}X?，則‖Y?Xβ?‖2=Y?(I?P)Y。E[Y?(I?P)Y]=tr[(I?P)Cov(Y)]+E[Y]?(I?P)E[Y]=σ2tr(I?P)+0=σ2(n?p)，故E[σ?2]=σ2。24.（解答）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～Poisson(λ)，用中心極限定理推導λ的近似(1?α)置信區(qū)間。答案：√n(X??λ)/√λ?N(0,1)，用Slutsky以X?代λ，得X?±z_{α/2}√(X?/n)。25.（解答）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～U(0,θ)，求θ的UMVUE并驗證其無偏性。答案：充分統(tǒng)計量T=X???，密度f_T(t)=nt^{n?1}/θ?,0<t<θ。令U=(n+1)T/n，則E(U)=∫?^θ(n+1)t/n·nt^{n?1}/θ?dt=θ，故U為UMVUE。26.（綜合）某生產(chǎn)線包裝量X～N(μ,σ2)。隨機抽取n=16袋，測得x?=502g，s=4g。(1)檢驗H?:μ=500vsH?:μ≠500，α=0.05；(2)求μ的95%置信區(qū)間；(3)若要求估計誤差不超過1g，求所需最小樣本量。答案：(1)T=√16(502?500)/4=2.0，雙側(cè)t_{0.025}(15)=2.131，|2.0|<2.131，不拒絕H?；(2)502±2.131×4/4=[499.87,504.13]；(3)n≥(z_{0.025}σ/E)2≈(1.96×4/1)2=61.47，取62。27.（綜合）設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，樣本相關(guān)系數(shù)r=0.6，n=20。(1)檢驗H?:ρ=0vsH?:ρ≠0，α=0.05；(2)求ρ的95%置信區(qū)間（Fisher變換）。答案：(1)T=r√(n?2)/√(1?r2)=0.6√18/0.8=3.18>t_{0.025}(18)=2.101，拒絕H?；(2)z=0.5ln[(1+r)/(1?r)]=0.693，se=1/√(n?3)=0.242，z±1.96×0.242→[0.218,1.168]，反變換得ρ∈[0.21,0.82]。28.（綜合）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～Gamma(α,β)，α已知，β未知。(1)求β的MLE；(2)求β的Cramér-Rao下界；(3)構(gòu)造β的似然比檢驗統(tǒng)計量檢驗H?:β=β?。答案：(1)L=nαlnβ?β∑X?+const，求導得β?=α/X?；(2)I(β)=nα/β2，下界β2/(nα)；(3)Λ=2[?(β?)??(β?)]=2nα[ln(β?/β?)?(β??β?)/β?]?χ2(1)。29.（綜合）對一維核密度估計f?_h(x)=1/(nh)∑K((x?X?)/h)，其中K為對稱核，∫K=1。(1)證明∫f?_h(x)dx=1；(2)推導其均方誤差A(yù)MISE表達式；(3)求最優(yōu)帶寬h_{opt}。答案：(1)交換積分與求和，∫K=1即得；(2)AMISE=‖K‖?2/(nh)+h?μ?2(K)∫[f″(x)]2dx/4；(3)最小化AMISE得h_{opt}=[‖K‖?2/(nμ?2(K)∫[