（時(shí)長(zhǎng)：120分鐘分值：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方法則和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求得，可求得的虛部.【詳解】因?yàn)椋?，所以的虛部?故選：A.2.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得和，結(jié)合集合交集的定義與運(yùn)算，即可求解.【詳解】由不等式，可得，解得，所以集合，又由，則滿足，即，解得，所以集合，所以.故選：C.3.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，故含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.4.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將直線方程化為一般式，求出圓心到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.【詳解】將直線化為，則圓半徑為，且圓心到直線的距離為，又因?yàn)?，所以，即，解?故選：A.5.“”是“方程表示雙曲線”（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件【答案】A【解析】【分析】由方程表示雙曲線可得或，進(jìn)而可知“”是該方程表示雙曲線的充分而不必要條件.【詳解】若方程表示雙曲線，則有，解得或.所以是方程表示雙曲線的充分而不必要條件.故選：A.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，記，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知函數(shù)周期，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，又，，，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，所以，則，所以，所以的周期為8.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，，，所以，所?故選：D.7.已知函數(shù)（）的圖象上存在點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)，且、關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，由題意可知在上有零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的零點(diǎn)即可求解【詳解】令，，，因?yàn)樯洗嬖陉P(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以，則，令，要使有對(duì)稱點(diǎn)，則在上有零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以，要使在上有零點(diǎn)，則，即，解得，故選：C8.蒙日是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，為橢圓上任意兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上.若恒為銳角，根據(jù)蒙日?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)得橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A定義求得橢圓的蒙日?qǐng)A方程，根據(jù)為銳角可知直線與蒙日?qǐng)A相離，根據(jù)直線與圓位置關(guān)系可求得范圍，進(jìn)而得到離心率的取值范圍.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，直線，與橢圓都相切，，所圍成矩形的外接圓即為橢圓的蒙日?qǐng)A，為橢圓上任意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足為銳角，

點(diǎn)在圓外，又動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線與圓相離，，解得：，又，；橢圓離心率，，.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.的公差為2 B.C.的最大值為36 D.使得的的最大值為11【答案】BCD【解析】【分析】由題意得，可得，進(jìn)而得，依此逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得，解得，所以對(duì)于A，公差，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，故B正確；對(duì)于C，，故的最大值為，故C正確；對(duì)于D，由，解得，又因?yàn)?，所以使得的最大值?1，故D正確.故選：BCD.10.如圖，四棱錐的底面是梯形，，，，，平面平面，，分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面內(nèi)包括邊界的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.三棱錐外接球的體積為C.異面直線與所成角的余弦值為D.若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平面平面，得到平面,可判斷A，B選項(xiàng)；異面直線與所成角的余弦值在中由余弦定理，可判斷C選項(xiàng)；若直線與平面所成的角為，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓可判斷D選項(xiàng).【詳解】易證四邊形為菱形，所以，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面又平面，所以，故A正確；易證為等腰直角三角形，為等邊三角形，且平面平面，所以三棱錐外接球的球心為等邊三角形的中心，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理，得，故C正確；因?yàn)槠矫妫詾樵谄矫鎯?nèi)的射影，若直線與平面所成的角為，則，因?yàn)椋?，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D錯(cuò)誤．故選：．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù)B.函數(shù)的最小正周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.若，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)奇偶性、周期性和對(duì)稱性的概念判斷ABC，利用導(dǎo)函數(shù)求出在的單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性畫出函數(shù)的大致函數(shù)圖象，由題意可得當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)圖象列不等式組求解即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，結(jié)合選項(xiàng)D中的函數(shù)圖象可知，所以的最小正周期是，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合對(duì)稱性，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，，由題意可得，當(dāng)時(shí)，.，結(jié)合函數(shù)的圖象可得：，解得，則的取值范圍是，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，若向量在向量上的投影向量為，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】，，由題意得，即，解得.故答案：.13.已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求得，得到，再由函數(shù)為增函數(shù)，結(jié)合，求得切點(diǎn)為，進(jìn)而求得的值.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)切點(diǎn)，則，因?yàn)橹本€與曲線相切，可得，即，又因?yàn)楹瘮?shù)和在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以由，可得唯一解，所以切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.14.如圖所示，三棱錐中，，，則三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】過作于，連結(jié)，則.過作于.得到，利用分析法，要使三棱錐的體積最大，只需要的面積最大，只需最大，計(jì)算最值代入即可.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，又，所?過作于，連結(jié)，則.過作于.因?yàn)?，所以，而，所以為的中點(diǎn).因?yàn)?，所以?所以.要使三棱錐的體積最大，只需要的面積最大，而，只需最大.因?yàn)?，所以只需最?在中，，所以在以D、B為焦點(diǎn)的橢圓上，如圖示：因?yàn)?，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，要使最大，只需為短軸頂點(diǎn)，即AF為短軸的一半.此時(shí)，所以.所以，所以，所以，即三棱錐體積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點(diǎn)，為的平分線，且，求的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，再結(jié)合余弦定理解得，進(jìn)而可得面積.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，且，即，整理可得，且，則，可得，又因?yàn)?，則，可得，所以.【小問2詳解】因?yàn)闉榈钠椒志€，則，因?yàn)?，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.16.為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．（1）求小明至少正確完成其中3道題的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析，3（3）選擇小宇，理由見解析【解析】【分析】（1）小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，然后求各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）分別計(jì)算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過比較概率的大小可得答案.【小問1詳解】記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則．【小問2詳解】X的可能取值為2，3，4，，，X的分布列為；X234P數(shù)學(xué)期望．【小問3詳解】由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；因?yàn)?，故小宇進(jìn)決賽的可能性更大，所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽．17.如圖，在五面體中，平面平面，且，.（1）求證：平面平面；（2）已知是線段上一點(diǎn)，且滿足，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖，設(shè)中點(diǎn)為，可證及平面，故可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證平面平面；（2）利用向量法可求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，過作，令交于，連接，所以，且.由已知，且，所以，且所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)橹校?，所以為等腰三角形，而，則有，平面，又平面平面，平面平面，所以平面，所以平面又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知Ox、OB、OD三條直線兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，設(shè)平面的法向量，則有，取，由得，則，設(shè)平面的法向量，則有取.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，，求的最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【解析】【分析】（1）先求解出，然后分類討論確定單調(diào)性，再求最小值，然后解不等式即可；（2）根據(jù)是的兩個(gè)極值點(diǎn)可求得的值，再利用的值將化簡(jiǎn)成，然后通過構(gòu)造新函數(shù)并分析其定義域結(jié)合單調(diào)性求解出其最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由得?①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不滿足題意，②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，解得，所以的取值范圍為.（2）函數(shù)，定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，是函?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，是方程的兩個(gè)不等正根，則有，，，得，對(duì)稱軸，故，.且有，，.令，則，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題，同時(shí)注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題；②通過的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問題替換為（或）的單變量問題；（3）構(gòu)造關(guān)于或或的新函數(shù)，同時(shí)根據(jù)已知條件確定出或或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)、直線，我們稱為點(diǎn)到直線的方向距離.（1）設(shè)雙曲線上的任意一點(diǎn)到直線，的方向距離分別為，求的值；（2）設(shè)點(diǎn)、到直線的方向距離分別為，試問是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的都有成立？說明理由；（3）已知直線和橢圓，設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到直線的方向距離分別為滿足，且直線與軸的交點(diǎn)為、與軸的交點(diǎn)為，試比較的長(zhǎng)與的大小.【答案】(1)；(2)，理由見詳解；(3)，證明見詳解.【解析】【分析】(1)根據(jù)定義表示出，然后結(jié)合點(diǎn)在雙曲線上計(jì)算出的值；(2)假設(shè)存在滿足