不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用研究摘要本文在大致了解不動(dòng)點(diǎn)理論發(fā)展的基礎(chǔ)之上，介紹了該理論體系中十分重要的巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，并對(duì)該不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用和推廣進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析和總結(jié)，主要論述了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的幾種形式、證明、相關(guān)結(jié)論、在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用、以及一個(gè)簡(jiǎn)單推廣.主要運(yùn)用案例分析法，根據(jù)大學(xué)數(shù)學(xué)中不動(dòng)點(diǎn)定理的幾種常用形式，探討和總結(jié)其在證明分定理、求解方程問(wèn)題和數(shù)學(xué)建模方面的應(yīng)用，并給出了常見(jiàn)的壓縮映射構(gòu)造方法，讓我們可以借助不動(dòng)點(diǎn)這個(gè)輔助工具更快捷、熟練的解決問(wèn)題.第一章是緒論，首先闡明了我對(duì)該問(wèn)題產(chǎn)生興趣并作為研究對(duì)象的原因，并敘述了目前我對(duì)該知識(shí)結(jié)構(gòu)形成的一個(gè)大體框架；其次，對(duì)所研究的不動(dòng)點(diǎn)定理的歷史背景、發(fā)展歷程做了概述，介紹了其中的重要內(nèi)容；最后敘述了我對(duì)該定理研究和發(fā)展的認(rèn)識(shí)，闡明本研究的重要意義.第二章是預(yù)備知識(shí)，給出了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理所涉及到的相關(guān)定義和定理作為開(kāi)展研究的基礎(chǔ)，并對(duì)有關(guān)重點(diǎn)進(jìn)行了注釋，是整篇文章的理論基石.第三章是不動(dòng)點(diǎn)定理的基本結(jié)論，通過(guò)查閱、總結(jié)大量的相關(guān)材料，借鑒參考文獻(xiàn)，給出了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的內(nèi)容及其證明，并總結(jié)了它的幾種常用變形形式，是后續(xù)案例分析的理論依據(jù).第四章是巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用，是本篇文章的核心內(nèi)容，采用案例分析法進(jìn)行研究，介紹了它在各個(gè)數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用：證明數(shù)學(xué)分析中的定理、解決數(shù)列極限、代數(shù)方程和積分方程問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題等.深刻體會(huì)該定理的廣泛性和實(shí)用性，并學(xué)以致用.第五章是構(gòu)造方法及推廣，給出了壓縮映射的兩種常見(jiàn)構(gòu)造方法作為輔助工具，以便更簡(jiǎn)單、快捷的解決問(wèn)題.同時(shí)，給出了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)簡(jiǎn)單推廣和證明，擴(kuò)大了該定理的適用范圍，深刻體會(huì)它作為輔助工具的便捷性和實(shí)用性.結(jié)束語(yǔ)歸結(jié)了相關(guān)問(wèn)題背后的實(shí)質(zhì)就是不動(dòng)點(diǎn)理論，總結(jié)了運(yùn)用該定理解決問(wèn)題的常規(guī)思路和方法，合理、有效的運(yùn)用該定理解決問(wèn)題.關(guān)鍵詞不動(dòng)點(diǎn)迭代法數(shù)學(xué)分析方程解的存在性和唯一性數(shù)學(xué)建模目錄摘要緒論1.1寫(xiě)作動(dòng)機(jī)1.2不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展歷程1.3研究意義預(yù)備知識(shí)2.1相關(guān)定義2.2基本定理2.3相關(guān)釋義不動(dòng)點(diǎn)定理的基本結(jié)論3.1巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理及其證明3.2巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的幾種形式3.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用4.1在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用4.2在方程求解中的應(yīng)用4.3在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用構(gòu)造方法及推廣5.1壓縮映射的構(gòu)造方法5.2不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)推廣定理結(jié)束語(yǔ)參考文獻(xiàn)第一章緒論1.1寫(xiě)作動(dòng)機(jī)偶然間，我在網(wǎng)上看到了上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系王維克教授《數(shù)學(xué)之旅-不動(dòng)點(diǎn)定理》的視頻，他從非常簡(jiǎn)單的事實(shí)出發(fā)引出了不動(dòng)點(diǎn)，引起了我對(duì)不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)知識(shí)的關(guān)注.事例1：沿著一個(gè)圓的軌跡定向攪拌一杯咖啡，顯然有一個(gè)點(diǎn)是不動(dòng)的，如果沿“∞”型軌跡攪拌，是否還能找到不動(dòng)點(diǎn)？事例2：有兩根繩子，將其中一根展開(kāi)平放，另一根繩子任意折疊后放在展開(kāi)的繩子上方，兩根繩子是否有一個(gè)點(diǎn)在兩根繩子上的位置是重合的，不動(dòng)的？這個(gè)問(wèn)題引發(fā)了我對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的濃厚興趣.不動(dòng)點(diǎn)理論是數(shù)學(xué)的重要分支之一，而不動(dòng)點(diǎn)定理作為高等代數(shù)和泛函分析中的一個(gè)重要理論，是本科數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重難點(diǎn)，在《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》的課程中，我第一次系統(tǒng)、深刻的接觸到不動(dòng)點(diǎn)定理，帶給了我非常大的震撼.此前的學(xué)習(xí)中，我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中接觸到了數(shù)列極限、隱函數(shù)存在定理、區(qū)間套定理、積分方程等知識(shí)，在高等代數(shù)中接觸到了代數(shù)方程組求解等問(wèn)題，還涉及了數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域，當(dāng)時(shí)我們的思維還不夠發(fā)散，知識(shí)層次也較低，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)只停留在表面，大部分人僅限于知道某個(gè)知識(shí)點(diǎn)是什么，它是怎么來(lái)的，可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用，很少有人能深入的探討它背后更深?yuàn)W的知識(shí)，做到融會(huì)貫通.泛函分析課程中剛接觸不動(dòng)點(diǎn)定理的時(shí)候，覺(jué)得很抽象、很難理解，因?yàn)樵谄渌麛?shù)學(xué)課程中，比如數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，對(duì)于定理的適用范圍往往較為狹窄,而且針對(duì)性較強(qiáng)，一個(gè)定理往往是為解決某一類問(wèn)題提供了方法，而巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理適用范圍卻非常廣，很多復(fù)雜問(wèn)題都能被簡(jiǎn)單化.比如證明隱函數(shù)存在定理，證明解的唯一存在性定理，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)理論比常規(guī)方法簡(jiǎn)單了許多，它不僅是一個(gè)定理，同時(shí)也提供了解決問(wèn)題的工具，比如迭代法（逐次逼近法），這讓我對(duì)不動(dòng)點(diǎn)理論的興趣更濃了.在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域，不動(dòng)點(diǎn)理論體系是非常龐大的，各個(gè)數(shù)學(xué)分支中多多少少都有涉及，人們對(duì)它的研究和應(yīng)用也是十分廣泛和深入.通過(guò)查閱相關(guān)資料，我了解到，巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理只是不動(dòng)點(diǎn)理論體系中一個(gè)很小的分支，它屬于壓縮型的不動(dòng)點(diǎn)定理.其實(shí)，僅僅是壓縮型不動(dòng)點(diǎn)定理的種類就已經(jīng)很多了，它先從線性的推廣到非線性的，再進(jìn)一步推廣到抽象型.對(duì)于巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的研究，常見(jiàn)的是在理論學(xué)習(xí)中研究其在數(shù)列極限、解的存在唯一性、積分方程等方面的應(yīng)用，在社會(huì)應(yīng)用中通過(guò)研究微分方程方面的問(wèn)題來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.目前來(lái)說(shuō)，我的知識(shí)水平和研究能力有限，因此選擇了我們?cè)诖髮W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中涉及到的不動(dòng)點(diǎn)相關(guān)理論為研究對(duì)象，主要分析和總結(jié)了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理在證明數(shù)學(xué)分析中的定理、解決數(shù)列極限、代數(shù)方程和積分方程問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題方面的應(yīng)用,希望通過(guò)更深入的學(xué)習(xí)能夠進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和能力.1.2不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展歷程通過(guò)對(duì)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理更深入的學(xué)習(xí)和研究，我了解到不動(dòng)點(diǎn)理論的相關(guān)研究起源于20世紀(jì)初，是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家Brouwer創(chuàng)立的，1909年他發(fā)表了一系列關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)定理的論文，為不動(dòng)點(diǎn)理論的后續(xù)發(fā)展奠定了基礎(chǔ).在這個(gè)基礎(chǔ)上，波蘭的數(shù)學(xué)家Banach于1922年提出了一個(gè)簡(jiǎn)單又實(shí)用的不動(dòng)點(diǎn)定理，即巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，它不僅提出了不動(dòng)點(diǎn)的存在性和唯一性，并且提出了求不動(dòng)點(diǎn)的一種方法.緊接著，美國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1923年提出了一個(gè)更為重要的理論，即萊布尼茨不動(dòng)點(diǎn)理論.1927年，數(shù)學(xué)家尼爾森對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，進(jìn)而提出了尼爾森數(shù).此后，我國(guó)的一批數(shù)學(xué)家石根華、江澤涵等人對(duì)尼爾森數(shù)的計(jì)算情形進(jìn)行了推廣，推出了萊布尼茨不動(dòng)點(diǎn)理論逆定理.1941年，日本的數(shù)學(xué)家角谷靜夫提出了集值不動(dòng)點(diǎn)理論，使得博弈論在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的建立有了理論準(zhǔn)備.1967年，美國(guó)的著名數(shù)學(xué)家Scarf證明了不動(dòng)點(diǎn)定理的構(gòu)造性.繼而，Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理在1968年被證明.1987年，在拓?fù)淇臻g建立的不動(dòng)點(diǎn)理論將其發(fā)展推向更廣闊的領(lǐng)域.1990年以后，對(duì)不動(dòng)點(diǎn)的研究進(jìn)入高潮，各種不動(dòng)點(diǎn)定理和逼近方法不斷被提出，其大部分內(nèi)容屬于泛函分析和拓?fù)鋵W(xué)的范疇.目前，對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)理論的探索主要集中在兩方面：一是各類方程不動(dòng)點(diǎn)的研究，以及解集性態(tài)的研究；二是對(duì)一些算子不動(dòng)點(diǎn)逼近理論的研究.對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)定理研究大多屬于泛函分析和拓?fù)鋵W(xué)的范疇，本文的研究主要是建立在泛函分析中的不動(dòng)點(diǎn)定理之上[1].在拓?fù)鋵W(xué)中，有一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，即L.E.J.Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，它的提出為不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)，它可以運(yùn)用到有限維拓?fù)淇臻g，為一般不動(dòng)點(diǎn)理論奠定了基礎(chǔ)[2].此后，L.E.J.Brouwer構(gòu)造了單純逼近、拓?fù)涠鹊雀拍睿瑸榻鉀Q不變性問(wèn)題起了重要作用.1.3研究意義在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展中，巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理具有重要作用，它給出了求解線性方程的最佳逼近方式，并給出了解的構(gòu)造方法.該定理在多個(gè)領(lǐng)域都有了廣泛且深入的研究和應(yīng)用，比如數(shù)學(xué)分析、微分方程、代數(shù)方程、積分方程、算子方程等學(xué)科.在高等教育的數(shù)學(xué)課程中，比如泛函分析、數(shù)學(xué)建模、凸輪、常微分方程等，都對(duì)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理進(jìn)行了深入的學(xué)習(xí)，開(kāi)闊了學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的眼界，提升了數(shù)學(xué)思維和能力，為以后在數(shù)學(xué)方向的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).在實(shí)踐中，也給參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽、數(shù)學(xué)建模的同學(xué)提供了有效的幫助，有助于學(xué)生發(fā)散思維、明晰解題思路.在泛函分析中，對(duì)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支進(jìn)行了統(tǒng)一、抽象的處理，比如隱函數(shù)存在定理、各類方程解的存在定理，都可以歸結(jié)為不動(dòng)點(diǎn)定理.實(shí)質(zhì)上，算子方程求解問(wèn)題就是不動(dòng)點(diǎn)定理，他是很多數(shù)學(xué)分支的重要理論基礎(chǔ)，用于求解各類問(wèn)題解的存在性和唯一性.同時(shí)，對(duì)于該定理的研究結(jié)果，也被廣泛的運(yùn)用到各個(gè)應(yīng)用性領(lǐng)域，比如分析數(shù)學(xué)、控制論、經(jīng)濟(jì)學(xué)、最優(yōu)化理論、博弈論等，對(duì)學(xué)生后續(xù)進(jìn)行更深層次、更大范圍的學(xué)習(xí)和研究奠定了扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[3].波利亞說(shuō)過(guò)一段話，大概意思就是：當(dāng)你遇到一個(gè)無(wú)法解決的問(wèn)題時(shí)，不妨試著考慮與它有關(guān)聯(lián)的“輔助”問(wèn)題，可能會(huì)有意想不到的收獲.我認(rèn)為，不動(dòng)點(diǎn)理論就是一個(gè)十分有效并且適用范圍很廣的“輔助”工具.本文主要研究大學(xué)數(shù)學(xué)課程中對(duì)不動(dòng)點(diǎn)定理的講解和應(yīng)用，可以幫助大學(xué)生對(duì)不動(dòng)點(diǎn)定理有一個(gè)較為系統(tǒng)的了解和更深入的認(rèn)識(shí)，并將這個(gè)“輔助”工具學(xué)以致用，能夠?qū)⑺鶎W(xué)數(shù)學(xué)分支的內(nèi)容融會(huì)貫通，深刻體會(huì)不動(dòng)點(diǎn)定理的奧妙，進(jìn)而為以后在數(shù)學(xué)方向更深層次的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).第二章預(yù)備知識(shí)2.1相關(guān)定義定義2.1[4]設(shè)是一個(gè)集合，若對(duì)于中任意兩個(gè)元素，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：（1）,且當(dāng)且僅當(dāng)（非負(fù)性）；（2）（對(duì)稱性）；（3）（三角不等式）；則稱為兩點(diǎn)之間的距離，是上的一個(gè)距離函數(shù)，稱為度量空間或距離空間.定義2.2[4]設(shè)是度量空間，是中點(diǎn)列，如果對(duì)任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，必有，則稱是中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列.定義2.3[4]若度量空間中的每個(gè)柯西點(diǎn)列都在中收斂，那么稱是完備的度量空間.注意：此處要求，在中存在一點(diǎn)，使上述柯西點(diǎn)列收斂于這一點(diǎn).定義2.4[4]給定度量空間和的映射，如果存在，使，則稱為映射的不動(dòng)點(diǎn).定義2.5[5][6]設(shè)是度量空間，是到中的映射，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)所有的，，則稱是壓縮映射.定義2.6（高等代數(shù)上的定義）設(shè)在閉區(qū)間上有定義，方程在上的解被稱為在上的不動(dòng)點(diǎn)．若存在常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則稱是上的一個(gè)壓縮映射．2.2基本定理定理2.7（巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理-壓縮映射原理[4]）設(shè)是完備的度量空間，是上的壓縮映射，那么有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．即，方程有且僅有一個(gè)解．定理2.8（高等代數(shù)中的不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)是有界閉區(qū)間上的壓縮映射，那么在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)．2.3相關(guān)釋義注1[7]壓縮映射一定是連續(xù)映射，所以對(duì)于任意的收斂列，都有.實(shí)際上，由，可得，所以.注2要求度量空間完備是為了確保映射的不動(dòng)點(diǎn)是存在的，是必須具備的條件.注3不動(dòng)點(diǎn)的代數(shù)意義：如果方程存在實(shí)數(shù)根，那么存在不動(dòng)點(diǎn).注4不動(dòng)點(diǎn)幾何意義：如果函數(shù)和有交點(diǎn)，那么是的不動(dòng)點(diǎn)；對(duì)于任意的兩個(gè)點(diǎn)，通過(guò)映射得到的像之間的距離比兩點(diǎn)間的距離更近.換句話說(shuō)，就是對(duì)于任意的兩點(diǎn)，它們的像之間的距離不超過(guò)之間距離的倍，.

第三章不動(dòng)點(diǎn)定理的基本結(jié)論3.1巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理及其證明定理設(shè)是一個(gè)完備的度量空間，是上的一個(gè)壓縮映射，那么有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).即，存在唯一，使方程成立.證明設(shè)是中的任意一點(diǎn)，令首先，證明點(diǎn)列是完備度量空間中的柯西列.實(shí)際上，根據(jù)三角不等式，可知當(dāng)時(shí)，有.因?yàn)?，所以有，因?于是，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)列是中的柯西列.又因?yàn)槭峭陚涞模源嬖?，使得時(shí)，.是壓縮映射，由三角不等式可知，當(dāng)時(shí)，該不等式右端趨于0.因此，，即.再證唯一性.假設(shè)另有一個(gè)，使得.因?yàn)槭菈嚎s映射，則有.又因?yàn)椋砸欢ㄓ?，?3.2巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的幾種變形定理3.1(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上是連續(xù)的，且異號(hào)(即)，那么至少存在一點(diǎn)，使得．定理3.2[8]設(shè)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，，并且有，那么在上至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即．定理3.3[8]設(shè)函數(shù)是閉區(qū)間上的壓縮映射（連續(xù)），且，那么在上至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．定理3.4[8]設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是可微的，并且有，任意選取，令，則有，是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).定理3.5對(duì)數(shù)列，如果有一個(gè)常數(shù)：，使得對(duì)于任意的，滿足，那么數(shù)列收斂.定理3.6對(duì)于一元函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，如果存在一個(gè)常數(shù)，有成立，那么數(shù)列收斂.定理3.7設(shè)函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，在上可微，并且存在，使得對(duì)于任意的，有，則是上的一個(gè)壓縮映射.3.3不動(dòng)點(diǎn)迭代法逼近不動(dòng)點(diǎn)的基本思想就是對(duì)方程進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換：“滿足方程”等價(jià)于“滿足”，就是方程的不動(dòng)點(diǎn).此時(shí)，就將求方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了求的不動(dòng)點(diǎn).首先，在確定有根存在的區(qū)間內(nèi)選取初始近似值，然后由構(gòu)造公式：，得到數(shù)列，稱是迭代序列，就是迭代函數(shù).若迭代序列收斂于，那么當(dāng)是連續(xù)函數(shù)時(shí)，在等式兩邊都取極限，得到，即.則就是方程的根.但是在實(shí)際計(jì)算中我們不能將迭代計(jì)算無(wú)限進(jìn)行下去，所以在實(shí)際中，當(dāng)足夠大時(shí)，若有，就把作為原方程的近似根.這種方法就稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代法.第四章不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用4.1在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用4.1.1證明數(shù)學(xué)分析中存在性定理定理[9]設(shè)是完備的度量空間，是上的一個(gè)可微函數(shù)，且滿足條件:，，則在上有唯一的不動(dòng)點(diǎn).證明，所以，映射是壓縮映射，根據(jù)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理可得，在完備度量空間上，存在唯一的不動(dòng)點(diǎn).4.1.2證明隱函數(shù)存在定理定理[4]設(shè)函數(shù)在帶狀域中每一處都連續(xù)，且處處都有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù).若還存在兩個(gè)常數(shù)和，滿足條件：.那么，方程在閉區(qū)間上必然有唯一的連續(xù)函數(shù)作為它的解：證明在完備的空間中，作映射，使得對(duì)于任意的函數(shù)，有.根據(jù)定理的條件知，函數(shù)是連續(xù)的，則也是連續(xù)的，即.所以，是到自身的映射.下證是一個(gè)壓縮映射.任意選取，由微分中值定理知，存在，滿足：.因?yàn)?，所以不妨令，則有，并且.根據(jù)中關(guān)于距離的定義，可知.所以，是壓縮映射.根據(jù)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理知，存在唯一滿足，即.也就是說(shuō)，,,得證.4.1.3證明區(qū)間套定理區(qū)間套定理[10]：如果閉區(qū)間列滿足下列條件：，則存在唯一，使得，證明根據(jù)條件，不妨設(shè)閉區(qū)間列中的任意兩個(gè)區(qū)間都不完全重合，且閉區(qū)間顯然依距離構(gòu)成完備的度量空間.構(gòu)造映射則對(duì)任意，都有，于是是到自身的映射.對(duì)任意的，有，令，因?yàn)?，于是，從而得到，且，所?因此，是到自身的映射.由巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理可知，在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，即存在，使得，又，所以存在，假設(shè)還存在另外一個(gè)，有則有，所以因此，定理得證.4.1.4數(shù)列極限問(wèn)題中的應(yīng)用完備的度量空間中的映射一定含有不動(dòng)點(diǎn)，巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理提供了一個(gè)求不動(dòng)點(diǎn)的方法，即利用迭代法逐次逼近。設(shè)是一個(gè)完備的的度量空間，任意取點(diǎn)，作點(diǎn)列，它一定無(wú)限趨近于方程的解。所以，在求解數(shù)列極限問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)壓縮映射構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列必收斂于不動(dòng)點(diǎn).如此，就將數(shù)列極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了方程求解問(wèn)題，即求不動(dòng)點(diǎn).例[11]證明數(shù)列收斂，并求極限.證明考察函數(shù)，選閉區(qū)間，則，并且，只需選取壓縮系數(shù)，就有，根據(jù)定理3.3知數(shù)列收斂,且該數(shù)列極限即是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，解方程，得，即.4.2在方程求解中的應(yīng)用4.2.1多項(xiàng)式方程求近似解巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理不但證明了方程的解的存在性和唯一性，而且給出了求其近似解的方法，即逐次逼近法，以及誤差估計(jì)，這是數(shù)學(xué)計(jì)算中的一個(gè)重要方法.在求解線性方程時(shí)，次數(shù)較低方程借助于零點(diǎn)定理等常見(jiàn)方法即可判斷其解的情況，而對(duì)于次數(shù)高的線性方程，常規(guī)方法并不能有效解決問(wèn)題。例[11]求方程的近似解，．解方程可化為，作映射，迭代函數(shù)，對(duì)，恒有.根據(jù)定義２.5可知,為上的壓縮映射.根據(jù)定義2.3易知，是完備度量空間.則在上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)，使得，對(duì)任一點(diǎn)，迭代收斂于。不妨設(shè)，可得實(shí)數(shù)解的近似值，誤差估計(jì)為.如果用Newton切線法求上述方程的近似解，需要考慮函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、初始近似值的選取等，頗為復(fù)雜。若利用不動(dòng)點(diǎn)定理，在閉區(qū)間上構(gòu)造一個(gè)壓縮映射，就可以解決問(wèn)題，更為簡(jiǎn)便.例計(jì)算近似值.解是方程實(shí)根，令，則對(duì)任意，有.構(gòu)造函數(shù)，則有.由定理3.7可知，是上的一個(gè)壓縮映射，壓縮系數(shù).再令，由函數(shù)迭代法，得.由此可得，的近似值的誤差估計(jì)為.由此可知，計(jì)算實(shí)數(shù)的n次方根時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化成方程求解的問(wèn)題，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理求解，更為快捷.4.2.2代數(shù)方程問(wèn)題中的應(yīng)用4.2.2.1代數(shù)方程解的存在唯一性定理定理設(shè)是階方陣，是一組實(shí)數(shù)，滿足條件，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，則可得代數(shù)方程組：，對(duì)于任意固定的一組，有且僅有一組解存在.證明任取一個(gè)向量，構(gòu)造線性算子，有：則可知，算子是一個(gè)到自身的線性變換，并且：又由，可得到算子是到自身的一個(gè)壓縮映射，因?yàn)槭前湍煤湛臻g，所以有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，有，即，即存在唯一的，滿足代數(shù)方程組成立的條件.4.2.2.2無(wú)窮代數(shù)方程組求解問(wèn)題定理[10]如果滿足條件，那么無(wú)窮代數(shù)方程組，對(duì)任意的序列，有且僅有一個(gè)解.證明作空間上到自身的映射，記，并且令，.對(duì)于任意的定義其距離，所以有因此，映射是到自身的一個(gè)壓縮映射，又因?yàn)榭臻g是完備的度量空間，所以由巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理可知，映射在空間上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即存在，使得，故原方程組的解是唯一的.4.2.3積分方程問(wèn)題中的應(yīng)用計(jì)算數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到積分方程的解的相關(guān)問(wèn)題，首先我們需要判斷方程解的存在情況以及唯一性，然后用逐次逼近法進(jìn)行求解運(yùn)算.如果運(yùn)用之前所學(xué)的數(shù)學(xué)分析的知識(shí)解決問(wèn)題，則難度較大，且過(guò)程十分復(fù)雜.不動(dòng)點(diǎn)定理不僅證明了一類方程解的存在性和唯一性，并且提供了迭代法來(lái)求不動(dòng)點(diǎn).定理[12-14]設(shè)函數(shù)是連續(xù)的，函數(shù)在正方形區(qū)域上連續(xù)，并且存在常數(shù)，使得，則當(dāng)時(shí)，必然有唯一的滿足方程.證明是連續(xù)函數(shù)空間，在其上定義映射，記，對(duì)任意，都有，可知是連續(xù)空間的一個(gè)壓縮映射，由巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理可知該積分方程有唯一解，且連續(xù).4.3在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用作為連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)之一，巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理在一些數(shù)學(xué)模型的建立中具有獨(dú)特應(yīng)用．下例是不動(dòng)點(diǎn)定理的一種變換形式在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用，進(jìn)一步體現(xiàn)了不動(dòng)點(diǎn)定理應(yīng)用的廣泛性．例[15](分蛋糕模型)現(xiàn)有一塊蛋糕，邊界為任意形狀，哥哥為了考驗(yàn)弟弟，提出了下列問(wèn)題：在蛋糕上任意指定一點(diǎn)P，你能否沿著過(guò)點(diǎn)P的一條直線將蛋糕平均分成兩份？弟弟認(rèn)為，從理論上來(lái)說(shuō)是可以做到的．因此，就需要弟弟通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)證明：過(guò)蛋糕上任意一點(diǎn)P切一刀，可以將蛋糕分成平均的兩份．模型假設(shè)(1)蛋糕厚薄一致，各處疏密均勻．(2)刀切截面與蛋糕平面是相互垂直的．(3)蛋糕邊界是一條封閉的沒(méi)有交叉點(diǎn)的平面曲線．模型分析該問(wèn)題可以抽象為：在平面上，由一條沒(méi)有交叉點(diǎn)的封閉曲線圍成一任意圖形，能不能在圖形內(nèi)的任意一點(diǎn)P作一條直線L將圖形分成面積相等的兩部分？模型求解過(guò)點(diǎn)P的直線L將蛋糕分成兩部分，設(shè)直線L與水平X軸的夾角為，以P為中心旋轉(zhuǎn)直線L(假設(shè)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn))．易知隨著的變化而變化，記，．另設(shè)．若，不妨設(shè)．取在上變化，則在上是連續(xù)變化的．同時(shí)有，．因?yàn)楫?dāng)L繞點(diǎn)P從轉(zhuǎn)到時(shí)，最后的是最初的，而最后的則是最初的．由巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，可知必存在一點(diǎn)，使得和．因此，從理論上來(lái)說(shuō)，通過(guò)該模型可以實(shí)現(xiàn)平分蛋糕.在解決同類型的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通過(guò)取合適的值，可以得到相應(yīng)的解答．不動(dòng)點(diǎn)理論在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用也是十分廣泛，也可以利用它來(lái)解決另一個(gè)我們身邊的模型問(wèn)題，即在凹凸不平的地面上，能否將一把椅子放平穩(wěn)？這里我們只列舉這一種來(lái)感受它的應(yīng)用性.第五章構(gòu)造方法及推廣5.1壓縮映射的構(gòu)造方法前面，我們充分討論了巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理在數(shù)學(xué)學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，為解決問(wèn)題提供了更為簡(jiǎn)單快捷的方法，而運(yùn)用這些方法的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造一個(gè)有效的壓縮映射，接下來(lái)，將對(duì)兩種常見(jiàn)的構(gòu)造方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹，并列舉了應(yīng)用實(shí)例.5.1.1通過(guò)區(qū)間長(zhǎng)度比例構(gòu)造壓縮映射定理[16]設(shè)是實(shí)數(shù)軸上的兩個(gè)非零閉區(qū)間，并且有，則映射是一個(gè)壓縮映射.證明由映射的構(gòu)造易知，它是空間上到自身的映射.因，可知.所以，是距離空間中的壓縮映射.例用區(qū)間長(zhǎng)度構(gòu)造壓縮映射的方法證明聚點(diǎn)定理.證明選取區(qū)間.由于點(diǎn)集有界，所以存在，有，不妨記，有.由于點(diǎn)集是無(wú)限的，將二等分后，得到的兩個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)包含了中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn).如果中包含了的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，記，反之若是中包含了的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則記.反復(fù)進(jìn)行這一步操作，將得到一個(gè)區(qū)間序列，并且有：任一中都含有中的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；;;構(gòu)造合理的壓縮映射.對(duì)于任一，根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的比例可構(gòu)造映射，可知是壓縮映射.根據(jù)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理，可知存在，使得.證明是的聚點(diǎn).實(shí)際上，根據(jù)區(qū)間的選取方式可知，對(duì)于任意的，存在，當(dāng)時(shí)，有.又區(qū)間中包含了的無(wú)窮多點(diǎn)，即中包含了的無(wú)窮多點(diǎn)，可知是的聚點(diǎn)，得證.5.1.1通過(guò)線性方程組構(gòu)造壓縮映射定理在空間上定義距離，矩陣滿足條件：，,作映射：，則它是壓縮映射.證明顯然，度量空間是完備的.如果，則，又，因此是上的壓縮映射，得證.可以通過(guò)上述方法所構(gòu)造的壓縮映射解線性方程組.5.2不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)推廣定理定理5.1[9]設(shè)是完備度量空間上的一個(gè)映射，若存在，使得是上的壓縮映射，則映射在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).證明由巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理知，存在，使得，則可得到，可知也是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).因是壓縮映射，由不動(dòng)點(diǎn)的唯一性知必滿足，即證明了其不動(dòng)點(diǎn)的存在性.下證唯一性.假設(shè)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)是，因?yàn)椋?，故也是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).因是壓縮映射，所以只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則，即映射的不動(dòng)點(diǎn)唯一.當(dāng)取1時(shí)，該定理即是巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)推廣.

結(jié)束語(yǔ)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理是泛函分析中的一個(gè)非常重要的定理，也是不動(dòng)點(diǎn)理論體系的一個(gè)重要分支，分析和研究巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用，對(duì)于我們把握各數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系、將知識(shí)融會(huì)貫通并運(yùn)用到解決問(wèn)題中具有重要意義.我們通過(guò)之前的學(xué)習(xí)和研究了解到，雖然不動(dòng)點(diǎn)定理有非常多的表現(xiàn)形式，但其本質(zhì)都是相通的，在解決問(wèn)題時(shí)，大多就是構(gòu)造合理的壓縮映射和運(yùn)用迭代法求出解.前文已經(jīng)介紹了兩種常見(jiàn)的構(gòu)造方法，對(duì)于其他種類的構(gòu)造方式就不做太深入的探討了，而對(duì)于迭代問(wèn)題，我們大概可以總結(jié)為如下幾個(gè)步驟:運(yùn)用函數(shù)的連續(xù)性證明不動(dòng)點(diǎn)是存在的；運(yùn)用均值定理或中值定理證明不動(dòng)點(diǎn)是唯一的；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和均值定理證明收斂性；求出近似解.但是，在運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，由于不動(dòng)點(diǎn)應(yīng)用的廣泛性，其解題思路較為開(kāi)放，我們要懂得變通，掌握一些技巧，比如：迭代法，是運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)理論解決問(wèn)題的必經(jīng)之路，必須在掌握理論的基礎(chǔ)之上不斷實(shí)踐和積累；三角不等式，是一個(gè)極其重要且有效的放縮工具，在證明收斂、壓縮的過(guò)程中經(jīng)常用到；數(shù)學(xué)歸納法，一般用在有關(guān)次迭代的問(wèn)題中；反證法，是我們學(xué)習(xí)證明方法以來(lái)一直使用的，在這里對(duì)于不動(dòng)點(diǎn)唯一性的證明十分有效且更為簡(jiǎn)單.總之，通過(guò)對(duì)巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理的研究，我們不僅僅是掌握一種新的知識(shí)點(diǎn)和解題方法，更重要的感受是它在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用，以及對(duì)于個(gè)人數(shù)學(xué)知識(shí)體系的完善，數(shù)學(xué)思維和能力的提高.

參考文獻(xiàn)KosakuYosida.Fun