多元統(tǒng)計(jì)分析期末復(fù)習(xí)試題及答案1.單選（每題2分，共20分）1.1在p維正態(tài)總體N_p(μ,Σ)中，若Σ已知，樣本容量n=36，檢驗(yàn)H_0:μ=μ_0，應(yīng)采用的統(tǒng)計(jì)量是A.T2=n(X??μ_0)?Σ?1(X??μ_0)B.T2=(n?1)(X??μ_0)?Σ?1(X??μ_0)C.T2=n(X??μ_0)?S?1(X??μ_0)D.T2=(n?p)(X??μ_0)?S?1(X??μ_0)答案：A解析：Σ已知時(shí)用HotellingT2=n(X??μ_0)?Σ?1(X??μ_0)～χ2(p)。B錯(cuò)在系數(shù)，C、D把Σ換成S，屬于Σ未知情形。1.2對同一組n=50、p=4的數(shù)據(jù)，若欲檢驗(yàn)協(xié)方差陣Σ是否等于給定的Σ_0，應(yīng)選用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從A.χ2分布B.F分布C.似然比統(tǒng)計(jì)量?2lnΛ～χ2D.WilksΛ分布答案：C解析：Σ的檢驗(yàn)屬于似然比范疇，?2lnΛ在正則條件下漸近χ2，自由度為p(p+1)/2。1.3主成分分析中，第k主成分的方差貢獻(xiàn)率等于A.λ_k/(∑λ_i)B.λ_k/pC.λ_k/nD.λ_k/(∑λ_i2)答案：A解析：貢獻(xiàn)率定義為該特征值占全部特征值之和的比例。1.4若樣本協(xié)差陣S的特征值為8,3,1,0.2，則前兩個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率為A.11/12.2B.8/12.2C.11/8D.8/11答案：A解析：(8+3)/(8+3+1+0.2)=11/12.2≈90.16%。1.5在典型相關(guān)分析中，若X為p維、Y為q維，則第一對典型變量(a??X,b??Y)的相關(guān)系數(shù)ρ?滿足A.ρ?=maxcorr(a?X,b?Y)B.ρ?=mincorr(a?X,b?Y)C.ρ?=maxvar(a?X)D.ρ?=maxcov(a?X,b?Y)答案：A解析：典型相關(guān)即最大化兩組變量的相關(guān)系數(shù)。1.6對n=30、p=5的數(shù)據(jù)做聚類，若采用Ward法，其合并準(zhǔn)則本質(zhì)上是A.組間平方和增量最小B.組內(nèi)平方和增量最小C.全linkage最大距離D.重心距離答案：B解析：Ward法最小化合并后組內(nèi)平方和的增量。1.7若判別分析中兩個(gè)總體的協(xié)差陣相等，則Fisher線性判別函數(shù)等價(jià)于A.距離判別B.Bayes判別C.主成分得分D.邏輯回歸答案：A解析：等協(xié)差陣時(shí)，F(xiàn)isher、距離、Bayes（等先驗(yàn)）三者等價(jià)。1.8對同一數(shù)據(jù)，若逐步判別選入變量的準(zhǔn)則為WilksΛ最小化，則每一步實(shí)質(zhì)在做A.單變量t檢驗(yàn)B.多變量方差分析C.似然比檢驗(yàn)D.主成分提取答案：C解析：WilksΛ是多元方差分析的似然比統(tǒng)計(jì)量。1.9若樣本協(xié)差陣S奇異，則A.不能做主成分B.不能做因子分析C.不能求廣義逆D.不能求Mahalanobis距離答案：D解析：Mahalanobis距離需S?1，奇異時(shí)無通常逆；但可用廣義逆做PCA、FA。1.10在多維尺度分析（MDS）中，若選擇歐氏模型，則最終得到的坐標(biāo)矩陣X滿足A.XX?=ΔB.X?X=ΔC.XX?≈??JΔJD.X?X≈??JΔJ答案：C解析：經(jīng)典MDS對雙中心化后的距離矩陣做譜分解，XX?≈??JΔJ。2.多選（每題3分，共15分，多選少選均不得分）2.1下列哪些統(tǒng)計(jì)量可用來檢驗(yàn)多元正態(tài)性A.Mardia偏度B.Mardia峰度C.Royston’sHD.WilksΛE.Q-Q圖答案：ABCE解析：WilksΛ用于均值或協(xié)差檢驗(yàn)，不直接檢驗(yàn)正態(tài)性。2.2關(guān)于主成分回歸（PCR），正確的是A.用全部主成分做回歸等價(jià)于最小二乘B.舍棄小特征值主成分可緩解多重共線C.主成分回歸系數(shù)可解釋回原變量D.PCR對樣本外預(yù)測一定優(yōu)于OLSE.PCR需標(biāo)準(zhǔn)化答案：ABCE解析：D錯(cuò)，PCR未必總是優(yōu)于OLS，取決于舍棄信息是否含噪聲。2.3以下哪些方法屬于無監(jiān)督學(xué)習(xí)A.K-meansB.層次聚類C.DBSCAND.線性判別E.自組織映射答案：ABCE解析：D為監(jiān)督。2.4若因子分析模型X=ΛF+ε，滿足A.cov(F,ε)=0B.E(F)=0C.cov(ε)=對角D.Λ唯一E.F可觀測答案：ABC解析：Λ不唯一，F(xiàn)不可觀測。2.5關(guān)于Bayes判別，正確的是A.需先驗(yàn)概率B.需類條件密度C.最小化期望錯(cuò)判損失D.等價(jià)于Fisher當(dāng)協(xié)差陣相等且先驗(yàn)相等E.對異常值不敏感答案：ABCD解析：Bayes對異常值仍敏感。3.填空（每空2分，共20分）3.1若X～N_3(μ,Σ)，Σ=[[4,2,1],[2,3,0],[1,0,2]]，則X?與X?的偏相關(guān)系數(shù)ρ??|?=____。答案：2/√(3×3)=2/3解析：ρ??|?=σ??|?/√(σ??|?σ??|?)，其中σ??|?=σ???σ??σ??/σ??=2?1×0/2=2，σ??|?=4?12/2=3.5，σ??|?=3?02/2=3，故ρ=2/√(3.5×3)≈0.617。3.2對n=100、p=6的樣本，檢驗(yàn)H_0:μ=μ_0，Σ未知，HotellingT2=25.3，則對應(yīng)的F統(tǒng)計(jì)量為____，自由度為____。答案：F=(n?p)/p(n?1)T2=(94/6)×25.3≈396.2，df1=6，df2=94解析：T2～p(n?1)/(n?p)F(p,n?p)。3.3若樣本相關(guān)陣R的特征值為3.5,1.2,0.8,0.3,0.2，則Kaiser準(zhǔn)則下應(yīng)保留____個(gè)主成分。答案：3解析：特征值>1。3.4在Q型聚類中，樣本間距離常用____距離；在R型聚類中，變量間距離常用____距離。答案：歐氏；1?|r|3.5若兩總體π?,π?的密度分別為f?,f?，先驗(yàn)π?=0.6，錯(cuò)判損失c(1|2)=5，c(2|1)=1，則Bayes判別規(guī)則為：若f?(x)/f?(x)____，則判x∈π?。答案：>(0.4×5)/(0.6×1)=10/33.6因子分析中，共性方差h_i2表示____。答案：第i個(gè)變量能被公因子解釋的部分方差。3.7若樣本協(xié)差陣S=[[5,2],[2,3]]，則第一主成分的方向向量為____。答案：對應(yīng)最大特征值7.162的特征向量(0.923,0.385)?。3.8在多維尺度分析中，Stress-I公式為____。答案：√(∑(d_ij?d?_ij)2/∑d_ij2)3.9對n=200、p=10的數(shù)據(jù)，若Bartlett檢驗(yàn)球形假設(shè)的χ2=450，df=45，則p值____0.05（填<或>）。答案：<解析：450遠(yuǎn)大于χ2_{0.95}(45)≈61.66。3.10若X～N_p(μ,Σ)，則(X?μ)?Σ?1(X?μ)服從____分布。答案：χ2(p)4.判斷并改錯(cuò)（每題3分，共15分）4.1主成分分析要求變量間相互獨(dú)立。答案：錯(cuò)。改：主成分分析要求變量間存在相關(guān)，否則無降維意義。4.2典型相關(guān)分析中，典型變量對之間一定正交。答案：錯(cuò)。改：同一組典型變量之間正交，不同組之間僅相關(guān)系數(shù)最大化，未必正交。4.3若S奇異，則無法做任何因子分析。答案：錯(cuò)。改：可用廣義逆或縮減變量做因子分析。4.4K-means算法對初始中心不敏感。答案：錯(cuò)。改：K-means對初始中心敏感，常用k-means++改進(jìn)。4.5判別分析中，當(dāng)總體非正態(tài)時(shí)，F(xiàn)isher線性判別完全失效。答案：錯(cuò)。改：Fisher判別仍可用，但未必最優(yōu)。5.簡答（每題8分，共24分）5.1寫出多元線性回歸模型Y=XB+E的矩陣形式，并給出最小二乘估計(jì)及協(xié)差陣。答案：模型：Y_{n×m}=X_{n×(p+1)}B_{(p+1)×m}+E_{n×m}，vec(E)～N(0,Σ?I_n)。最小二乘：B?=(X?X)?1X?Y。協(xié)差陣：cov(vec(B?))=Σ?(X?X)?1。5.2簡述WilksΛ分布與HotellingT2的關(guān)系。答案：當(dāng)m=1時(shí)，WilksΛ=1/(1+T2/(n?1))，即T2可轉(zhuǎn)化為Λ，二者均檢驗(yàn)均值向量差異；m>1時(shí)，Λ為廣義似然比，T2為其特例。5.3說明在聚類分析中，單鏈接可能產(chǎn)生“鏈?zhǔn)健爆F(xiàn)象的原因及改進(jìn)方法。答案：單鏈接以最近鄰距離為組間距離，易因中間點(diǎn)串聯(lián)遠(yuǎn)離簇，形成長鏈；改進(jìn)可用全鏈接、Ward法或DBSCAN密度方法。6.計(jì)算與綜合（共46分）6.1（10分）隨機(jī)抽取n=50名大學(xué)生，測得數(shù)學(xué)(X?)、物理(X?)、編程(X?)成績，樣本均值X?=(75,70,80)?，樣本協(xié)差陣S=[[100,40,60],[40,64,32],[60,32,144]]。（1）檢驗(yàn)H_0:μ=(80,80,80)?，α=0.05。（2）若拒絕，求μ的95%同時(shí)置信區(qū)間（Bonferroni）。答案：（1）T2=50(X??μ_0)?S?1(X??μ_0)=50×[?5,?10,0]S?1[?5,?10,0]?=50×3.125=156.25。臨界值T2_{0.05}=p(n?1)/(n?p)F_{0.05}(p,n?p)=3×49/47×2.81≈8.78。156.25>8.78，拒絕。（2）Bonferronit_{0.05/6}(49)=2.47，標(biāo)準(zhǔn)誤=√(S_ii/n)，得μ?:75±2.47×√(100/50)=75±3.49→[71.51,78.49]μ?:70±2.47×√(64/50)=70±2.79→[67.21,72.79]μ?:80±2.47×√(144/50)=80±4.18→[75.82,84.18]6.2（12分）對同一數(shù)據(jù)做主成分分析，求載荷矩陣及前兩個(gè)主成分對總方差的貢獻(xiàn)率；若用前兩個(gè)主成分得分做后續(xù)回歸，解釋其優(yōu)缺點(diǎn)。答案：特征值：λ?=204.8,λ?=67.2,λ?=36.0。貢獻(xiàn)率：λ?/(λ?+λ?+λ?)=65.1%，前二累計(jì)86.5%。載荷：第一主成分a?=(0.68,0.48,0.55)?，解釋“綜合學(xué)業(yè)”；第二主成分a?=(?0.25,0.86,?0.44)?，解釋“文理差異”。優(yōu)點(diǎn)：降維去噪、克服共線；缺點(diǎn)：主成分可能難以解釋，且舍棄的13.5%方差或含重要信息。6.3（12分）設(shè)兩個(gè)多元正態(tài)總體π?,π?，μ?=(0,0)?，μ?=(2,2)?，Σ?=Σ?=I?，先驗(yàn)相等，損失c(1|2)=c(2|1)=1。（1）求Bayes判別函數(shù)及決策邊界。（2）若實(shí)測點(diǎn)x=(1,1)?，求后驗(yàn)概率及判類。答案：（1）判別函數(shù)：δ_i(x)=x?μ_i??μ_i?μ_i，δ?=0，δ?=2x?+2x??4，決策邊界：δ?=δ??2x?+2x??4=0?x?+x?=2。（2）x=(1,1)在邊界上，后驗(yàn)相等，可隨機(jī)判；通常判樣本量大的類或任一類。6.4（12分）對某城市15個(gè)區(qū)縣測得8項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后做因子分析，得共性方差h_i2均在0.75以上，前三個(gè)因子累計(jì)貢獻(xiàn)率82%，旋轉(zhuǎn)后因子載荷如下（節(jié)選）：F1:工業(yè)產(chǎn)值0.91，固定資產(chǎn)投資0.85…F2:零售總額0.88，餐飲收入0.82…F3:專利申請0.79，高校數(shù)量0.75…（1）命名三個(gè)公因子。（2）計(jì)算第一因子得分系數(shù)（回歸法），已知相關(guān)陣R及Λ?。答案：（1）F1:工業(yè)投資因子；F2:消費(fèi)服務(wù)因子；F3:科技創(chuàng)新因子。（2）