統(tǒng)計(jì)學(xué)原理試題庫及答案1.單選題（每題4分，共20題）1.1某高校欲了解本科生每天使用手機(jī)的時(shí)間，隨機(jī)抽取400人，得到平均值為198分鐘，標(biāo)準(zhǔn)差為42分鐘。若將樣本量擴(kuò)大到1600人，則新的標(biāo)準(zhǔn)誤約為A.1.05分鐘?B.2.10分鐘?C.4.20分鐘?D.0.525分鐘答案：A解析：標(biāo)準(zhǔn)誤公式σ/√n，原標(biāo)準(zhǔn)誤42/√400=2.1；樣本量擴(kuò)大4倍，標(biāo)準(zhǔn)誤減半，2.1/2=1.05。1.2若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(μ?1.5σ≤X≤μ+1.5σ)等于A.0.8664?B.0.7745?C.0.9332?D.0.6826答案：A解析：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表，Φ(1.5)=0.9332，雙側(cè)概率2Φ(1.5)?1=0.8664。1.3在簡單隨機(jī)抽樣中，若總體比例π=0.3，樣本量n=100，則樣本比例p?的方差為A.0.0021?B.0.0025?C.0.003?D.0.004答案：A解析：Var(p?)=π(1?π)/n=0.3×0.7/100=0.0021。1.4對同一總體進(jìn)行兩次獨(dú)立抽樣，樣本量分別為n?=50，n?=80，樣本均值分別為x??=120，x??=125，合并后的加權(quán)平均為A.122.5?B.123.1?C.122.3?D.123.5答案：C解析：加權(quán)平均=(50×120+80×125)/(50+80)=16000/130≈122.3。1.5在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α從0.05降到0.01，則A.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效增大?B.Ⅰ型錯(cuò)誤概率減小，檢驗(yàn)功效減小C.Ⅰ型錯(cuò)誤概率增大，檢驗(yàn)功效減小?D.Ⅰ型錯(cuò)誤概率不變，檢驗(yàn)功效減小答案：B解析：α即Ⅰ型錯(cuò)誤概率，降低α臨界值右移，拒絕域縮小，功效1?β隨之下降。1.6若X與Y的相關(guān)系數(shù)r=?0.85，則X對Y的線性回歸方程中，決定系數(shù)R2為A.0.85?B.0.7225?C.?0.7225?D.0.15答案：B解析：R2=r2=(?0.85)2=0.7225。1.7對同一組數(shù)據(jù)分別擬合線性模型Y=β?+β?X+ε與二次模型Y=β?+β?X+β?X2+ε，若二次項(xiàng)顯著，則A.線性模型RSS一定大于二次模型RSS?B.線性模型RSS一定小于二次模型RSSC.兩模型RSS相等?D.無法比較答案：A解析：增加顯著變量必使殘差平方和RSS下降。1.8在單因素方差分析中，若組間均方MSB=120，組內(nèi)均方MSE=30，則F值與結(jié)論為A.4，拒絕原假設(shè)?B.0.25，不拒絕?C.4，不拒絕?D.0.25，拒絕答案：A解析：F=MSB/MSE=120/30=4，大于臨界值，拒絕“各組均值相等”的原假設(shè)。1.9若X~Poisson(λ)，則Var(X)/E(X)等于A.λ?B.1?C.1/λ?D.λ2答案：B解析：泊松分布期望與方差均為λ，比值為1。1.10對二項(xiàng)分布B(n=10,π=0.5)進(jìn)行連續(xù)性校正的正態(tài)近似，計(jì)算P(X=6)的近似概率為A.0.205?B.0.103?C.0.093?D.0.123答案：D解析：P(X=6)≈P(5.5<Y<6.5)，Y~N(5,2.5)，Z?=0.316，Z?=0.949，查表得0.123。1.11在多元回歸中，若某自變量的VIF=8.5，則A.不存在多重共線性?B.存在輕微共線性?C.存在嚴(yán)重共線性?D.無法判斷答案：C解析：VIF>10為嚴(yán)重，8.5已接近，通常認(rèn)為需關(guān)注。1.12若隨機(jī)變量T服從自由度為15的t分布，則P(T>2.131)約為A.0.01?B.0.025?C.0.05?D.0.10答案：B解析：查雙側(cè)t?.???,15=2.131，單側(cè)右尾0.025。1.13在質(zhì)量控制圖中，若連續(xù)7點(diǎn)單調(diào)遞增，則A.過程受控?B.過程可能失控，需報(bào)警?C.點(diǎn)出界才報(bào)警?D.需重新計(jì)算控制限答案：B解析：符合“7點(diǎn)單調(diào)鏈”判異準(zhǔn)則。1.14若樣本偏度γ??=?1.2，則分布形態(tài)為A.右偏?B.左偏?C.對稱?D.無法判斷答案：B解析：偏度<0，左偏。1.15對同一數(shù)據(jù)做95%與99%置信區(qū)間，則A.后者更窄?B.前者更窄?C.兩者相同?D.無法比較答案：B解析：置信水平越高，區(qū)間越寬，故95%更窄。1.16若X~Exp(λ)，則P(X>1/λ)等于A.e?1?B.1?e?1?C.e?D.1/e2答案：A解析：指數(shù)分布生存函數(shù)S(t)=e^(?λt)，代入t=1/λ得e?1。1.17在Bootstrap估計(jì)中，若原始樣本量為n=100，采用有放回重復(fù)抽樣1000次，則A.每次抽樣樣本量必須為100?B.每次抽樣樣本量可任意?C.必須無放回?D.不能估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤答案：A解析：非參數(shù)Bootstrap保持樣本量不變。1.18若兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的p值=0.028，則A.在α=0.05下拒絕，α=0.01下也拒絕?B.在α=0.05下拒絕，α=0.01下不拒絕C.在α=0.05下不拒絕?D.無法判斷答案：B解析：0.01<0.028<0.05。1.19對同一總體，若樣本量n增大，則樣本中位數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤A.增大?B.減小?C.不變?D.先增后減答案：B解析：大樣本下中位數(shù)漸近正態(tài)，標(biāo)準(zhǔn)誤∝1/√n。1.20在貝葉斯估計(jì)中，若先驗(yàn)為Beta(2,2)，似然為二項(xiàng)分布x=8，n=10，則后驗(yàn)均值為A.0.8?B.0.75?C.0.667?D.0.5答案：B解析：后驗(yàn)Beta(2+8,2+2)=Beta(10,4)，均值10/(10+4)=0.714≈0.75（四舍五入）。2.多選題（每題5分，共10題，每題至少兩個(gè)正確答案，多選少選均不得分）2.1下列哪些統(tǒng)計(jì)量具有漸近正態(tài)性A.樣本均值?B.樣本中位數(shù)?C.樣本方差?D.樣本極值答案：ABC解析：在正則條件下，均值、中位數(shù)、方差均漸近正態(tài)；極值服從Gumbel等非正態(tài)極限。2.2關(guān)于卡方檢驗(yàn)，正確的有A.可檢驗(yàn)列聯(lián)表獨(dú)立性?B.期望頻數(shù)小于5的單元格不宜過多?C.可用于擬合優(yōu)度?D.拒絕域總在右側(cè)答案：ABCD解析：卡方統(tǒng)計(jì)量非負(fù)，右尾拒絕。2.3下列哪些方法可用于多重比較校正A.Bonferroni?B.TukeyHSD?C.Scheffé?D.LSD答案：ABC解析：LSD未校正族錯(cuò)誤率。2.4若X,Y獨(dú)立，則A.E(XY)=E(X)E(Y)?B.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)?C.Cov(X,Y)=0?D.ρXY=0答案：ABCD解析：獨(dú)立?不相關(guān)，所有結(jié)論成立。2.5下列哪些屬于非參數(shù)檢驗(yàn)A.Wilcoxon符號秩?B.Kruskal-Wallis?C.Mann-Whitney?D.單樣本t答案：ABC解析：t檢驗(yàn)依賴正態(tài)假設(shè)。2.6在回歸診斷中，下列哪些圖可檢驗(yàn)同方差性A.殘差-擬合圖?B.Q-Q圖?C.尺度-位置圖?D.偏殘差圖答案：AC解析：Q-Q檢驗(yàn)正態(tài)，偏殘差看非線性。2.7關(guān)于AIC與BIC，正確的有A.AIC懲罰項(xiàng)小于BIC?B.BIC隨樣本量增大懲罰更重?C.均用于模型選擇?D.越小越好答案：ABCD解析：BIC懲罰系數(shù)ln(n)隨n增大。2.8下列哪些屬于時(shí)間序列的平穩(wěn)條件A.均值恒定?B.方差恒定?C.自協(xié)方差僅依賴滯后?D.偏度為0答案：ABC解析：偏度不要求。2.9若X~N(0,1)，則A.X2~χ2(1)?B.E(X2)=1?C.X與?X同分布?D.峰度為3答案：ABC解析：正態(tài)峰度為3，但D表述“為3”正確，故也選；原題設(shè)置選ABC亦給分，此處按全選。2.10下列哪些做法可能減少均方誤差MSEA.增加樣本量?B.使用有偏但方差小的估計(jì)?C.加入有效變量?D.嶺回歸答案：ABCD解析：嶺回歸通過偏差-方差權(quán)衡降低MSE。3.填空題（每題4分，共10題）3.1若X~Bin(20,0.4)，則P(X=8)=________。（保留三位小數(shù)）答案：0.180解析：C(20,8)0.4?0.612≈0.1797。3.2設(shè)樣本5,7,8,9,11，則樣本極差為________。答案：6解析：11?5=6。3.3若置信區(qū)間寬度與√n成反比，欲將寬度減半，樣本量需增至原來的________倍。答案：4解析：寬度∝1/√n，半寬需4倍。3.4在簡單線性回歸中，若r=0.6，SST=500，則SSR=________。答案：180解析：R2=0.36，SSR=R2·SST。3.5若λ?=0.04，則指數(shù)分布平均壽命估計(jì)為________。答案：25解析：1/0.04=25。3.6對χ2(10)變量，其方差為________。答案：20解析：卡方方差2k。3.7若F~F(5,15)，則P(F>3.24)≈________（單側(cè)α）。答案：0.05解析：查表F?.??(5,15)=3.24。3.8若LSD=2.5，三組均值分別為10,13,15，則顯著差異的組對為________。答案：1與3解析：|15?10|=5>2.5。3.9若移動平均跨度k=5，則序列頭尾共損失________個(gè)觀測。答案：4解析：損失k?1=4。3.10若先驗(yàn)π(θ)=6θ(1?θ)，θ∈[0,1]，則先驗(yàn)均值為________。答案：0.5解析：Beta(2,2)均值。4.計(jì)算與證明題（共6題，共90分）4.1（15分）設(shè)某生產(chǎn)線袋裝食品重量服從N(μ,σ2=252)?，F(xiàn)抽取n=16，得x?=502g。（1）求μ的95%置信區(qū)間。（2）若要求區(qū)間寬度不超過10g，求最小樣本量。答案：（1）σ已知，用z?.???=1.96，區(qū)間502±1.96×25/4=502±12.25，即(489.75,514.25)g。（2）寬度=2×1.96×25/√n≤10?√n≥9.8?n≥97，取98。4.2（15分）為比較兩種肥料，隨機(jī)將12塊地分為兩組，各6塊，得產(chǎn)量：A組：32,28,35,30,33,31B組：29,27,30,26,28,27假設(shè)正態(tài)且方差齊性，檢驗(yàn)H?:μA=μBvsH?:μA≠μB（α=0.05）。答案：x?A=31.5，sA2=5.5；x?B=27.83，sB2=2.17；合并方差s_p2=(5×5.5+5×2.17)/10=3.835；t=(31.5?27.83)/√(3.835×(1/6+1/6))=3.67/1.134≈3.24；df=10，t?.???=2.228，3.24>2.228，拒絕H?，肥料A顯著增產(chǎn)。4.3（15分）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布如下：Y\X?0?10?0.2?0.31?0.1?0.4（1）求邊際分布并判斷獨(dú)立性。（2）求Cov(X,Y)。答案：（1）P(X=0)=0.3，P(X=1)=0.7；P(Y=0)=0.5，P(Y=1)=0.5；P(X=0,Y=0)=0.2≠0.3×0.5，不獨(dú)立。（2）E(X)=0.7，E(Y)=0.5，E(XY)=0.4，Cov=0.4?0.7×0.5=0.05。4.4（15分）證明：對于任意隨機(jī)變量X，若E(X2)<∞，則Var(X)=E(Var(X|Y))+Var(E(X|Y))（全方差公式）。證明：記μ=E(X)，則Var(X)=E[(X?μ)2]=E[E[(X?μ)2|Y]]。將(X?μ)2寫成[(X?E(X|Y))+(E(X|Y)?μ)]2，展開得E[(X?E(X|Y))2|Y]+2×0+Var(E(X|Y)|Y)。第一項(xiàng)即E(Var(X|Y)|Y)=Var(X|Y)，第二項(xiàng)為常數(shù)Var(E(X|Y))，取期望即得。4.5（15分）某市調(diào)查400名市民，支持修建地鐵者240人。（1）求支持率π的99%置信區(qū)間。（2）若希望估計(jì)誤差≤0.03，求最小樣本量（按99%置信）。答案：（1）p?=0.6，標(biāo)準(zhǔn)誤√(0.6×0.4/400)=0.0245；z?.???=2.576；區(qū)間0.6±0.063，即(0.537,0.663)。（2）n≥(2.5762×0.6×0.4)/0.032=1478.7，取1479。4.6（15分）給出多元線性模型Y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)，推導(dǎo)β?的分布，并證明Cov(β?)=σ2(X?X)?1。答案：β?=(X?X)?1X?Y=(X?X)?1X?(Xβ+ε)=β+(X?X)?1X?ε。因ε~N(0,σ2I)，線性變換得β?~N(β,σ2(X?X)?1X?X(X?X)?1)=N(β,σ2(X?X)?1)，故Cov(β?)=σ2(X?X)?1。5.綜合應(yīng)用題（共2題，共50分）5.1（25分）某電商欲評估首頁改版對轉(zhuǎn)化率的影響，隨機(jī)抽取30萬用戶，其中A組（舊版）15萬，B組（新版）15萬。一周數(shù)據(jù)：A組：下單人數(shù)2850，轉(zhuǎn)化率1.90%；B組：下單人數(shù)3300，轉(zhuǎn)化率2.20%。（1）檢驗(yàn)H?:πA=πBvsH?:πB>πA（α=0.01）。（2）計(jì)算新版相對提升率及98%置信區(qū)間。（3）若運(yùn)營希望檢測到0.2個(gè)百分點(diǎn)的提升（即0.002），功效80%，求所需樣本量（單側(cè)α=0.01）。答案：（1）合并p?=(2850+3300)/300000=0.0205；z=(0.022?0.019)/√[0.0205×0.9795×(1/150000+1/150000)]=0.003/0.000516=5.81>2.33，拒絕H?。（2）相對提升=(0.022?0.019)/0.019≈15.79%；標(biāo)準(zhǔn)誤差值√(0.022×0.978/150000+0.019×0.981/150000)=0.000516；差值0.003，98%區(qū)間0.003±2.33×0.000516=(0.0018,0.0042)，相對提升區(qū)間(9.5%,22.1%)。（3）用功效公式n=[zα√(2p?(1?p?))+zβ√(p