《統(tǒng)計(jì)原理》試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.在抽樣調(diào)查中，若總體方差未知且樣本量較小，估計(jì)總體均值時(shí)應(yīng)采用的分布是A.正態(tài)分布??B.t分布??C.χ2分布??D.F分布答案：B解析：當(dāng)總體方差未知且n<30時(shí)，樣本均值經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后服從自由度為n-1的t分布，故應(yīng)選用t分布構(gòu)造置信區(qū)間。2.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(μ-1.96σ≤X≤μ+1.96σ)約為A.90%??B.95%??C.99%??D.99.7%答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在±1.96處雙側(cè)尾概率各為2.5%，合計(jì)5%，故中間面積為95%。3.在單因素方差分析中，若F統(tǒng)計(jì)量顯著，則下列說法一定正確的是A.各組樣本量相等??B.各組總體方差相等??C.至少兩組總體均值不等??D.誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布答案：C解析：F檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)H0:μ1=μ2=…=μk，只能得出“至少一對均值差異顯著”，并不要求樣本量或方差齊性，后者是前提條件而非結(jié)論。4.對于同一數(shù)據(jù)，若顯著性水平α由0.05降至0.01，則置信區(qū)間的寬度將A.變寬??B.變窄??C.不變??D.可能變寬也可能變窄答案：A解析：置信水平1-α提高，臨界值增大，區(qū)間半寬zα/2·σ/√n隨之增大，故區(qū)間變寬。5.在簡單線性回歸中，若決定系數(shù)R2=0.81，則相關(guān)系數(shù)r為A.0.81??B.0.9??C.±0.9??D.無法確定答案：C解析：R2=r2，故r=±√0.81=±0.9，符號與回歸系數(shù)同號，題目未給正負(fù)，只能確定絕對值。6.下列關(guān)于χ2檢驗(yàn)的描述，錯(cuò)誤的是A.可用于檢驗(yàn)總體方差??B.可用于檢驗(yàn)列聯(lián)表獨(dú)立性??C.要求期望頻數(shù)不小于5??D.統(tǒng)計(jì)量取值可負(fù)答案：D解析：χ2統(tǒng)計(jì)量為平方和形式，恒非負(fù)，故D錯(cuò)誤。7.在質(zhì)量控制圖中，若有點(diǎn)落在上下控制限之外，則A.過程一定失控??B.過程一定受控??C.可能為第一類錯(cuò)誤??D.可能為第二類錯(cuò)誤答案：C解析：點(diǎn)出界表明小概率事件發(fā)生，若過程實(shí)際受控，則此判斷為第一類錯(cuò)誤（誤報(bào)）。8.對同一總體采用不重復(fù)簡單隨機(jī)抽樣，樣本量n增加，則A.抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤一定增大??B.抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤一定減小??C.抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤不變??D.抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤與n無關(guān)答案：B解析：不重復(fù)抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤公式為√[(N-n)/(N-1)]·σ/√n，n增大時(shí)分母√n增大，修正系數(shù)亦趨小，故標(biāo)準(zhǔn)誤減小。9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若p值=0.032，則當(dāng)α=0.05時(shí)A.拒絕原假設(shè)??B.不拒絕原假設(shè)??C.無法判斷??D.需增大樣本量答案：A解析：p值<α，落入拒絕域，應(yīng)拒絕H0。10.若兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的合并方差估計(jì)為sp2=36，n1=n2=10，則標(biāo)準(zhǔn)誤為A.6??B.3??C.2.4??D.1.2答案：C解析：標(biāo)準(zhǔn)誤SE=sp√(1/n1+1/n2)=6√0.2=6×0.447≈2.4。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）11.下列屬于描述統(tǒng)計(jì)方法的有A.直方圖??B.箱線圖??C.假設(shè)檢驗(yàn)??D.莖葉圖??E.相關(guān)系數(shù)答案：A,B,D,E解析：假設(shè)檢驗(yàn)屬推斷統(tǒng)計(jì)，其余為描述統(tǒng)計(jì)。12.關(guān)于中心極限定理，正確的有A.要求總體正態(tài)??B.樣本均值分布隨n增大趨于正態(tài)??C.適用于任意總體分布??D.樣本量需≥30??E.保證了樣本均值無偏答案：B,C解析：CLT不要求總體正態(tài)，亦未規(guī)定30的界限，僅要求有限方差；無偏性由E(X?)=μ保證，與CLT無關(guān)。13.在多元回歸中，多重共線性的后果包括A.參數(shù)估計(jì)方差膨脹??B.t檢驗(yàn)失效??C.R2降低??D.預(yù)測精度下降??E.系數(shù)符號反轉(zhuǎn)答案：A,B,E解析：共線性使信息矩陣接近奇異，方差膨脹，t值不顯著，符號可能反轉(zhuǎn)；R2仍可能很高，預(yù)測精度未必下降。14.下列屬于非參數(shù)檢驗(yàn)的有A.Wilcoxon符號秩??B.Kruskal-Wallis??C.Mann-Whitney??D.符號檢驗(yàn)??E.單因素ANOVA答案：A,B,C,D解析：E為參數(shù)方法，假定正態(tài)與方差齊性。15.若時(shí)間序列呈現(xiàn)線性趨勢且季節(jié)波動(dòng)固定，可采用的模型有A.移動(dòng)平均??B.指數(shù)平滑??C.Holt-Winters加法??D.ARIMA(0,1,1)??E.季節(jié)分解+線性回歸答案：C,E解析：Holt-Winters加法模型同時(shí)處理趨勢與季節(jié)；先分解再回歸亦可；A僅平滑，未顯式建模季節(jié)。三、填空題（每空2分，共20分）16.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則其期望與方差均為________。答案：λ解析：泊松分布性質(zhì)E(X)=Var(X)=λ。17.在簡單隨機(jī)抽樣中，樣本比例p?的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤為________。答案：√[p(1-p)/n]解析：二項(xiàng)分布方差np(1-p)，比例方差除以n2，開方得標(biāo)準(zhǔn)誤。18.若兩變量等級相關(guān)系數(shù)rs=0.75，則其衡量的是________相關(guān)。答案：單調(diào)解析：Spearman系數(shù)測單調(diào)而非線性關(guān)系。19.當(dāng)樣本量n→∞時(shí)，t分布趨近于________分布。答案：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)解析：t分布密度尾部較厚，n增大時(shí)尾部概率減小，趨近N(0,1)。20.在質(zhì)量控制中，若過程能力指數(shù)Cp=1.33，則缺陷率約為________ppm。答案：63解析：Cp=1.33對應(yīng)±4σ水平，單側(cè)缺陷率≈31.7ppm，雙側(cè)合計(jì)≈63ppm。21.若回歸模型存在異方差，OLS估計(jì)量仍具有________性，但不再具有________性。答案：無偏；有效解析：異方差下OLS仍無偏，但方差非最小，失去有效性。22.對于AR(1)模型xt=φxt-1+εt，若|φ|≥1，則過程為________。答案：非平穩(wěn)解析：特征根在單位圓上或外，方差隨時(shí)間發(fā)散，非平穩(wěn)。23.在貝葉斯估計(jì)中，后驗(yàn)分布正比于似然函數(shù)與________的乘積。答案：先驗(yàn)分布解析：貝葉斯定理π(θ|x)∝f(x|θ)π(θ)。24.若χ2(5)分布的右側(cè)臨界值為11.07，則P(χ2>11.07)=________。答案：0.05解析：查表可知χ20.95,5=11.07，故右側(cè)概率5%。25.當(dāng)使用VIF判斷多重共線性時(shí)，一般認(rèn)為VIF>________需引起注意。答案：10解析：VIF=1/(1-Rj2)，大于10說明Rj2>0.9，共線性嚴(yán)重。四、計(jì)算與證明題（共45分）26.（8分）設(shè)某生產(chǎn)線袋裝食品重量服從N(500,102)，現(xiàn)隨機(jī)抽取n=25袋，測得平均重量x?=497g。（1）在α=0.05下檢驗(yàn)是否顯著低于標(biāo)準(zhǔn)重量；（2）求總體均值μ的95%單側(cè)置信上限。解：（1）H0:μ=500，H1:μ<500檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量z=(497-500)/(10/√25)=-3/2=-1.5單側(cè)臨界值z0.05=-1.6451.5>-1.645，未落入拒絕域，故不拒絕H0，無充分證據(jù)表明平均重量顯著低于500g。（2）單側(cè)置信上限：μ≤x?+z0.05·σ/√n=497+1.645×2=497+3.29=500.29g即μ的95%單側(cè)置信上限為500.29g。27.（10分）為比較兩種化肥對小麥產(chǎn)量的影響，隨機(jī)分配10塊地至A、B兩組，得產(chǎn)量（kg/畝）：A:420,435,428,440,425B:405,410,415,408,412假設(shè)產(chǎn)量服從正態(tài)且方差齊性，檢驗(yàn)兩種化肥效果是否顯著不同（α=0.05）。解：n1=n2=5，x?A=429.6，x?B=410.0sA2=58.3，sB2=13.5合并方差sp2=[(5-1)×58.3+(5-1)×13.5]/(5+5-2)=71.8/8=8.975SE=√[sp2(1/5+1/5)]=√(8.975×0.4)=√3.59=1.894t=(429.6-410)/1.894=19.6/1.894≈10.35自由度df=8，雙側(cè)t0.025,8=2.30610.35>2.306，拒絕H0，兩種化肥對產(chǎn)量影響顯著不同。28.（9分）某市調(diào)查400名市民，支持某政策者占52%。求支持率p的99%置信區(qū)間，并解釋是否過半。解：p?=0.52，n=400，z0.005=2.576標(biāo)準(zhǔn)誤=√[0.52×0.48/400]=√0.000624=0.02498區(qū)間：0.52±2.576×0.02498=0.52±0.064→(0.456,0.584)因區(qū)間下限0.456<0.5，不能99%確信支持率過半。29.（10分）設(shè)隨機(jī)變量X密度函數(shù)f(x)=kx2,0<x<2。（1）求常數(shù)k；（2）求E(X)與Var(X)；（3）抽取n=50的樣本，用中心極限定理近似求P(X?>1.5)。解：（1）∫02kx2dx=k[x3/3]02=8k/3=1?k=3/8（2）E(X)=∫02x·(3/8)x2dx=3/8∫x3dx=3/8·16/4=3/2E(X2)=∫02x2·(3/8)x2dx=3/8∫x?dx=3/8·32/5=12/5Var(X)=12/5-(3/2)2=12/5-9/4=3/20=0.15（3）由CLT，X?≈N(1.5,0.15/50)=N(1.5,0.003)P(X?>1.5)=P(Z>0)=0.530.（8分）證明：對于任意隨機(jī)變量X，有Var(X)=E(X2)-[E(X)]2。證明：Var(X)=E[(X-E(X))2]=E[X2-2XE(X)+(E(X))2]=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2證畢。五、綜合應(yīng)用題（共20分）31.某電商平臺(tái)記錄每日廣告投入x（萬元）與銷售額y（萬元）連續(xù)20天數(shù)據(jù)，計(jì)算得：Σx=200，Σy=1800，Σx2=2200，Σy2=165000，Σxy=18500。（1）建立一元線性回歸方程；（2）檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性（α=0.05）；（3）若明日投入x=12萬元，求銷售額95%預(yù)測區(qū)間。解：（1）x?=10，?=90lxx=2200-2002/20=2200-2000=200lxy=18500-200×1800/20=18500-18000=500β?1=lxy/lxx=500/200=2.5β?0=?-β?1x?=90-2.5×10=65回歸方程：?=65+2.5x（2）SSE=Σ(yi-?i)2=lyy-β?1lxylyy=165000-18002/20=165000-162000=3000SSE=3000-2.5×500=3000-1250=1750s2=SSE/(n-2)=1750/18=97.22，s=9.86SE(β?1)=s/√lxx=9.86/√200=0.697t=β?1/S