2026年數(shù)理統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析考試試題及答案1.（單選）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～N(μ,σ2)，σ2未知。若檢驗(yàn)H?:μ=μ?對(duì)H?:μ≠μ?，取拒絕域|X??μ?|/(S/√n)>c，則當(dāng)顯著性水平α=0.05時(shí)，c的值為A.t?.???(n?1)?B.t?.??(n?1)?C.z?.????D.z?.??答案：A解析：σ2未知，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S，統(tǒng)計(jì)量服從t(n?1)分布，雙側(cè)檢驗(yàn)取α/2分位數(shù)，故c=t?.???(n?1)。2.（單選）對(duì)同一組數(shù)據(jù)分別用矩估計(jì)與最大似然估計(jì)擬合Gamma(α,β)模型，若樣本偏度顯著大于0，則A.矩估計(jì)α?_MLE>α?_MM?B.矩估計(jì)α?_MLE<α?_MM?C.兩者相等?D.無(wú)法確定答案：B解析：Gamma偏度=2/√α，樣本偏度大?α小。矩估計(jì)把樣本三階中心矩直接代入，受極端值影響更大，得到的α?_MM偏??；MLE通過(guò)似然迭代更穩(wěn)健，α?_MLE相對(duì)較大，故α?_MLE>α?_MM不成立，反方向成立。3.（單選）在線性模型Y=Xβ+ε,ε～N(0,σ2I)中，若設(shè)計(jì)矩陣X的列向量正交，則Cov(β?)A.為對(duì)角陣?B.為單位陣?C.與X′X無(wú)關(guān)?D.為奇異陣答案：A解析：Cov(β?)=σ2(X′X)?1，X列正交?X′X對(duì)角?逆亦對(duì)角。4.（單選）對(duì)p維多元正態(tài)N?(μ,Σ)，若Σ為對(duì)角陣，則樣本均值X?與樣本協(xié)方差SA.獨(dú)立?B.不獨(dú)立但無(wú)關(guān)?C.僅當(dāng)p=1獨(dú)立?D.僅當(dāng)μ=0獨(dú)立答案：A解析：多元正態(tài)下，Σ對(duì)角?分量獨(dú)立，由Basu定理，完全充分統(tǒng)計(jì)量(X?,S)與參數(shù)無(wú)關(guān)部分獨(dú)立，故X?與S獨(dú)立。5.（單選）設(shè)X～Bin(n,p)，若采用Jeffreys先驗(yàn)π(p)∝p?1/2(1?p)?1/2，則后驗(yàn)均值E[p|X]為A.(X+1/2)/(n+1)?B.X/n?C.(X+1)/(n+2)?D.(X+2)/(n+4)答案：A解析：后驗(yàn)為Beta(X+1/2,n?X+1/2)，其均值為(X+1/2)/(n+1)。6.（單選）對(duì)泊松過(guò)程N(yùn)(t)～Poisson(λt)，記錄到第r次事件的時(shí)間T_r，則Var(T_r)A.r/λ2?B.rλ?C.λ/r?D.1/(rλ2)答案：A解析：T_r～Gamma(r,λ)，方差r/λ2。7.（單選）若隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)M_X(t)=exp{λ(e^t?1)+μt}，則X的分布為A.泊松+正態(tài)混合?B.泊松平移?C.正態(tài)+泊松卷積?D.泊松與正態(tài)獨(dú)立和答案：B解析：MGF可分解為Poisson(λ)與退化μ之和，即X=Y+μ,Y～Poisson(λ)。8.（單選）在Bootstrap置信區(qū)間構(gòu)造中，若采用BCa方法，其加速系數(shù)a的估計(jì)基于A.刀切法影響函數(shù)?B.經(jīng)驗(yàn)似然?C.密度核估計(jì)?D.經(jīng)驗(yàn)分布分位數(shù)答案：A解析：BCa中的a由刀切法估計(jì)影響函數(shù)第三矩得到。9.（單選）對(duì)高維回歸p?n，若設(shè)計(jì)矩陣滿足RestrictedEigenvalue條件，則Lasso估計(jì)的??誤差界速率在σ已知時(shí)為A.σ√(slogp/n)?B.σslogp/n?C.σ√(logp/n)?D.σp/n答案：A解析：經(jīng)典結(jié)果，s為非零系數(shù)個(gè)數(shù)，速率σ√(slogp/n)。10.（單選）若X?,…,X?i.i.d.～Uniform(0,θ)，則P(X_(n)≤θ≤X_(n)/α^{1/n})的置信水平為A.1?α?B.α?C.1?α/2?D.α/2答案：A解析：P(θ≥X_(n))=1，P(θ≤X_(n)/α^{1/n})=P(X_(n)≥θα^{1/n})=1?α，故區(qū)間覆蓋概率1?α。11.（填空）設(shè)X～N(0,1)，Y～χ2(k)且獨(dú)立，則T=X/√(Y/k)的密度函數(shù)在t=0處的值為________。答案：Γ((k+1)/2)/(√(kπ)Γ(k/2))解析：t分布密度f(wàn)(t)=Γ((k+1)/2)/(√(kπ)Γ(k/2))(1+t2/k)^{-(k+1)/2}，代入t=0即得。12.（填空）對(duì)線性模型Y=Xβ+ε，若采用嶺估計(jì)β?_λ=(X′X+λI)?1X′Y，則當(dāng)λ→∞時(shí)，β?_λ的極限方向?yàn)開_______。答案：0向量解析：λ→∞?(X′X+λI)?1≈(λI)?1→0，故β?_λ→0。13.（填空）若X?,…,X?i.i.d.～Exp(λ)，則P(X?+?+X?≤t)的表達(dá)式為________。答案：1?e^{-λt}∑_{k=0}^{n?1}(λt)^k/k!解析：和為Gamma(n,λ)，其CDF為不完全伽馬函數(shù)，化簡(jiǎn)即得。14.（填空）對(duì)二維正態(tài)(X,Y)′～N?(0,0,1,1,ρ)，則E[max(X,Y)]=________。答案：√((1?ρ)/π)解析：利用max(x,y)=(x+y+|x?y|)/2及正態(tài)絕對(duì)值期望公式。15.（填空）若樣本k階中心矩m_k=1/n∑(X_i?X?)^k，則對(duì)正態(tài)樣本m?的期望為________。答案：3(n?1)σ?/n解析：正態(tài)四階中心矩3σ?，經(jīng)樣本修正得。16.（解答）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。(a)求θ的矩估計(jì)θ?_MM；(b)求θ的最大似然估計(jì)θ?_MLE；(c)比較兩者漸近方差并說(shuō)明優(yōu)劣。答案：(a)EX=θ/(θ+1)，令X?=θ/(θ+1)?θ?_MM=X?/(1?X?)。(b)似然L=θ?∏x_i^{θ?1}，logL=nlogθ+(θ?1)∑logx_i，令導(dǎo)數(shù)為0得θ?_MLE=?n/∑logx_i。(c)計(jì)算Fisher信息I(θ)=n/θ2，MLE漸近方差θ2/n。矩估計(jì)需Delta方法，Var(θ?_MM)≈[θ/(θ+1)2]2Var(X?)=[θ/(θ+1)2]2θ2/[n(θ+2)]=θ?/[n(θ+1)?(θ+2)]。比較得Var(θ?_MLE)=θ2/n<θ?/[n(θ+1)?(θ+2)]=Var(θ?_MM)對(duì)所有θ>0成立，故MLE更有效。17.（解答）某電商平臺(tái)記錄每日訂單量Y_t，t=1,…,365。假設(shè)Y_t=β?+β?t+β?sin(2πt/7)+ε_(tái)t，ε_(tái)t～N(0,σ2)獨(dú)立。(a)寫出設(shè)計(jì)矩陣X的維度與第t行；(b)給出β?的表達(dá)式；(c)若σ2未知，給出其無(wú)偏估計(jì)；(d)構(gòu)造β?的95%置信區(qū)間；(e)若實(shí)際數(shù)據(jù)出現(xiàn)異方差Var(ε_(tái)t)=σ2w_t，提出一種可行加權(quán)最小二乘步驟。答案：(a)X為365×3，第t行(1,t,sin(2πt/7))。(b)β?=(X′X)?1X′Y。(c)σ?2=(Y?Xβ?)′(Y?Xβ?)/(365?3)。(d)令se=σ?√[(X′X)?1_{22}]，區(qū)間β??±t?.???(362)se。(e)步驟：1.先用OLS得殘差e_t；2.回歸loge_t2對(duì)t與三角項(xiàng)得方差估計(jì)w?_t=exp(fitted)；3.權(quán)重W=diag(1/w?_t)；4.加權(quán)最小二乘β?_WLS=(X′WX)?1X′WY。18.（解答）設(shè)(X,Y)聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)=2θ^{-2}exp{?(x+y)/θ},0<x<y<∞。(a)求X的邊緣密度；(b)求E[Y|X=x]；(c)求θ的充分統(tǒng)計(jì)量；(d)給出θ的UMVUE。答案：(a)f_X(x)=∫_x^∞2θ^{-2}e^{?(x+y)/θ}dy=2θ^{-1}e^{-2x/θ}，x>0，即Exp(θ/2)。(b)E[Y|X=x]=∫_x^∞yf(y|x)dy，其中f(y|x)=θ^{-1}e^{?(y?x)/θ}，y>x，故E[Y|X=x]=x+θ。(c)聯(lián)合密度可寫為2θ^{-2}exp{?(x+y)/θ}I(x<y)，由因子分解定理，T=X+Y為充分統(tǒng)計(jì)量。(d)令Z=X+Y，則Z～Gamma(2,θ)，E[Z]=2θ，故θ?=Z/2為無(wú)偏，且為充分完全統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，因此是UMVUE。19.（解答）某實(shí)驗(yàn)室對(duì)新型電池進(jìn)行壽命測(cè)試，記錄n=20支電池壽命（千小時(shí)）：2.3,3.1,4.0,2.8,3.5,3.9,4.2,5.1,3.7,4.4,4.8,3.3,3.6,4.5,5.0,4.1,3.8,4.3,4.6,4.7。假設(shè)壽命服從Weibull(λ,k)，密度f(wàn)(t)=kλ^kt^{k?1}exp{?(λt)^k}。(a)寫出對(duì)數(shù)似然函數(shù)；(b)給出λ,k的得分方程；(c)用Newton-Raphson求k的MLE（迭代兩步，初值k?=2）；(d)檢驗(yàn)H?:k=1對(duì)H?:k≠1（似然比檢驗(yàn)，α=0.05）。答案：(a)?=nlogk+nklogλ+(k?1)∑logt_i?λ^k∑t_i^k。(b)??/?λ=nk/λ?kλ^{k?1}∑t_i^k=0?λ=(n/∑t_i^k)^{1/k}；??/?k=n/k+nlogλ+∑logt_i?λ^k∑t_i^klog(λt_i)=0。(c)代入數(shù)據(jù)，初值k?=2，得λ?=(20/∑t_i2)^{1/2}=0.221。計(jì)算得分與二階導(dǎo)，第一步k?=2.38，第二步k?=2.41，收斂至k?=2.41。(d)全空間?_max=?20(logk?+k?logλ?)+(k??1)∑logt_i?λ?^{k?}∑t_i^{k?}=?38.42；H?下k=1，λ??=1/(∑t_i/20)=0.256，??=?42.15。似然比統(tǒng)計(jì)量Λ=2(?_max???)=7.46>χ2?.??(1)=3.84，拒絕H?，認(rèn)為k≠1，非指數(shù)分布。20.（解答）考慮高維分類問(wèn)題，樣本(X_i,y_i)，X_i∈?^p，y_i∈{?1,+1}，p=5000,n=100。采用L2正則邏輯回歸：min_{β}1/n∑log(1+exp(?y_iX_i′β))+λ‖β‖2。(a)寫出目標(biāo)函數(shù)的梯度；(b)給出坐標(biāo)下降更新公式；c)若采用十折交叉驗(yàn)證選擇λ，描述一種并行化方案；(d)若測(cè)試集上發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)概率校準(zhǔn)不足，提出一種后處理校正方法并給出步驟。答案：(a)令p_i=1/(1+exp(?y_iX_i′β))，梯度=?1/n∑(y_iX_i(1?p_i))+2λβ。(b)對(duì)第j坐標(biāo)，固定其余，更新β_j^(new)=S(1/n∑y_iX_{ij}(1?p_i^{(?j)}),λ)/(2λ+1/n∑X_{ij}^2p_i^{(?j)}(1?p_i^{(?j)})，其中S為軟閾值。(c)方案：將數(shù)據(jù)均分10份，每輪訓(xùn)練與驗(yàn)證任務(wù)獨(dú)立，映射到10核CPU或GPU流，每核輸出驗(yàn)證誤差，主進(jìn)程匯總平均誤差選λ。(d)采用Platt縮放：1.在驗(yàn)證集上得原始預(yù)測(cè)得分s_i=X_i′β?；2.擬合邏輯模型P(y=1|s)=1/(1+exp(As+B))，得A,B；3.測(cè)試集上校正概率p?_corr=1/(1+exp(As_test+B))，可提升校準(zhǔn)。21.（綜合）某城市地鐵刷卡數(shù)據(jù)給出工作日早高峰7:00–9:00期間進(jìn)站人數(shù)N_t每5分鐘統(tǒng)計(jì)，t=1,…,24。觀測(cè)值顯示過(guò)度離散，擬合負(fù)二項(xiàng)NB(μ_t,?)，其中l(wèi)ogμ_t=β?+β?t+β?cos(2πt/24)+β?sin(2πt/24)。(a)寫出負(fù)二項(xiàng)對(duì)數(shù)似然；(b)給出β,?的得分；(c)若檢驗(yàn)過(guò)度離散H?:?→∞對(duì)H?:?<∞，構(gòu)造Score檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；(d)實(shí)際數(shù)據(jù)n=200個(gè)5分鐘段，得Score統(tǒng)計(jì)量S=4.72，求p值并結(jié)論；(e)給出預(yù)測(cè)間隔t=25時(shí)μ_{25}的95%區(qū)間。答案：(a)?=∑[logΓ(?+N_t)?logΓ(?)?logΓ(N_t+1)+?log(?/(?+μ_t))+N_tlog(μ_t/(?+μ_t))]。(b)??/?β=∑(N_t?μ_t)/(?+μ_t)X_t，X_t=(1,t,cos,sin)′；??/??=∑[ψ(?+N_t)?ψ(?)+log(?/(?+μ_t))+(μ_t?N_t)/(?+μ_t)]，ψ為digamma。(c)Score檢驗(yàn)在?→∞下，統(tǒng)計(jì)量S=(∑(N_t?μ?_t)2?μ?_t)/(√(2∑μ?_t2))，μ?_t為泊松MLE。(d)S=4.72，近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)，p=1?Φ(4.72)<0.0001，強(qiáng)烈拒絕H?，存在過(guò)度離散。(e)用Delta方法，logμ?_{25}方差=X_{25}′Cov(β?)X_{25}，得se=0.12，區(qū)間exp(logμ?_{25}±1.96se)，即(μ?_{25}e^{-0.235},μ?_{25}e^{0.235})。22.（證明）設(shè)X?,…,X?i.i.d.～f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。證明T=?∑logX_i為完全充分統(tǒng)計(jì)量，并求θ的UMVUE。答案：聯(lián)合密度θ?exp{(θ?1)∑logx_i}=θ?exp{?(θ?1)T}，由指數(shù)族形式，T為充分統(tǒng)計(jì)量。對(duì)任意可測(cè)函數(shù)g，若E[g(T)]=0?θ，則∫g(t)θ?e^{?(θ?1)t}dt=0?g(t)=0a.e.，故T完全。E[T]=n/θ，令θ?=(n?1)/T，則E[θ?]=θ，且為T的函數(shù)，因此是UMVUE。23.（證明）對(duì)線性模型Y=Xβ+ε,ε～N(0,σ2I)，證明Cov(β?,e)=0，其中β?=(X′X)?1X′Y，e=Y?Xβ?。答案：Cov(β?,e)=Cov((X′X)?1X′Y,(I?H)Y)=(X′X)?1X′Cov(Y,Y)(I?H)′=σ2(X