全概率考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.設事件A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，則有（）A.P(A)=1-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A∪B)=1D.P(AB)=02.已知隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，則E(X2)=（）A.2B.4C.6D.83.設X~N(1,4)，則P{1<X<3}=（）A.Φ(1)-Φ(0)B.Φ(3)-Φ(1)C.Φ(0.5)-Φ(0)D.Φ(1)-Φ(0.5)4.設總體X~N(μ,σ2)，X?,X?,...,X?為樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，S2為樣本方差，則（）A.\(\overline{X}\)~N(μ,σ2)B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)~N(0,1)C.\(\frac{(n-1)S2}{\sigma2}\)~t(n-1)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)~χ2(n-1)5.設隨機變量X的概率密度為f(x)，則Y=2X的概率密度為（）A.\(\frac{1}{2}f(\frac{y}{2})\)B.2f(2y)C.\(\frac{1}{2}f(2y)\)D.2f(\frac{y}{2})6.設事件A與B相互獨立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=（）A.0.7B.0.58C.0.12D.0.427.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則F(+∞,+∞)=（）A.0B.1C.0.5D.不確定8.設隨機變量X的方差D(X)=4，Y=2X+3，則D(Y)=（）A.8B.16C.20D.259.設總體X的均值為μ，方差為σ2，X?,X?是來自總體X的樣本，則下列統(tǒng)計量中是μ的無偏估計的是（）A.\(\frac{1}{3}X?+\frac{2}{3}X?\)B.\(\frac{1}{2}(X?-X?)\)C.\(\frac{1}{4}X?+\frac{3}{4}X?\)D.以上都是10.設隨機變量X服從區(qū)間[0,2]上的均勻分布，則E(X)=（）A.0B.1C.2D.3二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關于概率的性質(zhì)，正確的有（）A.0≤P(A)≤1B.P(?)=0C.P(Ω)=1D.若A?B，則P(A)≤P(B)2.設隨機變量X與Y相互獨立，則（）A.Cov(X,Y)=0B.ρ??=0C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.E(XY)=E(X)E(Y)3.設總體X~N(μ,σ2)，X?,X?,...,X?為樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，S2為樣本方差，則（）A.\(\overline{X}\)與S2相互獨立B.\(\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)~N(0,1)C.\(\frac{(n-1)S2}{\sigma2}\)~χ2(n-1)D.\(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\)~t(n-1)4.設隨機變量X的概率密度為f(x)，則（）A.\(\int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1\)B.f(x)≥0C.P{a<X<b}=\(\int_{a}^f(x)dx\)D.F(x)=\(\int_{-∞}^{x}f(t)dt\)是X的分布函數(shù)5.設事件A、B滿足P(A)>0，P(B)>0，則（）A.若A與B互斥，則A與B一定不獨立B.若A與B獨立，則A與B一定不互斥C.若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)D.若A與B獨立，則P(AB)=P(A)P(B)6.設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則（）A.\(\int_{-∞}^{+∞}\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dxdy=1\)B.f(x,y)≥0C.P{(X,Y)∈D}=\(\iint_{D}f(x,y)dxdy\)D.\(f_X(x)=\int_{-∞}^{+∞}f(x,y)dy\)是X的邊緣概率密度7.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則（）A.E(X)=\(\frac{1}{\lambda}\)B.D(X)=\(\frac{1}{\lambda2}\)C.分布函數(shù)F(x)=\(\begin{cases}1-e^{-\lambdax},&x≥0\\0,&x<0\end{cases}\)D.概率密度f(x)=\(\begin{cases}\lambdae^{-\lambdax},&x≥0\\0,&x<0\end{cases}\)8.設總體X的分布函數(shù)為F(x;θ)，其中θ為未知參數(shù)，X?,X?,...,X?為樣本，\(\hat{\theta}\)是θ的估計量，則（）A.若E(\(\hat{\theta}\))=θ，則\(\hat{\theta}\)是θ的無偏估計B.若\(\lim_{n→∞}P{|\hat{\theta}-\theta|<\varepsilon}=1\)，則\(\hat{\theta}\)是θ的一致估計C.若\(\hat{\theta}\)是θ的無偏估計，則\(\hat{\theta}\)一定是θ的有效估計D.若\(\hat{\theta}\)是θ的有效估計，則\(\hat{\theta}\)一定是θ的無偏估計9.設隨機變量X與Y的相關系數(shù)ρ??=0，則（）A.X與Y一定相互獨立B.Cov(X,Y)=0C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)D.E(XY)=E(X)E(Y)10.設總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則（）A.樣本均值\(\overline{X}\)服從正態(tài)分布N(μ,\(\frac{\sigma2}{n}\))B.樣本方差S2是σ2的無偏估計C.當μ已知時，\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-μ)2\)是σ2的無偏估計D.當μ未知時，\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})2\)是σ2的無偏估計三、判斷題（每題2分，共20分）1.若事件A與B互斥，則P(AB)=P(A)P(B)。（）2.隨機變量X的分布函數(shù)F(x)是單調(diào)不減函數(shù)。（）3.設總體X~N(μ,σ2)，X?,X?,...,X?為樣本，則\(\overline{X}\)與S2相互獨立。（）4.若隨機變量X與Y相互獨立，則D(X-Y)=D(X)-D(Y)。（）5.設事件A與B相互獨立，且P(A)>0，P(B)>0，則A與B一定不互斥。（）6.二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)滿足F(-∞,-∞)=0，F(xiàn)(+∞,+∞)=1。（）7.設隨機變量X的概率密度為f(x)，則\(\int_{-∞}^{+∞}f(x)dx=1\)。（）8.若\(\hat{\theta}\)是θ的無偏估計，則\(\hat{\theta}\)一定是θ的有效估計。（）9.設總體X的均值為μ，方差為σ2，X?,X?是來自總體X的樣本，則\(\frac{1}{2}(X?+X?)\)是μ的無偏估計。（）10.設隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則E(X)=D(X)=λ。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述全概率公式。2.什么是隨機變量的數(shù)學期望？它有什么意義？3.簡述參數(shù)估計的兩種方法。4.簡述中心極限定理的內(nèi)容。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論事件的獨立性與互斥性之間的關系。2.討論隨機變量的相關性與獨立性之間的關系。3.討論樣本均值\(\overline{X}\)和樣本方差S2的性質(zhì)。4.討論假設檢驗中兩類錯誤的含義及關系。答案一、單項選擇題1.D2.C3.A4.B5.A6.B7.B8.B9.D10.B二、多項選擇題1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABD9.BCD10.ABD三、判斷題1.×2.√3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.√四、簡答題1.若事件\(B_1,B_2,\cdots,B_n\)構(gòu)成完備事件組，且\(P(B_i)>0\)，則對任一事件\(A\)，有\(zhòng)(P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)\)。2.隨機變量\(X\)的數(shù)學期望\(E(X)\)是對\(X\)取值的平均水平的一種度量。它反映了隨機變量取值的中心位置，是隨機變量的一個重要數(shù)字特征。3.參數(shù)估計的兩種方法是點估計和區(qū)間估計。點估計是用樣本統(tǒng)計量的值直接作為總體參數(shù)的估計值；區(qū)間估計是給出總體參數(shù)的一個估計區(qū)間。4.中心極限定理：設獨立同分布的隨機變量\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，且具有有限的均值\(\mu\)和方差\(\sigma2\)，當\(n\)充分大時，\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)近似服從正態(tài)分布\(N(n\mu,n\sigma2)\)。五、討論題1.互斥事件是指\(AB=\varnothing\)，獨立事件是\(P(AB)=P(A)P(B)\)。若\(P(A)>0\)，\(P(B)>0\)，互斥則不獨立，獨立則不互斥；若\(P(A)=0\)或\(P(B)=0\)，互斥與獨立可同時成立。2.若隨機變量\(X\)與\(Y\)獨立，則一定不相關；但不相關不一定獨立。相關系數(shù)衡量線性關系，獨立表示取值互不影響。3.樣本均