祁陽一中2025年下學(xué)期高二十月月考數(shù)學(xué)試題（時(shí)量120分鐘滿分150分）第I卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知點(diǎn)、，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則直接求解．【詳解】解：∵點(diǎn)、，∴．故選：C．2.若圓的半徑為2，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-9 B.-8 C.9 D.8【答案】D【解析】【分析】由圓的一般方程配方得出其標(biāo)準(zhǔn)方程，由半徑為2得出答案.【詳解】由，得，所以，解得.故選：D.3.已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A. B.C.l與α相交但不垂直 D.或【答案】A【解析】【分析】由和的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】，，所以，所以，故選：A4.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，橢圓上的點(diǎn)M到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義可得a，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c，然后由求出即可得方程.【詳解】由橢圓定義可知，，得，又橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，所以橢圓焦點(diǎn)在x軸上，且，所以，所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C5.如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)．若，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算即得.【詳解】由圖知，.故選：A6.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，，，則的歐拉線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求的重心和外心，結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程可得歐拉線方程.【詳解】因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，，可知重心為點(diǎn)，即點(diǎn)，由題意，可知，所以的外心為斜邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)，所以的歐拉線方程為，即.故選：C.7.已知，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，以及數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】直線的方程為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，得，即點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意可知，如圖，點(diǎn)都在光線上，并且利用對(duì)稱性可知，，，所以光線經(jīng)過路程.故選：C8.已知圓與圓，過動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線，（，分別為切點(diǎn)），若，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)的軌跡為直線，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到最值.【詳解】由題意得，，因?yàn)?，又，即，即，化簡得點(diǎn)的軌跡為，即在直線上，表示的幾何意義為點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，故只需計(jì)算原點(diǎn)到直線的距離再平方就可得最小值，即最小值為.故選：B.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線l的傾斜角等于，且l經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）A.直線l在y軸上的截距為 B.l的一個(gè)方向向量為C.l與直線垂直 D.l與直線平行【答案】ABC【解析】【分析】先求出直線的方程，然后逐項(xiàng)判斷計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€傾斜角為，所以斜率為.因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以該直線方程為，即.對(duì)于A：令，則，所以該直線與軸上的截距為，所以A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋c斜率相等，所以B正確；對(duì)于C：因?yàn)橹本€的斜率為，而，所以與該直線垂直，所以C正確；對(duì)于D：因?yàn)橹本€的斜率為，所以兩直線不平行，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知圓與圓有四條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值可能是（）A.－4 B.－2 C. D.3【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意可知，兩圓外離，即圓心距大于兩圓半徑之和，解不等式即可得解．【詳解】圓心，半徑，圓心，半徑．因?yàn)閮蓤A有四條公切線，所以兩圓外離．又兩圓圓心距，所以，解得或．故選：AD．11.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P滿足，、，則（）A.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面距離為B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到平面的距離為C.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得D.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得平面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)平面距離向量求法求解判斷AB；利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷CD.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)P到平面的距離，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，點(diǎn)P到平面的距離，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，顯然，方程無實(shí)根，即與不垂直，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，，顯然，即，由，得，即當(dāng)時(shí)，，而平面，因此平面，D正確.故選：BD第Ⅱ卷三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.點(diǎn)到直線：的距離為_________.【答案】【解析】【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)到直線：的距離為，故答案為：.13.已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長_______．【答案】【解析】【分析】由橢圓定義計(jì)算即可得.【詳解】由橢圓可得，則的周長.故答案為：.14.曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】明確曲線的幾何意義，作出其表示的圖象，結(jié)合直線曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.【詳解】方程可化為且，所以曲線的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓上縱坐標(biāo)大于等于1的點(diǎn)的集合，直線表示過點(diǎn)且斜率存在的直線，作圖可得:因?yàn)榍€與直線有兩個(gè)交點(diǎn),觀察圖象可得，又，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，求：（1）邊所在直線的方程；（2）邊的垂直平分線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)求斜率，由點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）根據(jù)中垂線的性質(zhì)，利用垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，可得答案.【小問1詳解】，邊所在直線的方程，即；【小問2詳解】，所以又中點(diǎn)坐標(biāo)，所以邊的垂直平分線的方程，即.16.如圖，長方體中，，E，F(xiàn)分別在上，且，（1）求證：平面AEF；（2）求異面直線AE與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求得與平面的法向量為，易得，從而得到平面；（2）由（1）的條件，得到，，再根據(jù)向量夾角余弦公式求解即可.【小問1詳解】依題意，建立以D為原點(diǎn)，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，所以，故，所以面.【小問2詳解】由（1）知，，則，即異面直線AE與所成角的余弦值為．17.已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心C在直線上．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由圓心所在的直線設(shè)出圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解；（2）由（1）的結(jié)論及已知求出圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出參數(shù)值.【小問1詳解】由圓心在直線上，設(shè)圓心，由，得，解得，因此圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓的圓心，半徑，由，得圓心到直線的距離為，則，即，解得或，18.已知圓，線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)滿足線段，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)斜率為的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，試探究：①設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，這樣的直線是否存在，若存在求出；若不存在說明理由；②求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）（2）①直線不存在，理由見解析；②【解析】【分析】（1）運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)代入法求解軌跡方程即可；（2）根據(jù)向量等式，求解直線的斜率k,結(jié)合聯(lián)立方程組法確定k的取值范圍，進(jìn)而確定直線是否存在；根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再運(yùn)用參數(shù)法求解點(diǎn)D的軌跡方程.【小問1詳解】設(shè)，則，設(shè)，，，即.【小問2詳解】①設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)直線l方程為，則設(shè)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則，由韋達(dá)定理得：，，則即，與不符，所以滿足條件的直線不存在；②MN中點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)MN中點(diǎn)D為則，即所以中點(diǎn)的軌跡方程為：.19.如圖，在三棱錐中，平面平面，，且，以為鄰邊作平行四邊形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，四點(diǎn)在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心O．（i）證明：球心O在平面內(nèi)；（ii）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）0【解析】【分析】（1）要證明線面平行，需證明線線平行，即.（2）（i）根據(jù)外接球的定義，找出到四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的球心的位置；（ii）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量的坐標(biāo)，最后根據(jù)向量的夾角的余弦公式求出余弦值即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所?又，所以.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，而不在平面內(nèi)，所以平面.【小問2詳解】（