第二十一章一元二次方程專題1一元二次方程的特殊解法1溫馨提示：點擊進入講評23456781．我們知道可以用公式x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)來分解因式，從而解一元二次方程．(1)方程x2＋6x＋8＝0可分解為____________＝0，方程x2－7x－30＝0可分解為______________＝0．(x＋2)(x＋4)(x－10)(x＋3)(2)愛鉆研的小明同學發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)不是1的一元二次方程也可以借助此方法求解．如：方程3x2－7x＋2＝0可分解為(x－2)·(3x－1)＝0(如圖)，從而可以快速求出方程

的解．

利用此方法解下列方程：①x2－5x＋6＝0；②x2－2x－8＝0；【解】∵x2－5x＋6＝0，∴(x－2)(x－3)＝0.∴x－2＝0或x－3＝0，解得x1＝2，x2＝3.∵x2－2x－8＝0，∴(x＋2)(x－4)＝0.∴x＋2＝0或x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝4.③4x2－8x－5＝0．【點方法】能用十字相乘法來分解因式的二次三項式的系數(shù)的特點：常數(shù)項能分解成兩個數(shù)的積，二次項系數(shù)能分解成兩個數(shù)的積，且交叉相乘再相加恰好等于一次項的系數(shù)．當常數(shù)項是正數(shù)時，分解的兩個數(shù)必同號，即都為正或都為負，交叉相乘之和得一次項系數(shù)．當常數(shù)項是負數(shù)時，分解的兩個數(shù)必異號，交叉相乘之和仍得一次項系數(shù)．因此因式分解時不但要注意首尾分解，而且需十分注意一次項的系數(shù)，才能保證因式分解的正確性．返回2．解方程：(x－1)2－5(x－1)＋4＝0．解：設x－1＝y(tǒng)，則原方程可化為y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．當y＝1時，x－1＝1，解得x＝2；當y＝4時，x－1＝4，解得x＝5．∴原方程的解為x1＝2，x2＝5．上述解法稱為“整體換元法”．請運用“整體換元法”解下列方程：(1)x4－3x2－4＝0；【解】設x2＝y(tǒng)，則原方程可化為y2－3y－4＝0，解得y＝4或y＝－1，當y＝4時，x2＝4，解得x＝±2；當y＝－1時，x2＝－1，此方程無實數(shù)解．∴原方程的解為x1＝2，x2＝－2.(2)(x2－2)2－11(x2－2)＋18＝0．返回【點方法】在已知條件或者待求問題中，某個代數(shù)式多次出現(xiàn)，可用一個字母來代替它從而簡化問題，這就是換元法，當然有時候要通過變形才能換元．返回4．閱讀下面的例題：解方程：x2－|x|－2＝0．解：①當x≥0時，原方程可化為x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不符合題意，舍去)；②當x＜0時，原方程可化為x2＋x－2＝0，解得x3＝1(不符合題意，舍去)，x4＝－2．綜上，原方程的解是x＝2或x＝－2．請參照例題解方程：x2－|x－3|－3＝0．返回【解】①當x≥3時，原方程可化為x2－(x－3)－3＝0，即

x2－x＝0，解得x1＝0(不合題意，舍去)，x2＝1(不合題意，舍去)；②當x＜3時，原方程可化為x2＋x－3－3＝0，即x2＋x－6＝0，解得x3＝－3，x4＝2.綜上，原方程的解是x＝－3或x＝2.2y2－3y＋1＝0返回6．我國古代數(shù)學家趙爽在《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進行求解的方法．例如，求方程x2＋2x＝35正根的方法：如圖，構(gòu)造出4個長為(x＋2)，寬為x的矩形，圍成一個邊長為(x＋2＋x)的大正方形，∴S1＝S2＝S3＝S4＝(x＋2)×x，S5＝22，得到大正方形的面積為4×x(x＋2)＋22＝4×35＋4＝144，∴大正方形的邊長為12，即x＋2＋x＝12，∴x＝5．(1)請利用上面方法畫出圖形，求出方程x2＋4x－15＝0的

正根；返回((2)你能否用幾何法求方程m2－2m－5＝0的正根，如果能，請直接畫出圖形，并標注相關信息；如果不能，請說明理由．【解】能．圖形及標注如圖②.7．閱讀下面的內(nèi)容，按要求回答問題：已知方程①x2－1＝0的兩根是x1＝1，x2＝－1；方程②x2＋x－2＝0的兩根是x1＝1，x2＝－2；方程③x2＋2x－3＝0的兩根是x1＝1，x2＝－3；方程④x2＋3x－4＝0的兩根是x1＝1，x2＝－4．(1)請用適當?shù)姆椒ㄇ蠓匠蘹2＋4x－5＝0的兩根；【解】∵x2＋4x－5＝0，∴(x－1)(x＋5)＝0.∴x1＝1，x2＝－5.(2)觀察上面幾個方程的根的特點，直接寫出方程x2＋

2024x－2025＝0的兩根是x1＝________，x2＝________，并驗證你的結(jié)果；1－2025【解】驗證：∵當x＝1時，左邊＝12＋2024×1－2025＝0＝右邊，當x＝－2025時，左邊＝(－2025)2＋2024×(－2025)－2025＝0＝右邊，∴方程的根是x1＝1，x2＝－2025.返回(3)關于x的方程x2＋(n－1)x－n＝0的兩根是x1＝________，x2＝________．1－n8．我們知道，解一元二次方程，可以把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，其實用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想我們還可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通過因式分解把