五年級(jí)奧數(shù)詳解及練習(xí)題集前言：五年級(jí)奧數(shù)學(xué)習(xí)的意義與方法導(dǎo)引五年級(jí)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要分水嶺，也是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、提升解題能力的關(guān)鍵時(shí)期。奧數(shù)學(xué)習(xí)，并非簡(jiǎn)單地超前學(xué)習(xí)或難題攻堅(jiān)，其核心在于引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)邏輯推理、抽象概括、空間想象和創(chuàng)新思維等核心素養(yǎng)。它能讓孩子們?cè)谌の杜c挑戰(zhàn)中感受數(shù)學(xué)之美，為后續(xù)更深入的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本集旨在為五年級(jí)學(xué)生提供一套系統(tǒng)、實(shí)用的奧數(shù)學(xué)習(xí)指南。我們將圍繞五年級(jí)奧數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)，通過“方法點(diǎn)睛”提煉解題精髓，“例題詳解”展示思維過程，“舉一反三”鞏固學(xué)習(xí)成果，并輔以綜合練習(xí)，幫助同學(xué)們逐步揭開奧數(shù)的神秘面紗，享受解題的樂趣。學(xué)習(xí)奧數(shù)，最重要的是勤于思考、勇于嘗試、善于總結(jié)。遇到難題不氣餒，解決問題不驕躁。希望本集能成為你奧數(shù)學(xué)習(xí)路上的良師益友。---一、計(jì)算技巧進(jìn)階1.1湊整法與基準(zhǔn)數(shù)法方法點(diǎn)睛：湊整法是通過將數(shù)字轉(zhuǎn)化為整十、整百、整千的數(shù)來簡(jiǎn)化計(jì)算的方法，核心在于“拆”與“合”?；鶞?zhǔn)數(shù)法則是當(dāng)一組數(shù)據(jù)都接近某個(gè)數(shù)時(shí)，將這個(gè)數(shù)定為基準(zhǔn)數(shù)，然后通過“多退少補(bǔ)”進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。例題詳解：計(jì)算：999+99+9+3分析：觀察發(fā)現(xiàn)，999接近1000，99接近100，9接近10。我們可以將3拆分成1+1+1，分別與它們湊整。解答：原式=(999+1)+(99+1)+(9+1)=1000+100+10=1110計(jì)算：28+31+29+30+27+32分析：這組數(shù)據(jù)都在30左右，我們以30為基準(zhǔn)數(shù)。解答：原式=30×6+(-2+1-1+0-3+2)=180+(-3)=177舉一反三：1.計(jì)算：198+203+195+201+1992.計(jì)算：1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-51.2乘法分配律的靈活運(yùn)用方法點(diǎn)睛：乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c及其逆運(yùn)用a×c+b×c=(a+b)×c是簡(jiǎn)化計(jì)算的利器。關(guān)鍵在于觀察算式結(jié)構(gòu)，找出相同的因數(shù)（或通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造出相同因數(shù)）。例題詳解：計(jì)算：25×44分析：44可以拆成40+4，然后利用乘法分配律。解答：原式=25×(40+4)=25×40+25×4=1000+100=1100計(jì)算：63×37+37×37分析：兩項(xiàng)中都有因數(shù)37，可以逆用乘法分配律。解答：原式=(63+37)×37=100×37=3700舉一反三：1.計(jì)算：125×882.計(jì)算：78×54+78×47-78---二、應(yīng)用題綜合（一）2.1雞兔同籠問題方法點(diǎn)睛：雞兔同籠問題是經(jīng)典的算術(shù)問題，通常采用“假設(shè)法”求解?？梢约僭O(shè)全是雞或全是兔，根據(jù)腳的數(shù)量差求出另一種動(dòng)物的數(shù)量。基本關(guān)系式：假設(shè)全是雞：兔的只數(shù)=(總腳數(shù)-2×總頭數(shù))÷(4-2)假設(shè)全是兔：雞的只數(shù)=(4×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(4-2)例題詳解：雞兔同籠，共有頭35個(gè)，腳94只。雞和兔各有多少只？分析：假設(shè)35只全是雞，那么腳的總數(shù)應(yīng)該是35×2=70只，比實(shí)際少了94-70=24只。每把一只兔當(dāng)成雞，腳就少算了4-2=2只。所以兔的只數(shù)就是少算的腳數(shù)除以每只少算的腳數(shù)。解答：假設(shè)全是雞。兔的只數(shù)：(94-35×2)÷(4-2)=(94-70)÷2=24÷2=12(只)雞的只數(shù)：35-12=23(只)答：雞有23只，兔有12只。舉一反三：1.一個(gè)停車場(chǎng)內(nèi)，汽車和摩托車共停了48輛，其中每輛汽車有4個(gè)輪子，每輛摩托車有3個(gè)輪子，這些車共有172個(gè)輪子。停車場(chǎng)內(nèi)汽車和摩托車各有多少輛？2.學(xué)校買了足球和籃球共15個(gè)，用去了560元，已知每個(gè)足球28元，每個(gè)籃球42元。足球和籃球各買了多少個(gè)？2.2盈虧問題方法點(diǎn)睛：盈虧問題主要研究在一定數(shù)量的物品平均分配給一定數(shù)量的人時(shí)，由于分配標(biāo)準(zhǔn)不同而產(chǎn)生的“盈”（多余）或“虧”（不足）的問題。解題關(guān)鍵是找出兩次分配的總差額和每份的差額，從而求出參與分配的人數(shù)或物品總數(shù)?；绢愋图瓣P(guān)系式：一盈一虧：總份數(shù)=(盈+虧)÷兩次分配差兩盈：總份數(shù)=(大盈-小盈)÷兩次分配差兩虧：總份數(shù)=(大虧-小虧)÷兩次分配差例題詳解：小朋友分糖果，如果每人分4顆，則多出10顆；如果每人分6顆，則少6顆。問有多少個(gè)小朋友？多少顆糖果？分析：第一次每人分4顆多10顆（盈），第二次每人分6顆少6顆（虧）。兩次分配的差額是6-4=2顆/人?？偛铑~是10+6=16顆。用總差額除以每人的差額，就得到小朋友的人數(shù)。解答：小朋友人數(shù)：(10+6)÷(6-4)=16÷2=8(個(gè))糖果顆數(shù)：4×8+10=32+10=42(顆)或6×8-6=48-6=42(顆)答：有8個(gè)小朋友，42顆糖果。舉一反三：1.學(xué)校將一批圖書分給各班閱讀，如果每班分25本，則還剩22本；如果每班分30本，則少68本。這個(gè)學(xué)校有多少個(gè)班級(jí)？這批圖書共有多少本？2.老師給學(xué)生發(fā)練習(xí)本，每人發(fā)5本，則多8本；如果每人發(fā)7本，則多2本。有多少名學(xué)生？多少本練習(xí)本？---三、幾何圖形的奧秘3.1巧求平面圖形面積（割補(bǔ)法）方法點(diǎn)睛：對(duì)于一些不規(guī)則的平面圖形，我們可以通過“割”（分割成已學(xué)過的基本圖形）或“補(bǔ)”（補(bǔ)成一個(gè)大的基本圖形，再減去補(bǔ)上的部分）的方法，將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（如長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形等）來計(jì)算面積。例題詳解：求下圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）（*此處假設(shè)有一個(gè)圖形：一個(gè)大正方形邊長(zhǎng)為6厘米，內(nèi)部有一個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為4厘米，小正方形與大正方形右上角對(duì)齊，陰影部分為大正方形減去小正方形后剩余的左下角部分*）分析：陰影部分是一個(gè)不規(guī)則圖形。我們可以用“補(bǔ)”的思路，將整個(gè)圖形看作大正方形，陰影部分面積=大正方形面積-小正方形面積?；蛘哂谩案睢钡乃悸?，將陰影部分分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形。解答：方法一（補(bǔ)法思路，此處實(shí)際是減法）：大正方形面積：6×6=36(平方厘米)小正方形面積：4×4=16(平方厘米)陰影部分面積：36-16=20(平方厘米)方法二（割法）：將陰影部分分割成一個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬(6-4)=2厘米的長(zhǎng)方形和一個(gè)長(zhǎng)(6-4)=2厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形。面積：6×(6-4)+(6-4)×4=6×2+2×4=12+8=20(平方厘米)答：陰影部分的面積是20平方厘米。舉一反三：1.求下圖中圖形的面積。（單位：厘米）（*假設(shè)有一個(gè)圖形：一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)8厘米，寬5厘米，但右上角被挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形*）2.一個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是8厘米，求它的面積。（提示：用四個(gè)這樣的三角形可以拼成一個(gè)正方形）3.2三角形的等積變換方法點(diǎn)睛：等底等高的三角形面積相等。在一些圖形中，我們可以通過平移、旋轉(zhuǎn)或?qū)ふ彝椎雀叩娜切危M(jìn)行面積的等量代換，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。例題詳解：如下圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)。已知平行四邊形的面積是48平方厘米，求三角形ABE的面積。（*此處假設(shè)有一個(gè)平行四邊形ABCD，AB和CD是上下底，AD和BC是左右腰，E點(diǎn)在BC中點(diǎn)*）分析：平行四邊形的面積=底×高。三角形ABE以BE為底，它的高與平行四邊形以BC為底時(shí)的高相同。因?yàn)镋是BC中點(diǎn)，所以BE=1/2BC。解答：三角形ABE的面積=1/2×BE×高=1/2×(1/2BC)×高=1/4×BC×高因?yàn)槠叫兴倪呅蚊娣e=BC×高=48平方厘米所以三角形ABE面積=1/4×48=12(平方厘米)答：三角形ABE的面積是12平方厘米。舉一反三：1.如下圖，在三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)。已知三角形ADE的面積是5平方厘米，求三角形ABC的面積。（*假設(shè)有一個(gè)三角形ABC，D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，連接DE*）2.下圖中，ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，BC=10厘米，CD=6厘米，三角形ABF的面積比三角形EDF的面積大10平方厘米。求ED的長(zhǎng)。（*假設(shè)有一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，AB、CD是上下邊，AD、BC是左右邊。F點(diǎn)在長(zhǎng)方形內(nèi)部，連接AF交DC于E點(diǎn)，連接BF*）---四、應(yīng)用題綜合（二）4.1行程問題（相遇與追及）方法點(diǎn)睛：行程問題的基本關(guān)系式：路程=速度×?xí)r間。相遇問題：兩個(gè)物體從兩地出發(fā)相向而行，相遇時(shí)兩者所走的路程之和等于兩地距離?；娟P(guān)系式：總路程=(甲速度+乙速度)×相遇時(shí)間追及問題：兩個(gè)物體同向而行，快者追慢者，追及時(shí)兩者所走的路程之差等于初始距離（追及路程）?；娟P(guān)系式：追及路程=(快速度-慢速度)×追及時(shí)間例題詳解：相遇問題：甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行50千米，經(jīng)過4小時(shí)兩車相遇。A、B兩地相距多少千米？分析：兩車相向而行，它們的相對(duì)速度是兩車速度之和。4小時(shí)相遇，說明兩地距離就是兩車4小時(shí)一共行駛的路程。解答：(60+50)×4=110×4=440(千米)答：A、B兩地相距440千米。追及問題：小明和小紅在環(huán)形跑道上跑步，小明每分鐘跑200米，小紅每分鐘跑150米。如果兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘小明第一次追上小紅？（跑道一圈長(zhǎng)400米）分析：小明速度比小紅快，第一次追上時(shí)，小明比小紅多跑了一圈（400米）。用多跑的路程除以每分鐘多跑的路程，就是追及時(shí)間。解答：400÷(200-150)=400÷50=8(分鐘)答：經(jīng)過8分鐘小明第一次追上小紅。舉一反三：1.客車和貨車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開出，客車每小時(shí)行65千米，貨車每小時(shí)行55千米，經(jīng)過3小時(shí)兩車相遇。甲、乙兩站相距多少千米？2.一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行40千米，開出5小時(shí)后，一列火車以每小時(shí)90千米的速度也從甲地開往乙地。火車出發(fā)后幾小時(shí)能追上汽車？4.2平均數(shù)問題方法點(diǎn)睛：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)。解決平均數(shù)問題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到“總數(shù)量”和與它對(duì)應(yīng)的“總份數(shù)”。有時(shí)需要通過“移多補(bǔ)少”的思想來理解和計(jì)算。例題詳解：小明期末考試語文、數(shù)學(xué)、英語三科的平均成績(jī)是92分，其中語文88分，數(shù)學(xué)95分，英語多少分？分析：三科平均分是92分，那么三科總分是92×3。用總分減去語文和數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)，就是英語的分?jǐn)?shù)。解答：三科總分：92×3=276(分)英語分?jǐn)?shù)：276-88-95=93(分)答：英語得了93分。舉一反三：1.有5個(gè)數(shù)的平均數(shù)是18，若把其中一個(gè)數(shù)改為17，平均數(shù)就變成了16。這個(gè)被改動(dòng)的數(shù)原來是多少？2.小紅前三次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)是90分，第四次測(cè)驗(yàn)后，四次的平均成績(jī)是91分。小紅第四次測(cè)驗(yàn)得了多少分？---五、邏輯推理與策略5.1簡(jiǎn)單的邏輯推理方法點(diǎn)睛：邏輯推理問題需要我們根據(jù)已知條件，通過分析、判斷、排除等方法，得出正確的結(jié)論。常用的方法有：列表法、假設(shè)法、排除法等。解題時(shí)要善于抓住關(guān)鍵信息，層層推理。例題詳解：甲、乙、丙三位同學(xué)參加百米賽跑，獲得前三名。賽后，他們?nèi)苏f了以下三句話：甲說：“我不是第一名?！币艺f：“我不是第二名，也不是第三名?！北f：“我不是第三名?！币阎麄?nèi)酥兄挥幸蝗苏f了假話，請(qǐng)問他們?nèi)说拿胃魇嵌嗌?？分析：我們可以采用假設(shè)法。先假設(shè)某個(gè)人說的是假話，然后看另外兩人說的是否為真話，是否符合題意（只有一人說假話）。解答：假設(shè)甲說的是假話，那么甲是第一名。則乙和丙說的是真話。乙說自己不是第二也不是第三，那么乙只能是第一，但甲已經(jīng)是第一，矛盾。所以甲說的是真話。假設(shè)乙說的是假話，那么乙是第二名或者第三名。甲說真話，甲不是第一。丙說真話，丙不是第三。如果乙是第二名，那么甲和丙只能是第一和第三