21/23專題07解三角形中最值、類中線、內(nèi)切圓等8大題型內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢(shì)下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對(duì)應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時(shí)練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時(shí)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：1、解三角形是近3年的高考命題熱點(diǎn)，常以解答題為主，但也會(huì)考察選擇填空題，?？疾閮?nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點(diǎn)是正余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，也會(huì)考察解三角形中的最值范圍問題．預(yù)測(cè)2026年：解三角可能會(huì)考一道最值中檔試題，考察解三角形類中線最值問題，與平面向量相結(jié)合，也可能考察三角形中的內(nèi)切圓問題。熱點(diǎn)題型：題型01求對(duì)邊對(duì)角三角形面積最大值范圍問題題型02對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問題題型03非對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問題題型04解三角形中對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問題題型05銳角的對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問題題型06解三角形中的類中線問題處理策略題型07解三角形中的外接圓問題題型08解三角形中的內(nèi)切圓問題題型01求對(duì)邊對(duì)角三角形面積最大值范圍問題解｜題｜策｜略解題思路：余弦定理+不等式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)秒殺思路：角等邊，非等腰面積最大【精選例題】【例1】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A為銳角，的面積為S，且.(1)求A；(2)若，求S的最大值.【例2】在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，且滿足（填條件序號(hào)）.(1)求角；(2)，求的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.【例3】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小正周期以及它的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離；(2)設(shè)，在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值.【例4】中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.(1)求；(2)已知，求的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．2.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，.(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值.3.已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面積的最大值．4.從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答．在中，三邊分別是角的對(duì)邊，若______.(1)求C；(2)若，求的面積的最大值．題型02對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問題解｜題｜策｜略解題思路：面積公式邊換角降冪公式輔助角公式銳角范圍求面積范圍【精選例題】【例1】在銳角中，、、分別是角、、所對(duì)的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例2】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間，(2)若為銳角的內(nèi)角，且，求面積的取值范圍．【專題訓(xùn)練】1.設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求銳角的面積的取值范圍．2.在銳角中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求；(2)若外接圓的半徑是1，求面積的取值范圍.題型03非對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問題解｜題｜策｜略解題思路：秒殺：畫兩個(gè)直角三角形直接秒（注意兩邊都為開區(qū)間）解答題步驟：正弦定理邊化角化為求解（注意角的范圍）【精選例題】【例1】已知a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知角，，若是銳角三角形，則的面積為S的取值范圍為.【例2】記銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.(1)求.(2)求面積的取值范圍.【專題訓(xùn)練】1.已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．且．(1)求角A；(2)若，求面積的取值范圍．2.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.題型04解三角形中對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問題解｜題｜策｜略解題思路：余弦定理不等式【精選例題】【例1】在中，已知，且，則的取值范圍為．【例2】在中，已知，且，則的取值范圍為．【例3】在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C．6 D．9【例4】在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例5】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設(shè)，求周長(zhǎng)的最大值．【專題訓(xùn)練】1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且，△ABC外接圓面積為則∠A=，△ABC周長(zhǎng)的最大值為.2．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，，則周長(zhǎng)的最小值為．3．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若．(1)求的值；(2)若的面積為，求周長(zhǎng)的取值范圍．4．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍.題型05銳角的對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問題解｜題｜策｜略解題思路：正弦定理三角函數(shù)輔助角公式注意角的范圍【例1】在銳角中，已知，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【例2】在銳角中，角的對(duì)邊分別為為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3】在△中，角所對(duì)的邊分別為且．(1)求△的外接圓半徑；(2)若△為銳角三角形，求△周長(zhǎng)的取值范圍．【例4】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且.(1)求B；(2)若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對(duì)邊，且，，則三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知銳角的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.4.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的直徑為，求周長(zhǎng)的取值范圍.題型05銳角的非對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問題解｜題｜策｜略解題思路：秒殺法：直接畫兩個(gè)直角三角形就出來了，都是開區(qū)間，取不到解答題解法：正弦定理，所有邊都換為角，最后化成一個(gè)角，然后用二倍角展開，化為，利用單調(diào)性【精選例題】【例1】在銳角中，已知，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【例2】已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，向量，，且.(1)求角C的值；(2)若，求的取值范圍.【例3】已知函數(shù).在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.已知為銳角三角形，是角分別所對(duì)的邊，若，且，則的取值范圍是．2．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，，則周長(zhǎng)的取值范圍為．3．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并加以解答．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，______．(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍．4．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍．題型06解三角形中的類中線問題處理策略解｜題｜策｜略①向量法：在用來求范圍最值時(shí)很方便若在中，是的中線，那么就是若在中，，那么就是若在中，，那么就是用向量表示出來后再平方，結(jié)合向量數(shù)量積和余弦定理，再利用基本不等式求解②用兩次余弦定理：對(duì)類中線所對(duì)應(yīng)的小角分別在小三角形和大三角形中用余弦定理，求值的時(shí)候比較方便③余弦值互為相反數(shù)：對(duì)于類中線（爪形三角形）類解三角形題目，可以利用鄰補(bǔ)角余弦值互為相反數(shù)列方程④等面積法處理：對(duì)于類中線（爪形三角形）類解三角形題目，還可以利用大三角形面積等于兩個(gè)小三角形面積求解【精選例題】【例1】在中，，若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的取值范圍．【例2】在銳角中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的取值范圍．【例3】（多選題）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，D在線段上，且滿足平分．則（

）A． B． C． D．【例4】（多選題）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A．角的大小為B．若為的角平分線，則C．若，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為D．若，則的周長(zhǎng)的最大值為【例5】記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【例6】已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D是邊上一點(diǎn)，，，，且．(1)若，證明：；(2)在（1）的條件下，且，求的值．【例7】在中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.(1)求角；(2)若點(diǎn)M在邊上BC滿足，且，求面積的最大值.【例8】在中，的對(duì)邊分別為.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線的長(zhǎng).2.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）設(shè)，若點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積．3．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且．(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，且，求的面積．4.在中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．5.在中，記角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．6.在，中，記角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積.7.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求角B；(2)若點(diǎn)D在上，為的角平分線，，求的最小值．8.在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，，且，為線段上一點(diǎn).(1)求角的大??；(2)若為角的角平分線，，的周長(zhǎng)為15，求的長(zhǎng).題型07解三角形中的外接圓問題解｜題｜策｜略遇到有關(guān)外接圓問題：我們要想到正弦定理【精選例題】【例1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【例2】中，，角的平分線交于點(diǎn)，若，則外接圓的面積是．【例3】在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【例4】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且(1)求；(2)若的外接圓半徑為，周長(zhǎng)為，且，求.【例5】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，是的外心.(1)若，求的最小值.(2)設(shè)，.①求的面積；②用向量，表示向量.【變式訓(xùn)練】1.在中，若，且，則的外接圓的面積為．2.銳角的三個(gè)內(nèi)角是，滿足，的外接圓的圓心為，半徑是1.(1)求角的大小及的值；(2)求的取值范圍.3.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)若為的外心，為邊的中點(diǎn)，且，求周長(zhǎng)的最大值．4．如圖，在中，，點(diǎn)為外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在直線兩側(cè)）．

(1)若，求的值；(2)若，求四邊形周長(zhǎng)的最大值；(3)若，求．題型08解三角形中的內(nèi)切圓問題解｜題｜策｜略遇到有關(guān)內(nèi)切圓問題：我們要想到等面積法，【精選例題】【例1】中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A． B． C． D．【例2】已知正n邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【例3】（多選題）在中，，，，I為的內(nèi)心，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【例4】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大??；(2)若的外接圓半徑為4，且，求的面積．【例5】在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，的外接圓的半徑為.(1)求角的值；(2)如果，求的面積；(3)求內(nèi)切圓半徑的最大值.【變式訓(xùn)練】1．（多選題）已知的面積為，若，，則（）A．的外接圓半徑為1B．C．D．的內(nèi)切圓半徑為2．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其內(nèi)切圓半徑，則邊長(zhǎng)的最小值為．3．中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，、分別為的外心和內(nèi)心，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的長(zhǎng)度為.4．在中角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)記為a，b，c，，，取，，已知.(1)求.(2)在邊上取一點(diǎn)D，使為銳角且有與的外接圓半徑之比為，設(shè)點(diǎn)E為的內(nèi)心，求的面積.5．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求A；(2)若，求三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍．（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．在中，，點(diǎn)為三角形的外接圓的圓心，若，且，則的面積的最大值為（）A．2 B．8 C．16 D．182．(25-26高三上·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)·)在中，“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不必要條件，又不充分條件3．(25-26高三上·重慶第一中學(xué)校·期中)在中，、、分別為邊、、所對(duì)的內(nèi)角，若、、成等比數(shù)列，則角的范圍是（

）A． B． C． D．4．若點(diǎn)為的外心，且滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．(25-26高三上·遼寧名校聯(lián)盟·期中)若內(nèi)一點(diǎn)滿足，則稱點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．如圖，已知在中，，，，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．若，且滿足，則其布洛卡角的正切值為（

）

A． B． C． D．6．在銳角三角形中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，為的面積，若，則（

）A． B． C． D．8．(25-26高三上·遼寧重點(diǎn)高中點(diǎn)石聯(lián)考·期中)如圖，1752年，兩位法國(guó)天文學(xué)家為了測(cè)量地球與月球之間的距離，利用幾乎位于同一經(jīng)線上，且緯度差約為的柏林（點(diǎn)）與好望角（點(diǎn)）為基點(diǎn)，測(cè)量出，的大小.設(shè)地球半徑為，則地球表面與月球表面的最小距離約為（

）

A．B．C．D．9．(25-26高三上·安徽六安第一中學(xué)·月考)在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且的取值范圍是，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題10．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11．在中，角的對(duì)應(yīng)邊分別為，則（

）A．若，，則周長(zhǎng)的最大值為18B．若，，為的中點(diǎn)，且，則C．若是銳角三角形且，，則的最小值為D．若角的內(nèi)角平分線交于，且，，則面積的最大值為312．(25-26高三上·廣東廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)?！?在中，、、是角、、的對(duì)應(yīng)邊，滿足，，，則（

）A． B．C． D．的面積為13．(25-26高三上·吉林長(zhǎng)春第二中學(xué)·調(diào)研)已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，并且滿足，則（

）A． B． C． D．14．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．B．面積的最大值為C．的最大值為D．角的平分線交于點(diǎn)，則的最大值為三、填空題15．已知所對(duì)的三邊為a，b，c，且滿足，則的最小值為16．(25-26高三上·云南臨滄第一中學(xué)·期中)在銳角中，分別是角的對(duì)邊，且，則的最小值是．17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.18．在中，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，則，若，則的面積最大值為.四、解答題19．(23-24高三上·福建廈門科技中學(xué)（翔安校區(qū)）·期中)在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是，，，的面積記為S，已知，.(1)求；(2)若邊上的中線長(zhǎng)為，為角的角平分線，求的長(zhǎng).20．在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為，已知且.(1)求角；(2)若，求邊