五年級數(shù)學(xué)解決問題能力競賽試題及答案1.小松鼠的橡果秋天到了，小松鼠把180顆橡果平均藏在A、B、C三棵大樹的樹洞里。它先給A樹藏的顆數(shù)是B樹的2倍，再給C樹藏的顆數(shù)比B樹多30顆。后來它發(fā)現(xiàn)A樹洞被風(fēng)吹走了15顆，B樹洞被喜鵲叼走了9顆，C樹洞完好。為了過冬，小松鼠決定把剩下的橡果重新平均分成相等的若干份，每份最多能有多少顆？一共能分成多少份？答案與解析設(shè)B樹原有x顆，則A樹2x顆，C樹x＋30顆。列方程：x＋2x＋x＋30＝180，解得x＝37.5。因為顆數(shù)必須為整數(shù)，說明“平均”二字在此指“盡量接近整顆”，于是把180顆按2∶1∶1.3的比例分配：B樹取37顆，A樹74顆，C樹69顆，總和180顆。風(fēng)吹后：A樹剩74－15＝59顆，B樹剩37－9＝28顆，C樹69顆，共156顆。求156的最大公約數(shù)可用“自身”法，156＝22×3×13，最大份數(shù)即156份，每份1顆；若要求“每份最多”，則只有1份156顆。題目問“每份最多能有多少顆”，答案：156顆；分成1份。2.魔法數(shù)字樓梯一座100級的數(shù)字樓梯，第一級寫1，第二級寫2，第三級寫4，第四級寫8……規(guī)律是“每級數(shù)字是前一級的2倍”。小勇從第1級出發(fā)，每次可以向上跨1、2或3級，但必須踩到寫有“小于1000”的那一級才能停下。若他最終停在第n級，n最大是多少？他共有多少種不同的跨法到達(dá)這一級？答案與解析先列出各級數(shù)字：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024……第11級數(shù)字1024≥1000，故只能踩到第10級（512）。問題轉(zhuǎn)化為：在1～10級之間，每次跨1、2或3步，求到達(dá)第10級的最大級數(shù)（顯然就是10）及方法數(shù)。設(shè)f(k)為到達(dá)第k級的方法數(shù)，則f(k)＝f(k－1)＋f(k－2)＋f(k－3)，初始f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2。遞推：f(3)=4，f(4)=7，f(5)=13，f(6)=24，f(7)=44，f(8)=81，f(9)=149，f(10)=274。答案：n最大為10；跨法共274種。3.糖果店的折扣日“甜蜜糖果店”周末搞活動：規(guī)則1：每買3包軟糖送1包；規(guī)則2：每買5包硬糖送2包；規(guī)則3：軟糖與硬糖可混搭，但贈品只能按各自類別計算。小明用200元買糖果，軟糖每包8元，硬糖每包5元。他想買到“實際入口”的糖果盡量多，且要求軟糖與硬糖入口數(shù)量相差不超過10包。問他最多能吃到多少包糖？答案與解析設(shè)買軟糖x包，硬糖y包，則花費8x＋5y≤200。入口軟糖：x＋?x/3?；入口硬糖：y＋?y/5?×2。總?cè)肟赟＝x＋?x/3?＋y＋?y/5?×2。約束：|(x＋?x/3?)－(y＋?y/5?×2)|≤10。枚舉x從0到25（8×25=200），y從0到40（5×40=200），用表格法篩選：當(dāng)x=18，y=10時，花費8×18＋5×10＝194≤200；入口軟糖18＋6＝24，入口硬糖10＋4＝14，相差10，滿足；S=38。再試x=21，y=6，花費8×21＋5×6＝198≤200；入口軟糖21＋7＝28，入口硬糖6＋2＝8，相差20，超差。x=15，y=16，花費8×15＋5×16＝200；入口軟糖15＋5＝20，入口硬糖16＋6＝22，相差2，S=42。x=12，y=20，花費8×12＋5×20＝196；入口軟糖12＋4＝16，入口硬糖20＋8＝28，相差12，超差。x=9，y=24，花費8×9＋5×24＝192；入口軟糖9＋3＝12，入口硬糖24＋9＝33，相差21，超差。x=6，y=28，花費8×6＋5×28＝188；入口軟糖6＋2＝8，入口硬糖28＋11＝39，相差31，超差。x=3，y=32，花費8×3＋5×32＝184；入口軟糖3＋1＝4，入口硬糖32＋12＝44，相差40，超差。x=0，y=40，花費200；入口硬糖40＋16＝56，入口軟糖0，相差56，超差。綜上，S最大為42包。4.奇偶大冒險把1到100這100個自然數(shù)寫成一行，任意兩個相鄰數(shù)之間添“＋”或“－”號，使得整個算式的結(jié)果恰好等于2024。小明發(fā)現(xiàn)，無論怎么填符號，結(jié)果都不可能是2024，他用了“奇偶分析法”說服了老師。請把他的分析過程寫出來，并算一算：如果允許把若干相鄰數(shù)字合并成多位數(shù)，能否得到2024？舉例或說明理由。答案與解析（1）不合并數(shù)字：1～100的和S=100×101/2=5050，偶數(shù)。每把一個“＋”變“－”，相當(dāng)于從總和中減去該數(shù)的兩倍，差值變化為偶數(shù)，故結(jié)果奇偶性與5050相同，必為偶數(shù)。2024也是偶數(shù)，奇偶性符合，但還需更深分析?？紤]模4：5050≡2(mod4)。每變一次符號，減去2a，2amod4要么0要么2。若a為偶數(shù)，2a≡0(mod4)，結(jié)果仍≡2；若a為奇數(shù)，2a≡2(mod4)，結(jié)果≡0。因此結(jié)果只能≡0或2(mod4)。2024÷4=506，余0，符合。但再考慮“最小正結(jié)果”與“最大負(fù)結(jié)果”范圍：最小正結(jié)果：把大于50的數(shù)全變“－”，其余“＋”，計算得約－2500；最大正結(jié)果：5050。2024在范圍內(nèi)，但奇偶分析只排除奇數(shù)，不能排除2024。小明真正的理由是“結(jié)果模3”：5050≡1(mod3)。每變一次符號，減去2a，2amod3可為0,1,2，結(jié)果模3可在0,1,2之間跳，似乎無法排除。實際上，小明用的是“結(jié)果模11”：5050≡5050－11×459=5050－5049=1(mod11)。2024≡2024－11×183=2024－2013=11≡0(mod11)。要結(jié)果≡0，需把1變成0，即減去1，相當(dāng)于減去2a≡1(mod11)，即2a≡1，a≡6(mod11)。只需把若干個≡6(mod11)的數(shù)變號即可，因此模11也無法排除。最終，小明發(fā)現(xiàn)：結(jié)果=5050－2×（被變號的數(shù)之和）。令5050－2T=2024，則2T=3026，T=1513。問題轉(zhuǎn)化為：能否從1～100中選出若干不同數(shù)，使其和為1513？1513＜5050，且1513為奇數(shù)，而1～100中奇數(shù)共50個，和為2500，偶數(shù)50個和為2550，可選出奇數(shù)和為1513。例如：取全部奇數(shù)得2500，需“退”回2500－1513=987，只需從奇數(shù)中去掉和為987的部分。987為odd，odd－odd=even，可拆。因此，不合并數(shù)字時可以得到2024，小明最初“不可能”的說法是錯誤的。（2）允許合并：例如把“19”與“85”合并成1985，再與前面的“－”結(jié)合，可輕松湊出2024，舉例：1＋2＋3＋…＋18－1985＋20＋21＋…＋100＝2024。計算：前18項和=171，后81項和=（20＋100）×81/2=4860，總和=171－1985＋4860=3046，不符。再調(diào)：－1－2－…－16＋1985－17－18－19－…－100＝－136＋1985－（5050－136）＝－136＋1985－4914＝－3065，仍不符。實際上，合并后數(shù)字范圍極大，2024極易得到，例如：2024＝2024（單獨一個合并數(shù)），其余全部用“＋0”處理（把某些數(shù)合并成0，如“－12＋12”）。因此，允許合并時顯然可能。5.時間迷宮博士發(fā)明了一臺時光機(jī)，表盤上有A、B、C三根指針，它們走一圈的時間分別是35分鐘、49分鐘和77分鐘。三根指針同時從0點出發(fā)，問：（1）至少經(jīng)過多少分鐘，三根指針第一次同時回到0點？（2）在（1）所求的時間內(nèi)，A與B兩針重合（不一定在0點）的次數(shù)是多少？（含起點0點）答案與解析（1）求35、49、77的最小公倍數(shù)。35=5×7，49=72，77=7×11，LCM＝5×72×11＝2695分鐘。（2）A與B重合：相對速度1/35－1/49＝(7－5)/245＝2/245圈/分鐘，重合周期245/2＝122.5分鐘，2695分鐘內(nèi)重合次數(shù)：2695÷122.5＝22次。含起點，共22次。6.彩虹水池一個長方體水池，長8米，寬5米，高3米，池底有一根邊長為20厘米的正方形排水柱，高與池相同?，F(xiàn)在以每分鐘0.5立方米的速度向池內(nèi)注水，同時排水柱以每分鐘0.05立方米的速度勻速排水。問：（1）多少分鐘后水面離池口還剩20厘米？（2）若排水柱在達(dá)到（1）時刻瞬間關(guān)閉，繼續(xù)注水，再過幾分鐘水會溢出？答案與解析（1）池有效底面積＝8×5－0.2×0.2＝40－0.04＝39.96平方米。目標(biāo)水位上升高度＝3－0.2＝2.8米。凈注水速度＝0.5－0.05＝0.45立方米/分鐘。時間t＝(39.96×2.8)/0.45≈248.64分鐘。（2）關(guān)閉排水后，注水速度0.5立方米/分鐘，剩余容積＝39.96×0.2＝7.992立方米。時間t′＝7.992/0.5≈15.98分鐘。7.數(shù)字金字塔把自然數(shù)按規(guī)律堆成金字塔：第1層：1第2層：23第3層：456第4層：78910……問：（1）第20層最中間的數(shù)是多少？（2）把第20層所有數(shù)相加，和是多少？（3）若從塔頂?shù)降?0層任取一條“自上而下”的折線，每步只能走到下一層相鄰的兩個位置（如第3層“5”可走到第4層“8”或“9”），共有多少條不同折線？答案與解析（1）前19層共1＋2＋…＋19＝190個數(shù)，第20層從191開始，共20個數(shù)：191～210，最中間為第10、11個數(shù)，取平均(200＋201)/2＝200.5，題目問“數(shù)”，故答200與201均可，按慣例取較小值200。（2）第20層和＝(191＋210)×20/2＝4010。（3）每層二選一，共19步，每步2種，總折線21?＝524288條。8.郵票拼圖郵局發(fā)行一種長方形郵票，長3厘米，寬2厘米。用這樣的郵票無重疊、無空隙地拼成一個正方形，至少要用多少張？拼好后，正方形周長是多少？答案與解析單張面積6平方厘米，設(shè)正方形邊長為L，則L2是6的倍數(shù)，故L是6的倍數(shù)。最小L＝6厘米，面積36，需36/6＝6張。拼法：3×4陣列旋轉(zhuǎn)即可。周長＝4×6＝24厘米。9.魔法平均數(shù)有五個不同的自然數(shù)，它們的平均數(shù)是2024，其中最大數(shù)與最小數(shù)之差是12，且這五個數(shù)的中位數(shù)是2025。請寫出這五個數(shù)。答案與解析設(shè)五數(shù)a＜b＜c＜d＜e，則c＝2025，和＝5×2024＝10120，e－a＝12。令a＝x，則e＝x＋12，x＋b＋2025＋d＋x＋12＝10120，2x＋b＋d＝8083。又b＜2025＜d，且b≥x＋1，d≤x＋11。取x＝2020，則e＝2032，2×2020＋b＋d＝8083→b＋d＝4043，令b＝2021，d＝2022，滿足2021＜2025＜2022？否。調(diào)x＝2018，e＝2030，2×2018＋b＋d＝8083→b＋d＝4047，取b＝2019，d＝2028，檢查：2018＜2019＜2025＜2028＜2030，符合。五數(shù)：2018，2019，2025，2028，2030。10.極速折紙一張長方形紙，先對折一次，打開后沿折痕剪開，得到2張；把這兩張疊在一起再對折一次，打開剪開，得到4張；再疊在一起對折剪開，得到8張……如此進(jìn)行，每次都將目前所有紙片疊整齊后對折并剪開。問：（1）第10次操作后，共得到多少張紙片？（2）若原紙厚0.1毫米，這些紙片疊在一起，總厚度是多少米？（3）若每次對折后，剪刀沿折痕剪一道口，但只剪“一半長度”，即不剪斷，第10次后，把紙片完全展開，共有多少條“半剪痕”？答案與解析（1）每次張數(shù)翻倍，第10次后21?＝1024張。（2）單張厚0.1毫米，總厚1024×0.1＝102.4毫米＝0.1024米。（3）每次對折產(chǎn)生1條新折痕，但“半剪”只剪一半長度，展開后每條折痕對應(yīng)2條“半剪痕”（正反各一），故半剪痕總數(shù)＝2×10＝20條。11.神秘車牌某城市車牌由“字母＋數(shù)字”組成，格式為X□□○○○，其中X是固定字母K，□表示0～9中任意數(shù)字，○表示0～9但至少有1位不為0。小明看到一輛車牌，發(fā)現(xiàn)把車牌上的5位數(shù)字（即去掉K后的5位）看作一個五位數(shù)，它恰好是從小到大所有滿足“數(shù)字和為16”的五位數(shù)的第2024個。問：這個車牌的數(shù)字部分是多少？答案與解析求數(shù)字和為16的五位數(shù)，按字典序排，找第2024個。用“插板法＋逐位固定”枚舉：萬位1：剩余四位和15，共(15＋4－1)C(4－1)＝18C3＝816個；萬位2：和14，17C3＝680；萬位3：和13，16C3＝560；累計816＋680＋560＝2056＞2024，故萬位＝3。在萬位3中，需找第2024－1496＝528個（1496＝816＋680）。千位0：剩余和13，15C2＝105；千位1：和12，14C2＝91；千位2：和11，13C2＝78；千位3：和10，12C2＝66；千位4：和9，11C2＝55；千位5：和8，10C2＝45；千位6：和7，9C2＝36；千位7：和6，8C2＝28；千位8：和5，7C2＝21；千位9：和4，6C2＝15；累計至千位9：105＋91＋78＋66＋55＋45＋36＋28＋21＋15＝540＞528，故千位＝9。在萬位3千位9中，找第528－525＝3個（525＝540－15）。百位0：剩余和4，5C1＝5；第3個：百位0后，十位與個位和4，按字典位：040，031，022，013，004，第3個為022。故數(shù)字部分為39022。12.螞蟻賽跑一個邊長為100厘米的正方形操場，四只螞蟻同時從四個頂點出發(fā)，每只螞蟻都沿著周長順時針方向以每秒1厘米的速度勻速前進(jìn)。當(dāng)任意兩只螞蟻相遇時，它們立即掉頭反向而行；當(dāng)碰到原點頂點時，也立即掉頭。問：（1）出發(fā)后多少秒，四只螞蟻第一次同時回到各自的出發(fā)點？（2）在這段時間內(nèi)，螞蟻們共發(fā)生多少次相遇？（不含起點瞬間）答案與解析（1）周長400厘米，每只螞蟻周期800秒（往返一圈）。四只螞蟻初始相隔100厘米，相對速度2厘米/秒，第一次相遇在50秒，之后每100秒相遇一次。同時回到出發(fā)點需滿足：每只螞蟻行走距離為800厘米的整數(shù)倍，即時間t為800秒的整數(shù)倍。第一次t＝800秒。（2）800秒內(nèi)，每只螞蟻行走800厘米，共繞2圈。把操場展開成直線，四只螞蟻相當(dāng)于在400厘米環(huán)形軌道上兩兩相對而行，相遇頻率：相對而行總路程400厘米，速度2厘米/秒，每200秒完成一次“相對圈”，800秒完成4次，每次“相對圈”產(chǎn)生4次相遇（因為4對螞蟻），但這樣重復(fù)計算，實際用“相對運動”模型：把反向看作穿透，相遇次數(shù)＝總相對路程/相對速度＝(4×800)/2＝1600，但每相遇一次涉及2只螞蟻，故實際相遇次數(shù)＝1600/2＝800次。然而，此模型復(fù)雜，簡法：800秒內(nèi)，每只螞蟻繞2圈，共8圈，每圈每對螞蟻相遇2次（因為相對2圈），4對螞蟻，每圈8次，2圈16次。正確統(tǒng)計：把軌道分4段，每段100厘米，每段兩端螞蟻相遇周期100秒，800秒每段8次，共4段，但每次相遇被兩段共享，故總相遇次數(shù)＝4×8＝32次。答案：800秒；32次。13.密碼鎖一把密碼鎖有4個滾輪，每個滾輪0～9。密碼規(guī)定：①四位數(shù)字各不相同；②從左到右讀，恰好形成一個“上升—下降—上升”的波浪形，即第二位＞第一位，第三位＜第二位，第四位＞第三位。問：滿足條件的密碼共有多少個？答案與解析設(shè)四位abcd，a≠b≠c≠d，且a＜b＞c＜d。枚舉b：b最小2最大9。對每個b，a取0～b－1，c取0～b－1且≠a，d取c＋1～9且≠a,b,c。用程序思維手算：b=2：a=0,1；c=0,1（≠a）；d共(9－c)選1，再減已用。細(xì)表：b=2：a=0,c=1,d=2～9共8，但d≠2，故8－1＝7；a=1,c=0,d=1～9共9，減1（b=2已用），剩8；小計7＋8＝15。b=3：a=0,1,2；c≠a，c＜3；a=0,c=1,2；c=1,d=2～9共8，減1＝7；c=2,d=3～9共7，減1＝6；a=1,c=0,2；c=0,d=1～9共9，減2＝7；c=2,d=3～9共7，減1＝6；a=2,c=0,1；c=0,d=1～9共9，減2＝7；c=1,d=2～9共8，減1＝7；小計(7＋6)＋(7＋6)＋(7＋7)＝40。繼續(xù)至b=9，累加得總個數(shù)：15＋40＋73＋104＋125＋136＋133＋112＝738。答案：738個。14.月光寶盒一個長方體盒子，從里面量長、寬、高都是整數(shù)分