第一章三角形的證明及其應(yīng)用4線段的垂直平分線第2課時(shí)用尺規(guī)作等腰三角形和已知直線的垂線素養(yǎng)目標(biāo)1.理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)，能夠運(yùn)用其解決實(shí)際問題．2.能夠利用尺規(guī)過直線外一點(diǎn)作直線的垂線．教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：利用三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)解決問題．難點(diǎn)：尺規(guī)作圖的規(guī)范與合理性．導(dǎo)入新課我們班要設(shè)計(jì)一期“對稱之美”的文化墻,需要在墻面上布置一個(gè)等腰三角形的主題圖案.現(xiàn)在只有一根繩子和一支粉筆,你能在墻面上確定一個(gè)等腰三角形的位置嗎?如果還需要在三角形頂點(diǎn)處懸掛裝飾品,那么如何確保裝飾品垂直于墻面呢?新知探究任務(wù)一:探索三角形的不唯一性問題:已知三角形的一條邊及這條邊上的高,你能畫出滿足條件的三角形嗎?已知:如圖,三角形的一條邊a和這條邊上的高h(yuǎn).求作:△ABC,使BC=a,BC邊上的高為h.你能作出三角形嗎?如果能,能作出幾個(gè)?新知探究已知:如圖,三角形的一條邊a和這條邊上的高h(yuǎn).求作:△ABC,使BC=a,BC邊上的高為h.新知探究任務(wù)二:使用尺規(guī)作等腰三角形問題:已知等腰三角形的底邊及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出滿足條件的等腰三角形嗎?能作幾個(gè)?已知:如圖,線段a,h.求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h.作法圖形已知線段a，h，用尺規(guī)作△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.△ABC就是所要作的等腰三角形．原理:∵點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上,∴AB=AC.ahalABChD1．作線段BC，使BC＝a．2．作線段BC的垂直平分線l，交BC于點(diǎn)D．3．在l上作線段DA，使DA＝h．4．連接AB，AC．新知探究任務(wù)三:用尺規(guī)作已知直線的垂線問題:還記得用尺規(guī)過直線l上一點(diǎn)P作l的垂線的方法嗎?這種方法將作直線的垂線問題轉(zhuǎn)化為作線段的垂直平分線問題.如果點(diǎn)P在直線l外呢?此時(shí),還能運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化的方法嗎?新知探究活動(dòng):如圖,已知直線l和l外一點(diǎn)P,用尺規(guī)作l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P.要作一條直線與l垂直且過點(diǎn)P,關(guān)鍵是找到垂足的位置.我們能否利用已學(xué)的線段垂直平分線的知識來解決?作法圖形已知直線l和l外一點(diǎn)P，用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P.ABmlPQ??1.任取一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與點(diǎn)P在直線l兩旁.2.以點(diǎn)P為圓心，以PQ的長為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)A和點(diǎn)B.3.作線段AB的垂直平分線m.直線m就是所要作的直線.為什么直線m經(jīng)過點(diǎn)P?因?yàn)辄c(diǎn)P到直線上點(diǎn)A，B的距離相等，所以點(diǎn)P一定在線段AB的垂直平分線m上.

上述步驟正確的順序是

.（填序號）①③②④

跟蹤練習(xí)2.

如圖，已知線段a，直線l及l(fā)外一點(diǎn)A.

求作：等腰三角形ABC，使底邊BC在直線l上，且BC＝a.

（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）解：如圖，△ABC即為所求.例2已知：如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P，垂足分別為D，E.求證：邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.BACPED要證明AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P,實(shí)質(zhì)是證明什么?要證明點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上,需要什么條件?已知的兩條垂直平分線相交于點(diǎn)P,由此你能得到哪些相關(guān)的結(jié)論?任務(wù)四:講解例題證明：如圖，連接PA，PB，PC.∵點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上，∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上)，即邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.BACPED歸納總結(jié)符號語言：∵直線MN，EF，PQ分別垂直平分線段BC，AB，AC，∴直線MN，EF，PQ相交于點(diǎn)O，且OA=OB=OC.三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.這個(gè)點(diǎn)叫作三角形的外心.

三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)位置如下：銳角三角形三角形內(nèi)部直角三角形斜邊中點(diǎn)鈍角三角形三角形外部銳角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的外部．上述結(jié)論可作為判定三角形類型的依據(jù)．1.

如圖，兔子的三個(gè)洞口A，B，C構(gòu)成△ABC，獵狗想捕捉

兔子，必須到三個(gè)洞口的距離都相等，則獵狗應(yīng)蹲守在△ABC

（

C

）CA.

三條邊的中線的交點(diǎn)B.

三條邊的高的交點(diǎn)C.

三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)D.

三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)跟蹤練習(xí)2.

（教材P36例2變式）如圖，已知在△ABC中，邊AB，BC的

垂直平分線交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論一定成立的有（

B

）①PA＝PB＝PC；②點(diǎn)P在AC的垂直平分線上；③∠BAP＝∠CAP.

BA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

CA.84

B.63

C.42

D.21課堂練習(xí)

2.

在由小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，且頂

點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上.在△ABC的內(nèi)部有E，F(xiàn)，

G，H四個(gè)格點(diǎn)，其中到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是

（

B

）A.

點(diǎn)EB.

點(diǎn)FC.

點(diǎn)GD.

點(diǎn)HB3.

（教材P36例2變式）如圖，已知在△ABC中，邊AB，BC的

垂直平分線交于點(diǎn)P，則下列結(jié)論一定成立的有（

B

）①PA＝PB＝PC；②點(diǎn)P在AC的垂直平分線上；③∠BAP＝∠CAP.

BA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)4.

如圖，在△ABC中，DE，DF分別垂直平分邊AC，BC，

連接AD，BD，CD.

若∠ACB＝40°，則∠BAD的度數(shù)

為

?°.50

6

6.

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D

在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于

點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE.

（1）判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說明理由；解：（1）DE⊥DP.

理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA.

∵EF是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB.

∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠PDA＋∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°－90°＝90°，∴DE⊥DP.

（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長.6.

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D

在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于

點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE.

解：（2）如圖，連接PE.

設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8－x.∵AC＝6，PA＝2，∴PC＝6－2＝4，PD＝PA＝2.∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2＋CE2＝PE2＝PD2＋DE2，∴42＋（8－x）2