第一章三角形的證明及其應(yīng)用2等腰三角形第1課時(shí)

等腰三角形的性質(zhì)素養(yǎng)目標(biāo)1.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)．2.運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算．3.掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能夠利用性質(zhì)解題．4.經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、論證的過(guò)程，體會(huì)等腰三角形性質(zhì)的幾何證明的邏輯嚴(yán)密性與科學(xué)性．重點(diǎn)：1.探索并證明等腰三角形的性質(zhì)．2.運(yùn)用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明和計(jì)算．難點(diǎn)：等腰三角形性質(zhì)的證明．導(dǎo)入新課什么是等腰三角形?它有哪些特征?有兩邊相等的三角形是等腰三角形,它有兩條邊相等的特征.導(dǎo)入新課除了兩邊相等,等腰三角形還有哪些性質(zhì)?比如,按照如圖所示的折紙活動(dòng),你發(fā)現(xiàn)它的兩個(gè)底角有什么關(guān)系?底邊上的中線、高線、頂角的平分線之間又有什么關(guān)系?請(qǐng)同學(xué)們猜想一下.它的兩個(gè)底角相等;三條線好像重合.這些都只是我們的猜想,我們的猜想對(duì)不對(duì)呢?如何用最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯來(lái)驗(yàn)證這些猜想?這就是今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.新知探究環(huán)節(jié)一:證明等腰三角形的性質(zhì)——等邊對(duì)等角問(wèn)題:你能證明“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”這個(gè)猜想嗎?已知:如圖,在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C.要證明兩個(gè)角相等,我們學(xué)過(guò)哪些結(jié)論?全等三角形、平行線等,目前沒(méi)有平行線,所以構(gòu)造全等三角形是首選.新知探究已知:如圖,在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C.如何構(gòu)造全等三角形?回想折紙的過(guò)程,那條折痕給了我們什么啟示?折痕將等腰三角形分成了兩部分.作法一:作底邊BC的中線AD.作法二:作頂角∠A的平分線AD.作法三:作底邊BC上的高AD.新知探究已知:如圖,在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C.證明:如圖,取BC的中點(diǎn)D,連接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).用另外兩種作輔助線的方法能否證明?為什么?新知探究定理:等腰三角形的兩底角相等.這一定理可以簡(jiǎn)述為“等邊對(duì)等角”.符號(hào)語(yǔ)言:在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).新知探究環(huán)節(jié)二:探究等腰三角形的性質(zhì)——三線合一在上面的證明中,得出△ABD≌△ACD,除了∠B=∠C,還能得到哪些結(jié)論?BD=CD,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.由此,你發(fā)現(xiàn)了什么?等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.定理:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合.新知探究若已知AD是△ABC的頂角平分線,你能否用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)推出AD是底邊上的高和中線的過(guò)程嗎?若已知底邊上的高或中線呢?①∵AB=AC,∠BAD=∠CAD(已知頂角平分線),AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SAS).∴AD⊥BC,BD=CD(即高、中線).新知探究若已知AD是△ABC的頂角平分線,你能否用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)推出AD是底邊上的高和中線的過(guò)程嗎?若已知底邊上的高或中線呢?②∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD⊥BC(已知高),∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴BD=CD,∠BAD=∠CAD(即中線、頂角平分線).新知探究若已知AD是△ABC的頂角平分線,你能否用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)推出AD是底邊上的高和中線的過(guò)程嗎?若已知底邊上的高或中線呢?③∵AB=AC,BD=CD(已知中線),AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD(即高、頂角平分線).等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”).注意：“三線合一”即如果某線段是一個(gè)等腰三角形的“三線”之一，那么它必定也是這個(gè)等腰三角形的另“兩線”.ABCD符號(hào)語(yǔ)言：在△ABC中，∵AB=AC，∠1=∠2(已知)，∴BD=CD，AD⊥BC(“三線合一”).或∵AB=AC，

BD=CD(已知)，∴∠1=∠2，AD⊥BC(“三線合一”).或∵AB=AC，

AD⊥BC(已知)，∴BD=CD，∠1=∠2(“三線合一”).12ABCD

已知等腰三角形的頂角的度數(shù)是30°，則它的底角的度數(shù)是

（

D

）A.60°B.65°C.70°D.75°[變式]（2024·湖南）若等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為40°，

則它的頂角的度數(shù)為

?.D100°

跟蹤練習(xí)有關(guān)等腰三角形性質(zhì)的一些結(jié)論(1)等腰三角形兩腰上的中線相等，兩腰上的高相等，兩底角的平分線也相等.

(2)等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.(3)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角的度數(shù)等于頂角度數(shù)的一半.

新知探究環(huán)節(jié)三:探究等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形是特殊的等腰三角形,那么它除了具備等腰三角形的所有性質(zhì)外,還有哪些特殊的性質(zhì)呢?三個(gè)角都相等.如何證明這個(gè)猜想呢?能得出每個(gè)角等于多少度嗎?利用“等邊對(duì)等角”進(jìn)行證明、推理:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AB=BC,

∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得出每一個(gè)角等于60°.定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.新知探究等邊三角形每條邊上的中線，高和所對(duì)角的平分線都重合.BCA等腰三角形等邊三角形邊角三線合一對(duì)稱性每條邊上的中線、高和這邊所對(duì)的角的平分線都重合(3條)三個(gè)角都相等，且都是60°軸對(duì)稱圖形(3條對(duì)稱軸)軸對(duì)稱圖形(1條對(duì)稱軸)兩個(gè)底角相等底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合(1條)兩腰相等三條邊都相等等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)歸納

如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，

∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（

C

）A.100°B.90°C.80°D.60°C跟蹤練習(xí)

如圖，在等邊三角形ABC中，AD，BE是△ABC的兩條中

線，則∠AOB的度數(shù)為

?.120°

D

課堂練習(xí)

B

C

D

5.

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

E為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AE＝DC，連接AD，BE.

求證：

BE＝AD.

證明：∵在等邊三角形ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°.在△EAB和△DCA中，∵AE＝CD，∠EAB＝∠DCA，AB＝CA，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD.

課堂總結(jié)1.我們是怎樣研究等腰三角形的性質(zhì)的