北師版-數(shù)學(xué)-八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明及其應(yīng)用2等腰三角形第2課時(shí)等腰三角形的判定與反證法復(fù)習(xí)導(dǎo)入(1)等腰三角形的兩底角________．(2)等腰三角形_____________、____________及_____________重合．(3)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都_______，并且每個(gè)內(nèi)角都是_______．相等頂角的平分線底邊上的中線底邊上的高相等60°【探究1】等腰三角形的判定探究新知前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩底角相等.反過來有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?ABC可以發(fā)現(xiàn)：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.ABC如圖，在△ABC中，∠B=∠C，要想證明AB=AC，只要能構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB與AC成為對(duì)應(yīng)邊就可以了.如何證明這一結(jié)論呢?如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則∠ADB=∠ADC=90°.ABCD在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對(duì)等邊”).BCA符號(hào)語言：在△ABC中，∵∠B=∠C

，∴AB=AC.注意：（1）“等角對(duì)等邊”的運(yùn)用前提是在同一個(gè)三角形中.（2）在未判定出三角形是等腰三角形時(shí)，不能用“底角”“頂角”“腰”“底邊”這些名詞.等腰三角形判定方法歸納：判定方法邊角兩條邊相等的三角形是等腰三角形兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形例1已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD與CA相交于點(diǎn)E.求證：△AED是等腰三角形.證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴AE=DE(等角對(duì)等邊).∴△AED是等腰三角形.解題通法“等角對(duì)等邊”是證明兩條線段相等的常用方法.在證明時(shí)，往往通過計(jì)算三角形各角的度數(shù)、利用角的關(guān)系或全等三角形得到同一個(gè)三角形中的兩個(gè)角相等，進(jìn)而得到邊相等.【探究2】反證法在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為小明這個(gè)結(jié)論成立嗎?小明的思考過程如下.你能理解他的推理過程嗎?BCA如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等.假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)定理“等邊對(duì)等角”可得∠C=∠B，這與已知條件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.像小明那樣，在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法.注意：用反證法證明時(shí)，如果結(jié)論的反面不止一種情況，那么必須把各種可能的情況一一加以否定，才能肯定原結(jié)論是正確的;例2用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個(gè)角是直角.證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.注意：用反證法證明時(shí)，否定的是命題的結(jié)論，而不是條件.解題通法

用反證法證明的一般步驟(1)先假設(shè)結(jié)論的反面是正確的；(2)然后通過邏輯推理，得出與基本事實(shí)、已有定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)果；(3)從而說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出原結(jié)論正確.【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)P在x軸上．若以P，O，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P共有

()A．2個(gè)

B．3個(gè)C．4個(gè)

D．5個(gè)應(yīng)用舉例C【例2】用反證法證明某一命題的結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)

()A．a(chǎn)<bB．a(chǎn)≥bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)≤b【例3】在△ABC中，∠A＝100°.若∠B＝______，則△ABC是等腰三角形．D40°【例4】如圖，AB＝DC，BD＝CA.求證：△AED是等腰三角形．

∴△ABD≌△DCA(SSS)，∴∠ADB＝∠DAC，∴AE＝DE，∴△AED是等腰三角形．【方法指導(dǎo)】要證明△AED是等腰三角形，可以通過△ABD≌△DCA得到∠DAE＝∠ADE.【例5】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，求證：△AEF是等腰三角形．【方法指導(dǎo)】根據(jù)角平分線和余角的性質(zhì)，可得相等的角，再根據(jù)等角對(duì)等邊得到等腰三角形．證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，∴∠1＝∠C.又∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.又∵∠AFE＝∠1＋∠2，∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形．【例6】用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是鈍角．已知：△ABC.求證：∠A，∠B，∠C不能有兩個(gè)角是鈍角．【方法指導(dǎo)】利用“反證法”的一般步驟：(1)假設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論來證明．證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角都是鈍角，不妨設(shè)∠A和∠B是鈍角，即∠A＞90°，∠B＞90°，于是∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾．因此“∠A和∠B是鈍角”的假設(shè)不成立，所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是鈍角．歸納總結(jié)在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡述為“等角對(duì)等邊”等腰三角形的判定反證法判定定理有兩條邊相等的三角形是等腰三角形定義法引入隨堂練習(xí)1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，則AC的長為

()A．2 B．3C．4 D．5B2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B為圓心，BC的長為半徑畫圓弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠ABD的度數(shù)為()A．30°B．45°C．60°D．90°B3．用反證法證明結(jié)論“a，b，c至少有一個(gè)是正數(shù)”，應(yīng)先假設(shè)

()A．a(chǎn)，b，c都是正數(shù)

B．a(chǎn)，b，c都不是正數(shù)C．a(chǎn)，b，c至多有一個(gè)正數(shù)

D．a(chǎn)，b，c至多有兩個(gè)正數(shù)B4.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線，交AB于點(diǎn)E，請(qǐng)判斷△BDE的形狀，并說明理由.解：△BDE是等腰三角形.理由如下：∵BD平分∠ABC，∴∠EB