五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)突破講義親愛(ài)的同學(xué)們，歡迎來(lái)到五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)旅程。這個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)知識(shí)，在以往的基礎(chǔ)上又有了新的拓展和深化，既有精巧的計(jì)算技巧，也有奇妙的圖形世界，更有實(shí)用的方程思想。這份講義將陪伴大家梳理重點(diǎn)，攻克難點(diǎn)，希望能幫助大家更輕松、更深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感受數(shù)學(xué)的魅力，提升解決問(wèn)題的能力。一、小數(shù)乘法——精打細(xì)算的奧秘小數(shù)乘法是整數(shù)乘法的延伸，在日常生活中應(yīng)用廣泛，比如購(gòu)物計(jì)算總價(jià)、計(jì)算面積等。重點(diǎn)掃描1.小數(shù)乘法的計(jì)算法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算方法算出積，再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。如果積的小數(shù)位數(shù)不夠，要在前面用0補(bǔ)足，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。2.積的近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，用“四舍五入”法保留一定的小數(shù)位數(shù)。3.運(yùn)算定律的推廣：整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對(duì)于小數(shù)乘法同樣適用，能使計(jì)算簡(jiǎn)便。難點(diǎn)剖析1.理解小數(shù)乘法的算理：為什么可以先按整數(shù)乘法算，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)？這需要同學(xué)們理解小數(shù)的意義，以及“一個(gè)數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀?，積也相應(yīng)擴(kuò)大（或縮小）相同倍數(shù)”的道理。2.確定積的小數(shù)點(diǎn)位置：當(dāng)因數(shù)的小數(shù)位數(shù)較多，或者積的位數(shù)不夠時(shí)，容易出錯(cuò)。3.積與因數(shù)的大小關(guān)系：一個(gè)數(shù)（0除外）乘大于1的數(shù)，積比原來(lái)的數(shù)大；乘小于1的數(shù)，積比原來(lái)的數(shù)小。理解這一點(diǎn)，有助于我們快速判斷計(jì)算結(jié)果的合理性。突破策略1.夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握整數(shù)乘法的計(jì)算是學(xué)好小數(shù)乘法的前提。2.明算理，懂轉(zhuǎn)化：在學(xué)習(xí)初期，可以通過(guò)將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)（如0.5就是1/2）來(lái)理解乘法的意義，進(jìn)而理解小數(shù)乘法的計(jì)算過(guò)程。例如，0.2×0.3，就是求2/10的3/10是多少，結(jié)果是6/100，即0.06。3.勤加練習(xí)，注重對(duì)比：多做不同類(lèi)型的練習(xí)，特別是對(duì)比因數(shù)與積的大小，培養(yǎng)數(shù)感。計(jì)算時(shí)，務(wù)必仔細(xì)數(shù)清因數(shù)的小數(shù)位數(shù)，確保小數(shù)點(diǎn)位置正確。4.巧用運(yùn)算定律：觀(guān)察算式特點(diǎn)，靈活運(yùn)用乘法交換律、結(jié)合律和分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，提高計(jì)算效率和準(zhǔn)確性。例如，計(jì)算0.25×4.78×4，可以利用乘法交換律先算0.25×4=1，再算1×4.78=4.78。二、小數(shù)除法——平均分的進(jìn)階小數(shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，但計(jì)算過(guò)程更為復(fù)雜，尤其是涉及到除數(shù)是小數(shù)的情況。重點(diǎn)掃描1.小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法：按整數(shù)除法的方法去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添0再繼續(xù)除。2.一個(gè)數(shù)除以小數(shù)的計(jì)算方法：關(guān)鍵是將除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)。先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)；除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的，在被除數(shù)的末尾用0補(bǔ)足）；然后按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算。3.商的近似數(shù)：根據(jù)需要，用“四舍五入”法保留一定的小數(shù)位數(shù)。4.循環(huán)小數(shù)：認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)、有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)，會(huì)用簡(jiǎn)便方法表示循環(huán)小數(shù)。難點(diǎn)剖析1.理解除數(shù)是小數(shù)的除法算理：為什么要移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)？移動(dòng)的依據(jù)是什么？（商不變的性質(zhì)）2.正確處理小數(shù)點(diǎn)的位置：無(wú)論是小數(shù)除以整數(shù)還是一個(gè)數(shù)除以小數(shù)，商的小數(shù)點(diǎn)定位都是易錯(cuò)點(diǎn)。3.試商的技巧：尤其是當(dāng)除數(shù)是小數(shù)且轉(zhuǎn)化后位數(shù)較多時(shí)，試商難度增加。4.解決實(shí)際問(wèn)題中的“進(jìn)一法”和“去尾法”：在解決諸如“需要幾個(gè)瓶子裝”、“能做幾套衣服”等問(wèn)題時(shí)，不能簡(jiǎn)單地用“四舍五入”，而要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的方法。突破策略1.深刻理解“商不變的性質(zhì)”：這是將除數(shù)是小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)的理論基礎(chǔ)?？梢酝ㄟ^(guò)具體的例子來(lái)驗(yàn)證，比如6.4÷0.8，為什么可以轉(zhuǎn)化成64÷8？2.規(guī)范書(shū)寫(xiě)步驟：在計(jì)算過(guò)程中，清晰地標(biāo)出小數(shù)點(diǎn)的位置，養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，減少因書(shū)寫(xiě)潦草導(dǎo)致的錯(cuò)誤。3.加強(qiáng)口算練習(xí)：提高一位數(shù)除多位數(shù)、兩位數(shù)乘一位數(shù)等基本口算能力，為試商打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。4.區(qū)分不同取近似值的方法：通過(guò)對(duì)比不同的實(shí)際問(wèn)題情境，理解“四舍五入法”、“進(jìn)一法”和“去尾法”的適用場(chǎng)景，并能正確運(yùn)用。例如，用布料做衣服，無(wú)論剩多少布料不夠做一套，都要舍去，用“去尾法”；用容器裝東西，無(wú)論剩多少，都需要再用一個(gè)容器，用“進(jìn)一法”。5.認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)的意義：通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因，掌握循環(huán)節(jié)的表示方法。三、簡(jiǎn)易方程——數(shù)學(xué)的“天平”方程是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它能幫助我們更方便地解決一些復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。重點(diǎn)掃描1.用字母表示數(shù)：理解用字母表示數(shù)的意義和作用，掌握用字母表示數(shù)的書(shū)寫(xiě)規(guī)范（如數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字在前，字母在后，乘號(hào)可省略或用“·”表示；字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)也可省略等）。2.方程的意義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。3.等式的性質(zhì)：*等式兩邊加上或減去同一個(gè)數(shù)，左右兩邊仍然相等。*等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，左右兩邊仍然相等。4.解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。利用等式的性質(zhì)是解方程的主要方法。5.列方程解決實(shí)際問(wèn)題：找出題目中的等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列出方程并求解。難點(diǎn)剖析1.從具體到抽象的過(guò)渡：用字母表示數(shù)，對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)是第一次接觸代數(shù)思想，比較抽象，難以理解。2.理解“方程的解”和“解方程”的區(qū)別：“方程的解”是一個(gè)數(shù)值，而“解方程”是一個(gè)過(guò)程。3.運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程：尤其是當(dāng)方程兩邊需要同時(shí)乘除一個(gè)數(shù)，或者未知數(shù)在減數(shù)、除數(shù)位置時(shí)，容易出錯(cuò)。4.找等量關(guān)系列方程：這是列方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。突破策略1.在具體情境中理解用字母表示數(shù)：從簡(jiǎn)單的例子入手，如爸爸比小明大28歲，用字母a表示小明的年齡，那么爸爸的年齡就是a+28。讓學(xué)生體會(huì)到用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)潔性和一般性。2.借助天平模型理解等式的性質(zhì)：通過(guò)觀(guān)察天平兩邊物體質(zhì)量的變化與天平平衡的關(guān)系，直觀(guān)感受等式的性質(zhì)，為解方程打下基礎(chǔ)。3.規(guī)范解方程的步驟和書(shū)寫(xiě)：強(qiáng)調(diào)解方程時(shí)要寫(xiě)“解”字，等號(hào)要對(duì)齊，每一步變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)。例如，解方程x+3=9，解：x+3-3=9-3，x=6。4.掌握找等量關(guān)系的方法：*從關(guān)鍵句入手，如“……比……多……”、“……比……少……”、“……是……的幾倍”、“……相當(dāng)于……”等。*利用常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，如速度×?xí)r間=路程，單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，工作效率×工作時(shí)間=工作總量等。*利用幾何圖形的周長(zhǎng)、面積公式等。5.加強(qiáng)檢驗(yàn)習(xí)慣：解方程后，要養(yǎng)成將求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)的習(xí)慣，確保解的正確性。四、多邊形的面積——平面圖形的度量這部分內(nèi)容主要學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算，以及組合圖形的面積計(jì)算。重點(diǎn)掃描1.平行四邊形的面積：通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出面積公式：平行四邊形的面積=底×高(S=a×h)。2.三角形的面積：通過(guò)兩個(gè)完全一樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，推導(dǎo)出面積公式：三角形的面積=底×高÷2(S=a×h÷2)。3.梯形的面積：通過(guò)兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，推導(dǎo)出面積公式：梯形的面積=(上底+下底)×高÷2(S=(a+b)×h÷2)。4.組合圖形的面積：將組合圖形分解成已學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單圖形，分別求出面積再相加或相減。難點(diǎn)剖析1.理解各種圖形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程：特別是轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，如何將新圖形轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的舊圖形。2.正確選擇底和對(duì)應(yīng)的高：每種圖形的面積計(jì)算都依賴(lài)于“底”和“高”這兩個(gè)關(guān)鍵要素，且底和高必須是相對(duì)應(yīng)的。3.三角形和梯形面積公式中“除以2”的理解：為什么要除以2？4.組合圖形的分解與組合：如何巧妙地將組合圖形分解成基本圖形，是計(jì)算其面積的關(guān)鍵。突破策略1.動(dòng)手操作，親歷推導(dǎo)過(guò)程：利用學(xué)具（如平行四邊形、三角形、梯形紙片）進(jìn)行剪、拼、擺等活動(dòng)，親身體驗(yàn)圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程，深刻理解公式的由來(lái)。例如，通過(guò)剪拼，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)它們的面積相等，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是平行四邊形的底，長(zhǎng)方形的寬就是平行四邊形的高，從而得出平行四邊形的面積公式。2.明確“底”與“高”的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在圖形中標(biāo)出底和對(duì)應(yīng)的高，強(qiáng)調(diào)計(jì)算面積時(shí)，底和高必須是相互垂直的?？梢酝ㄟ^(guò)畫(huà)圖、指認(rèn)等方式加強(qiáng)理解。3.對(duì)比記憶公式：將平行四邊形、三角形、梯形的面積公式放在一起對(duì)比，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，幫助記憶。例如，三角形和梯形的面積都是在平行四邊形面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，所以都有“除以2”或“上底加下底”這樣的特殊部分。4.掌握組合圖形面積計(jì)算的基本方法：*“分割法”：將組合圖形分割成幾個(gè)基本圖形，分別計(jì)算面積后相加。*“添補(bǔ)法”：將組合圖形補(bǔ)成一個(gè)大的基本圖形，用大圖形面積減去添補(bǔ)部分的面積。*“平移、旋轉(zhuǎn)法”：通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)，將不規(guī)則部分轉(zhuǎn)化為規(guī)則部分。在解題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生多想幾種方法，并比較哪種方法更簡(jiǎn)便。5.聯(lián)系生活實(shí)際：解決一些與生活密切相關(guān)的面積問(wèn)題，如計(jì)算菜地面積、粉刷墻壁面積等，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性。五、多邊形的面積——組合圖形及解決問(wèn)題（可并入上一部分“多邊形的面積”作為其下的一個(gè)重點(diǎn)，或根據(jù)教材版本調(diào)整。此處為突出組合圖形的重要性，稍作強(qiáng)調(diào)。）重點(diǎn)掃描*熟練運(yùn)用基本圖形面積公式計(jì)算組合圖形面積。*運(yùn)用面積知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)剖析*合理分割或添補(bǔ)組合圖形，確保分割后的圖形易于計(jì)算。*計(jì)算過(guò)程中單位的統(tǒng)一和換算。*解決稍復(fù)雜的與面積相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如“鋪地磚”、“求陰影部分面積”等。突破策略*多看多練，積累經(jīng)驗(yàn)：通過(guò)大量不同類(lèi)型的組合圖形練習(xí)，總結(jié)常見(jiàn)的分割方法。*注意細(xì)節(jié)：看清題目給出的單位是否統(tǒng)一，計(jì)算結(jié)果是否需要換算單位。*畫(huà)圖輔助：在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，畫(huà)出示意圖，標(biāo)注已知條件和所求問(wèn)題，幫助理清思路。六、可能性與數(shù)學(xué)廣角這部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，難度不大，但趣味性強(qiáng)，能培養(yǎng)同學(xué)們的邏輯思維和解決問(wèn)題的能力。重點(diǎn)掃描1.可能性：體驗(yàn)事件發(fā)生的確定性和不確定性，能描述事件發(fā)生的可能性大小。2.數(shù)學(xué)廣角——植樹(shù)問(wèn)題：理解“間隔”的含義，掌握不同情況下（兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽）植樹(shù)棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，并能解決類(lèi)似的實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn)剖析1.準(zhǔn)確判斷事件發(fā)生的可能性大小：并能用恰當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)（如“一定”、“可能”、“不可能”、“可能性大”、“可能性小”）來(lái)描述。2.“植樹(shù)問(wèn)題”中棵數(shù)與間隔數(shù)關(guān)系的理解和應(yīng)用：容易混淆不同情況下的數(shù)量關(guān)系。突破策略1.通過(guò)游戲和實(shí)驗(yàn)感受可能性：如摸球、拋硬幣等活動(dòng)，在實(shí)踐中體會(huì)可能性的大小。2.畫(huà)線(xiàn)段圖理解“植樹(shù)問(wèn)題”：線(xiàn)段圖是解決“植樹(shù)問(wèn)題”最直觀(guān)有效的方法。通過(guò)畫(huà)圖，清晰看出棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系：*兩端都栽：棵數(shù)=間隔數(shù)+1*只栽一端：棵數(shù)=間隔數(shù)*兩端都不栽：棵數(shù)=間隔數(shù)-1并能將這種模型遷移到類(lèi)似的問(wèn)題，如“鋸木頭”、“爬樓梯”、“敲鐘”等。學(xué)習(xí)建議1.重視基礎(chǔ)，吃透概念：數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石，務(wù)必理解每個(gè)概念的內(nèi)涵和外延，不要死記硬背。2.勤于思考，勇于提問(wèn)：遇到不理解的問(wèn)題要及時(shí)向老師、同學(xué)請(qǐng)教，養(yǎng)成勤于思考、善于提問(wèn)的好習(xí)慣。3.多做練習(xí)，注重反思：練習(xí)是鞏固知識(shí)的重要途徑，但不能盲目刷題。要精選題目，做完后及時(shí)反思總結(jié)，特別是錯(cuò)題，要建立錯(cuò)題