1、第三章離散點繪制平面曲線,1概述2(Bezier)曲線3B樣條曲線4拋物線調(diào)配曲線5三次參數(shù)樣條曲線本章小結(jié),1,PPT學習交流,一、規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線,平面曲線一般分規(guī)則和不規(guī)則曲線兩類。規(guī)則曲線是指可以用一個方程,描述的曲線，即曲線的方程已知。這類曲線的繪制方法：以足夠小的步長取曲線上足夠多的點，然后利用曲線方程求出這些點的坐標，最后用直線連接相鄰的點即可繪出曲線。曲線的繪制精度取決于曲線上取點的密度，密度越大，精度就越高，曲線就越光滑。,1概述,2,PPT學習交流,不規(guī)則曲線（擬合曲線）：指已知平面一些離散點的坐標，但曲線方程未知，需要人為設(shè)計曲線方程對這些點進行擬合形成的曲線。,對于

2、這類曲線的繪制，首先要找出一種合理的擬合方法來設(shè)計曲線方程。擬合方法包括：貝塞爾曲線法、B樣條曲線法、拋物線調(diào)配曲線法、三次參數(shù)樣條曲線法，最小二乘法等。擬合方法不同曲線擬合方程不同繪制的曲線形狀也不同。但是，一旦擬合方法確定并得到相應(yīng)的曲線擬合方程，不規(guī)則曲線也就變成了規(guī)則曲線。本章的內(nèi)容就是介紹：如何根據(jù)離散點的坐標，利用擬合方法建立曲線擬合方程，繪制不規(guī)則曲線。,1概述,3,PPT學習交流,在用擬合方法建立曲線擬合方程時，通常把不規(guī)則曲線分為兩類：1.“點點通過”式,當已知離散點的位置較精確時，擬合的曲線通過所有的已知點。,曲線方程確定后規(guī)則曲線以足夠小的步長獲取相鄰離散點之間若干個數(shù)據(jù)

3、點（插值點）的坐標，并用直線連接它們。當步長極小時，所繪出的直線連線在視覺上便是一條光滑的曲線。求相鄰離散點之間若干數(shù)據(jù)點的問題稱為插值問題。,二、不規(guī)則曲線（擬合曲線）的分類,1概述,4,PPT學習交流,2.“平均通過”式當已知數(shù)據(jù)點有一定誤差時，所擬合的曲線不通過所有已知點，曲線代表的是這些數(shù)據(jù)點的變化趨勢。,要求：設(shè)計的曲線方程與所有已知點的“距離”總和最小。即：曲線方程是對所有已知點的“逼近”。典型例子：地層孔隙度深度變化曲線?！包c點通過”式也稱為插值曲線，“平均通過”式也稱為逼近曲線。,1概述,5,PPT學習交流,一般可分為直角坐標方程和參數(shù)方程兩類。例如：對于圓心坐標為(x0,y0

4、)，半徑為r的圓，其直角坐標方程為：(x-x0)2+(y-y0)2=r2參數(shù)方程為：在計算機繪圖時，使用參數(shù)方程要比直角坐標方程方便。參數(shù)方程還有另外一種形式。,三、曲線的方程分類,1概述,6,PPT學習交流,例如：對于二次拋物線曲線，其參數(shù)方程可表示為設(shè)上述參數(shù)方程可寫為：方程稱為曲線的參數(shù)矢量方程。在構(gòu)建曲線方程時，通常采用方程的矢量形式；在繪制曲線時，通常采用方程的分量形式。,1概述,7,PPT學習交流,當平面上已知數(shù)據(jù)點較多時，針對所有點擬合曲線方程有時非常困難，或者得到的曲線方程非常復(fù)雜、不實用?？煞謩e針對部分點進行分段擬合，分段擬合得到的曲線段會涉及到曲線段的連接問題。例如：若已知

5、3個平面離散點，用1條拋物線段對其擬合；若有5個點，可用2條拋物線段進行分段擬合。,兩條曲線段在連接點P3處，并非光滑，需對該點進行光滑處理。在光滑處理時，達到什么標準為“光滑”呢？給出2個一般標準：,四、曲線段的光滑連接,1概述,8,PPT學習交流,1.C1連續(xù)在連接點pj處，若兩曲線段的切線斜率相等（相同的切線），或者說一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，即,稱兩曲線段在連接點pj處的光滑連接達到C1連續(xù)。2.C2連續(xù)在連接點pj處，不僅兩曲線段的切線斜率相同，而且切線斜率的變化率也相同，即稱兩曲線段在連接點pj處的光滑連接達到C2連續(xù)。顯然C2連續(xù)比C1連續(xù)要求更高，曲線的連接更光滑。另外還有更高的連續(xù)標準，

6、但對一般繪圖，曲線段的連接滿足C1或C2連續(xù)，其光滑已足夠。,。,及,9,PPT學習交流,可以設(shè)計一個光滑的曲線段去逼近這個特征多邊形。貝塞爾曲線就屬于這類曲線。該曲線由法國汽車工程師Bezier首先提出，最初用于汽車零件外形的設(shè)計。目前廣泛應(yīng)用于與計算機繪圖相關(guān)的各個領(lǐng)域。,2貝塞爾曲線,一、Bezier曲線1.特征多邊形特征多邊形是用直線段依次連接平面上離散點所形成的折線多邊形。它反映了所要設(shè)計曲線的大致輪廓。,10,PPT學習交流,2.Bezier曲線的參數(shù)方程已知三個平面離散點P0、P1、P2，那么由這三點可以定義二次拋物線段，其參數(shù)矢量方程可表示為：,其中,2貝塞爾曲線,11,PPT

7、學習交流,經(jīng)過推導(dǎo)（詳見教材P58），可求出A0、A1、A2：,t=0時，拋物線經(jīng)過P0，并與P0P1相切。t=1時，拋物線經(jīng)過P2，并與P1P2相切。,設(shè)上述拋物曲線滿足下列條件：,2貝塞爾曲線,12,PPT學習交流,因此，該拋物線段的參數(shù)矢量方程為：,或用矩陣形式表示：,該方程描述的曲線稱為二次貝塞爾曲線。其分量形式為：,2貝塞爾曲線,13,PPT學習交流,繪制方法：將參數(shù)t的區(qū)間0,1劃分為n等份，依次取t=1/n,2/n,3/n,，利用曲線參數(shù)方程計算對應(yīng)的各點坐標，并用直線段依次連接各點。在已知三個平面離散點時，可繪制二次Bezier曲線；若有n+1個平面離散點時，則可繪制n次Bez

8、ier曲線。,其中,2貝塞爾曲線,14,PPT學習交流,n次Bezier曲線參數(shù)矢量方程的一般形式：,其中：Pi（i=0,1,n）為n+1個平面離散點，;,，,其分量形式為：,2貝塞爾曲線,15,PPT學習交流,實際應(yīng)用中，對多個離散點（如：7個離散點）繪制Bezier曲線時：可以用高次Bezier曲線進行繪制（如：7個離散點使用六次Bezier曲線）；可以用低次Bezier曲線進行分段擬合（常使用二次和三次Bezier曲線）；需要對連接點進行光滑處理（C1連續(xù)、C2連續(xù)），已有CG方面的論文研究了此問題。地質(zhì)繪圖中常采用低次Bezier曲線的分段擬合。,2貝塞爾曲線,16,PPT學習交流,二

9、、二次Bezier曲線的程序設(shè)計思路已知：平面上3個離散點P0、P1、P2的坐標(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)。二次Bezier曲線參數(shù)方程的分量形式：,其中,編程思路：將參數(shù)t的區(qū)間0,1劃分為n等份，依次取t=1/n,2/n,3/n,，利用方程計算對應(yīng)各點的坐標，并用直線段依次連接各點。,2貝塞爾曲線,17,PPT學習交流,曲線通過始點和終點，并與特征多邊形首末兩邊相切于始點和終點，中間點將曲線拉向自己。,平面離散點控制曲線的形狀，改變一個離散點的坐標，曲線的形狀將隨之改變（點對曲線具有整體控制性）。,曲線落在特征多邊形的凸包之內(nèi)，它比特征多邊形更趨于光滑。,三、Bezie

10、r曲線的特點,貝塞爾曲線屬于“平均通過”式曲線。,2貝塞爾曲線,18,PPT學習交流,3B樣條曲線,B樣條曲線是在Bezier曲線基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一類曲線，它克服了Bezier曲線整體控制性所帶來的不便，最常用的是二次和三次B樣條曲線。,一、二次B樣條曲線1.參數(shù)方程已知三個平面離散點P0、P1、P2，由這三點可以定義二次拋物線段，其參數(shù)矢量方程形式為：二次B樣條曲線參數(shù)方程的矩陣形式為：,19,PPT學習交流,二次B樣條曲線參數(shù)方程的矩陣形式：,二次Bezier曲線參數(shù)方程的矩陣形式：,二次B樣條曲線參數(shù)方程的分量形式：,3B樣條曲線,20,PPT學習交流,分量形式為：,其中,2.二次B樣條

11、曲線的特點起點為P0、P1點的中點，并與線段P0P1相切；,3B樣條曲線,21,PPT學習交流,終點為P1、P2點的中點，并與線段P1P2相切；除起點、終點外，中間點將曲線拉向自己。二次B樣條曲線為“平均通過式”曲線3.多點時二次B樣條曲線的應(yīng)用二次B樣條曲線是針對3個離散點設(shè)計的，如果多于3個離散點，則采用二次B樣條曲線進行分段擬合。假設(shè)有n+1個離散點，記為Pi（i=0,1,n），采用二次B樣條曲線進行分段擬合的過程是：以P0、P1、P2為控制點繪制第1條二次B樣條曲線；以P1、P2、P32；以Pn-2、Pn-1、Pnn-1；,3B樣條曲線,22,PPT學習交流,6個離散點繪制二次B樣條曲

12、線的情況如下圖：,問題：如何使曲線始于P0而止于P5？,由于二次B樣條曲線在連接點處具有相同的切線，故多點的二次B樣條曲線具有C1級連續(xù)。,4.二次B樣條曲線的邊界處理（邊界問題）思路：增加兩點Ps、Pe；第1條曲線用Ps代替P0，最后一條曲線時用Pe代替最后一個點。,3B樣條曲線,23,PPT學習交流,按照上述方法處理后，可繪制始于起點而止于終點的二次B樣條曲線。,5.多點二次B樣條曲線程序設(shè)計設(shè)計思想：,3B樣條曲線,24,PPT學習交流,參數(shù)存放點坐標的數(shù)組；點的個數(shù)；0,1區(qū)間等分數(shù)。,邊界處理,計算方程系數(shù),繪制B樣條曲線,3B樣條曲線,25,PPT學習交流,二次貝塞爾曲線由3個平面

13、離散點確定曲線特點多點時可進行分段擬合，連接點一般不光滑二次B樣條曲線由3個平面離散點確定曲線特點多點時可進行分段擬合，連接點為C1級光滑邊界問題,26,PPT學習交流,二、三次B樣條曲線,三個平面離散點確定一條二次B樣條曲線，四個平面離散點則確定一條三次B樣條曲線。,1.三次B樣條曲線的參數(shù)表達式,矩陣形式：,分量形式：,3B樣條曲線,27,PPT學習交流,上式中,2.三次B樣條曲線的特點,3B樣條曲線,28,PPT學習交流,設(shè)中點為：,曲線起點S位于的中線上，距點處；曲線終點E位于的中線上,距點處；,曲線起點切線平行于，終點切線平行于；,設(shè)四個離散點為P0、P1、P2、P3；,3B樣條曲線

14、,為“平均通過式”曲線。,29,PPT學習交流,3.多點三次B樣條曲線的分段擬合,設(shè)已知n個平面離散點，記為Pi（i=1,2,n）。以P1、P2、P3、P4繪制第1條三次B樣條曲線；以P2、P3、P4、P5繪制第2條三次B樣條曲線；以Pn-3、Pn-2、Pn-1、Pn繪制第n-3條三次B樣條曲線。用上述方法繪出的各段曲線自然銜接，具C2級連續(xù)。,3B樣條曲線,30,PPT學習交流,4.三次B樣條曲線的邊界處理要使曲線起于始點，止于終點，必須對進行邊界處理。思路：與二次B樣條曲線類似，在兩端各增加一個點；以新的點序列Ps、P0、P1、P2、P3、Pe為控制點分別繪制三次B樣條曲線。,5.多點三次

15、B樣條曲線程序設(shè)計自學。,3B樣條曲線,31,PPT學習交流,4拋物線調(diào)配曲線,前面介紹的Bezier曲線和B樣條曲線并不通過平面上所有已知的離散點，也就是說，它們是一種“平均通過”式曲線。如果要求曲線通過所有的已知點，上述兩種方法就不能使用，為此再介紹拋物線調(diào)配曲線，它是一條“點點通過”式曲線。一、拋物線調(diào)配曲線的繪圖原理設(shè)已知n個平面離散點Pi（i=1,2,n），利用二次拋物線進行分段擬合:以P1、P2、P3為控制點繪制第一條過三點的拋物線段；,32,PPT學習交流,以P2、P3、P4為控制點繪制第二條過三點的拋物線段；最后，以Pn-2、Pn-1、Pn為控制點繪制第n-2條過三點的拋物線段

16、。每相鄰兩條拋物線段的相交部分會出現(xiàn)2條曲線段。,調(diào)配：對相交部分的2條曲線段進行合并（調(diào)配）處理。,4拋物線調(diào)配曲線,33,PPT學習交流,拋物線調(diào)配曲線需要解決的問題：過三點的二次拋物線參數(shù)方程；相鄰拋物線相交部分2條曲線段的調(diào)配（合并）方法；合并后連接點的光滑問題。,4拋物線調(diào)配曲線,34,PPT學習交流,二、過三點的拋物線參數(shù)方程已知三個平面離散點P0、P1、P2，那么由這三點定義的二次拋物線參數(shù)矢量方程為：條件為：t=0時，拋物線經(jīng)過P0點；t=時，拋物線經(jīng)過P1點，且切線矢量=P2-P0；t=1時，拋物線經(jīng)過P2點。二次拋物線參數(shù)方程的矩陣形式：,4拋物線調(diào)配曲線,35,PPT學習

17、交流,展開：三、調(diào)配曲線的計算公式設(shè)已知n個平面離散點Pi（i=1,2,n），依次取P1、P2、P3、Pn-2作為起點繪制過三點的拋物線，共繪出n-2條拋物線段。,4拋物線調(diào)配曲線,36,PPT學習交流,第j條拋物線參數(shù)方程為：,第j+1條拋物線的參數(shù)方程為：,4拋物線調(diào)配曲線,37,PPT學習交流,合并(調(diào)配)曲線取為第j條曲線與第j+1條曲線的加權(quán)平均。設(shè)權(quán)函數(shù)為：則調(diào)配(合并)曲線（起點為Pj+1、終點為Pj+2）的方程為：方程右邊三個參數(shù)：T、tj、tj+1的取值范圍為：,4拋物線調(diào)配曲線,38,PPT學習交流,4拋物線調(diào)配曲線,三個參數(shù)T、tj、tj+1的取值范圍：T的范圍：0T1t

18、j的范圍：調(diào)配曲線合并的是第j條曲線的后半段，故0.5tj1tj+1的范圍：調(diào)配曲線合并的是第j+1條曲線的前半段，故0tj+10.5設(shè)參數(shù)t的范圍為0t0.5，有：,39,PPT學習交流,調(diào)配曲線方程變?yōu)椋涸賹⑶懊鍿j和Sj+1的方程代入，整理后得到：,上式稱為拋物線調(diào)配曲線的參數(shù)方程。,4拋物線調(diào)配曲線,40,PPT學習交流,當j=1時，調(diào)配曲線位于P2、P3之間；當j=2時，調(diào)配曲線位于P3、P4之間；當j=n-3時，調(diào)配曲線位于Pn-2、Pn-1之間。因此，n個點可得到n-3條調(diào)配曲線，首尾兩條沒有調(diào)配。,4拋物線調(diào)配曲線,41,PPT學習交流,如何利用調(diào)配方程對首尾兩條進行調(diào)配？分別

19、在首尾補上兩點P0、Pn+1。依據(jù)補點后新的點序列P0、P1、Pn、Pn+1，可繪制n-1調(diào)配曲線。,4拋物線調(diào)配曲線,42,PPT學習交流,如何確定P0、Pn+1的坐標？,對于P0點，滿足：,對于Pn+1點，滿足：,常設(shè)：,因此：P0=P2，Pn+1=Pn-1,同時，繪出的n-1條調(diào)配曲線在連接點處具有C1級連續(xù)（證明略）。,4拋物線調(diào)配曲線,43,PPT學習交流,來源于早期的手工繪圖：繪圖員把一根富有彈性的細木條放在數(shù)據(jù)點的位置上，并施以力量，從而使木條彎曲通過每一個數(shù)據(jù)點，木條變形后的形態(tài)就是三次參數(shù)樣條曲線。,5三次參數(shù)樣條曲線,由彈性力學理論可以證明：曲線近似為分段三次多項式，且在連

20、接點處具有C2連續(xù)。,44,PPT學習交流,繪制三次參數(shù)樣條曲線的基本思路：首先，構(gòu)建2點間曲線的三次多項式參數(shù)方程；然后，進行分段擬合，依次繪制相鄰兩點間的曲線段；最后，對各曲線段進行光滑連接處理（C2連續(xù)）。主要問題：構(gòu)建曲線的三次多項式參數(shù)方程。,5三次參數(shù)樣條曲線,45,PPT學習交流,一、過兩點的三次多項式參數(shù)方程設(shè)已知兩點P1、P2，則過兩點的曲線三次參數(shù)矢量方程為：,5三次參數(shù)樣條曲線,46,PPT學習交流,條件為：t=0時通過P1點，且曲線段在該點的切矢量為P1；t=t1時通過P2點，且曲線段在該點的切矢量為P2。,5三次參數(shù)樣條曲線,47,PPT學習交流,條件為：t=0時通過

21、P1點，且曲線段在該點的切矢量為P1；t=t1時通過P2點，且曲線段在該點的切矢量為P2。當t=0時，有當t=t1時，有,5三次參數(shù)樣條曲線,48,PPT學習交流,解出B0、B1、B2、B3：將系數(shù)代入方程中整理，可得到：,5三次參數(shù)樣條曲線,49,PPT學習交流,上式即為過兩點的三次多項式參數(shù)方程的矢量形式。其分量形式為：,5三次參數(shù)樣條曲線,50,PPT學習交流,若有n個平面離散點Pi（i=1,2,n），進行分段擬合，每相鄰兩點之間使用一個三次多項式參數(shù)方程進行曲線繪制，共有n-1個曲線段。一般情況下，對于其中由Pi、Pi+1兩點構(gòu)成的第i條曲線段的三次多項式參數(shù)方程可表示為：在這n-1個

22、曲線方程中，涉及到P1、P2、Pn共n個切矢量。,5三次參數(shù)樣條曲線,51,PPT學習交流,二、n個切矢量的求解求解思路：利用相鄰兩條曲線段之間的連接具有C2級光滑。設(shè)第i-1條曲線與第i條曲線相連：兩條曲線在連接點Pi具有C2級連續(xù)，即將兩條曲線的參數(shù)方程代入，整理后可得到關(guān)系式：,5三次參數(shù)樣條曲線,52,PPT學習交流,設(shè)第i-1條曲線與第i條曲線相連，可得到關(guān)系式：n個點有n-1條曲線，每兩條曲線可以得到一個關(guān)系方程，共有n-2個方程。需要對P1、P2、Pn共n個切矢量求解，尚缺少兩個方程。補充首尾兩點P1、Pn的邊界條件。,5三次參數(shù)樣條曲線,53,PPT學習交流,補充首尾兩點P1、Pn的邊界條件有三種方法：固定端邊界條件直接給定兩端的切矢量P1、Pn。拋物端邊界條件兩個端點的三階導(dǎo)數(shù)為零，即自由端邊界條件兩個端點的二階導(dǎo)數(shù)為零，即由上頁的n-2個方程和2個邊界條件構(gòu)成一個方程組，稱之為切矢量方程組，對其求解可得到n個切矢量P1、P2、Pn的值。,5三次參數(shù)樣條曲線,54,PPT學習交流,切矢量方程組的求解可采