1、第四章相似三角形復(fù)習(xí)課,第一課時(shí),一.比例線段,知識要點(diǎn)1,1.成比例的數(shù)（線段）：,其中：a、b、c、d叫做組成比例的項(xiàng)，,a、d叫做比例外項(xiàng)，,b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)，,比例的性質(zhì)：,1.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=,6,2、下列各組線段的長度成比例的是（）,A.2,3,4,1B.1.5,2.5,6.5,4.5,C.1.1,2.2,3.3,4.4D.1,2,2,4,練習(xí):,D,6,5,3、,4、已知1)x：(x+2)=(2x)：3，求x。(2)若，求。(3)若，求，,1或-4,7/3,1/5,-4/5,5,6已知1,2,3三個(gè)數(shù)，請你再添上一個(gè)數(shù)，寫出一個(gè)比例式。

2、,6或2/3或1.5,一.比例線段,2.比例中項(xiàng)：,練習(xí)：,當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，,那么線段b叫做a和c的比例中項(xiàng).,一.比例線段,3.黃金分割：,練習(xí)：,定義：,對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。,相似比：,相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做相似三角形的相似比。,二、相似三角形,知識要點(diǎn)2,三角形相似的判定方法有哪幾種?,預(yù)備定理,DEBC,ADEABC,二、相似三角形,相似三角形判定定理1：兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似,二、相似三角形,相似三角形判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.,二、相似三角形,相似三角形判定定理3：三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.,ABCD

3、EF,二、相似三角形,相似三角形的判定：,（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；（4）三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.,二、相似三角形,A,D,E,B,A,C,B,A,B,C,D,ADE繞點(diǎn)A,旋轉(zhuǎn),D,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,點(diǎn)E移到與C點(diǎn),重合,ACB=Rt,CDAB,相似三角形基本圖形的回顧：,相似三角形的性質(zhì)：,1、相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例,2、相似三角形的周長比等于相似比，對應(yīng)高的比等于相似比,3、相似三角形

4、的面積比等于相似比的平方,二、相似三角形,二.知識應(yīng)用:,1.找一找:,(1)如圖1,已知:DEBC,EFAB,則圖中共有_對三角形相似.,(2)如圖2,已知:ABC中,ACB=Rt,CDAB于D,DEBC于E,則圖中共有_個(gè)三角形和ABC相似.,3,4,4,(4)已知:四邊形ABCD內(nèi)接于O,連結(jié)AC和BD交于點(diǎn)E,則圖中共有_對三角形相似.,(5)已知:四邊形ABCD內(nèi)接于O,連結(jié)AC和BD交于點(diǎn)E,且AC平分BAD,則圖中共有_對三角形相似.,6,2,6.將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺放成如圖所示的樣子,假設(shè)圖形中的所有點(diǎn),線都在同一平面內(nèi),試寫出一對相似三角形(不全等)_.,ADE、

5、BAE、CDA都相似,1.如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在BC，CD上，且CM=2，則當(dāng)CN=_時(shí)，CMN與ADE相似。,1或4,練一練:,2.在平面直角坐標(biāo)系，B（1，0）,A（3，3）,C（3，0）,點(diǎn)P在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，若以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_.,P,（0，1.5）或（0，2/3）,練一練,3、如圖,在ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一點(diǎn),AE=2,在AC上取一點(diǎn)F,使以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似,那么AF=_,練一練,4、如圖,在直角梯形中,BAD=D=ACB=90。，CD=4,AB=9,則AC=_,

6、6,5、如圖,已知點(diǎn)P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=3，BFBP.試問在射線BF上是否存在一點(diǎn)E，使以點(diǎn)B、E、C為頂點(diǎn)的三角形與ABP相似?若存在,請求出BE的長;若不存在,請說明理由.,F,練一練,練一練,6、在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以2cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以4cm/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘BPQ與BAC相似？,或AP:AC=AC:AB,練一練,7、如圖點(diǎn)P是ABC的AB邊上的一點(diǎn),要使APCACB,則需補(bǔ)上哪一個(gè)條件?,8、如圖,點(diǎn)C,D在線段AB上,PCD是等邊三角形.(

7、1)當(dāng)AC,CD,DB滿足怎樣關(guān)系時(shí),PCABDP.(2)當(dāng)PCABDP時(shí),求APB的度數(shù).,練一練,9、如圖D,E分別AB,AC是上的點(diǎn),AED=72o，A=58o，B=50o,那么ADE和ABC相似嗎？,若AE=2,AC=4,則BC是DE的倍.,練一練,10、若ACPABC，AP=4，BP=5，則AC=_，ACP與ABC的相似比是_，周長之比是_，面積之比是_。,6,2:3,2:3,練一練,4:9,11、如圖：已知ABCCDB90，AC5cm，BC=3cm，當(dāng)BD取多少cm時(shí)ABC和BDC相似？,4,(2)以正方形的邊長等量過渡.,（3）請找出圖中的相似三角形,練一練,13、在平行四邊形A

8、BCD中,AE:BE=1:2.,若SAEF=6cm2,則SCDF=cm2,54,SADF=_cm2,18,練一練,14、如圖（），中，則:四邊形:四邊形=_,答案：,畫一畫:,1、如圖,在ABC和DEF中,A=D=700,B=500,E=300,畫直線a,把ABC分成兩個(gè)三角形,畫直線b,把DEF分成兩個(gè)三角形,使ABC分成的兩個(gè)三角形和DEF分成的兩個(gè)三角形分別相似.(要求標(biāo)注數(shù)據(jù)),300,300,200,200,畫一畫,2、在方格紙中,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形.在如圖44的格紙中,ABC是一個(gè)格點(diǎn)三角形,(1)在右圖中,請你畫一個(gè)格點(diǎn)三角形,使它與ABC

9、相似(相似比不為1),(2)在右圖中,請你再畫一個(gè)格點(diǎn)三角形,使它與ABC相似(相似比不為1),但與圖1中所畫的三角形大小不一樣.,例1、如圖,正方形ABCD中,E是DC中點(diǎn),FC=BC.求證:AEEF,證明:四邊形ABCD是正方形,BC=CD=AD，D=C=90,E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)C=BC,ADEECF,1=2,D=90,1+3=90,2+3=90,AEEF,例2、如圖,DEBC,EFAB,且SADE=25,SCEF=36.求ABC的面積.,解：DEBC，EFAB,A=CEF，AED=C,ADEEFC,DEBC,ADEABC,SADE=25,SABC=121,例3、如圖,O是ABC的外接圓,A

10、B=AC.求證:AB2=AEAD,證明：連接BD,AB=AC,ADB=ABE,又BAD=EAB,ABCAEB,AB2=AEAD,證明：CDAB，E為AC的中點(diǎn)DE=AEEDA=AEDA=FDBA=FDBACB=RtA=FCD=900-CBAFDB=FCDF=FFDBFCDBD：CD=DF：CFBDCF=CDDF,例4如圖，CD是RtABC斜邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，ED交CB的延長線于F。,C,E,A,D,F,B,求證：BDCF=CDDF,例5.過ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直線分別交對角線BD、邊BC、邊DC的延長線于E、F、G.求證：EA2=EFEG.,分析：要證明EA2=EFEG，即證明成立

11、，而EA、EG、EF三條線段在同一直線上，無法構(gòu)成兩個(gè)三角形，此時(shí)應(yīng)采用換線段、換比例的方法?？勺C明：AEDFEB，AEBGED.,證明：ADBFABBCAEDFEBAEBGED,例6、如圖,在ABC中,ACB=900，四邊形BEDC為正方形,AE交BC于F,FGAC交AB于G.求證:FC=FG.,證明:四邊形BEDC為正方形,CFDE,ACFADE,又FGACBE,AGFABE,由可得：,又DE=BE,FC=FG,例7、如圖,AB/AD=BC/DE=AC/AE.(1)求證:BAD=CAE;(2)若已知AB=6,BD=3,AC=4,求CE的長.,(1)得,ABCADE,BAC=DAE,BAC-

12、DAC=DAE-DAC,即BAD=CAE,(2)由,BAD=CAE,ABDACE,證明：,相似三角形性質(zhì)應(yīng)用,2.如圖,ADBC,D為垂足,AD=8,BC=10,EFGH是ABC內(nèi)接矩形,(H、G是BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),但H不到達(dá)點(diǎn)B,G不到達(dá)點(diǎn)C)設(shè)EH=x,EF=y(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求自變量x的取值范圍;(2)當(dāng)EF+EH=9時(shí),求矩形EFGH的周長和面積.,相似三角形性質(zhì)應(yīng)用,相似三角形性質(zhì)應(yīng)用,4、如圖,在等腰ABC中,BAC=90,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使ADE=45,（1）求證：ABDDCE,（2）設(shè)BD=x，AE

13、=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)AE取得最小值,（3）當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長,拓展提高,1,如圖,在等腰ABC中,BAC=90,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使ADE=45,（1）求證：ABDDCE,ADC是ABD的外角,ADC=ADE+2=B+1,）2,1,證明：AB=AC，BAC=90,B=C=45,又ADE=45,ADE=B,1=2,ABDDCE,（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并求出當(dāng)BD為何值時(shí)AE取得最小值,解：ABDDCE,1,如圖,在等腰AB

14、C中,BAC=90,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使ADE=45,（3）當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長,AD=AE,AE=DE,DE=AD,如圖,在等腰ABC中,BAC=90,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合），在AC上取一點(diǎn)E，使ADE=45,1,分類討論,5、如圖,在直角梯形ABCD中,ABCD,A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合),，交于點(diǎn),（）ABP與DPE是否相似？請說明理由；,（）設(shè)x=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量x的取值范圍；,（3）請你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，

15、四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長；如果不能，請說明理由；,（4）請你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，BPE能否成為等腰三角形？如果能，求出AP的長，如果不能，請說明理由。,2,5,x,y,5-x,拓展提高,6.如圖，梯形ABCD中ADBC，ABC=90，AD=9，BC=12，AB=10，在線段BC上任取一P，作射線PEPD，與線段AB交于點(diǎn)E.（1）試確定CP=5時(shí)點(diǎn)E的位置；（2）若設(shè)CP=x，BE=y，試寫出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍.,提示：體會(huì)這個(gè)圖形的“模型”作用，將會(huì)助你快速解題！,拓展提高,7.如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)

16、.（1）求此拋物線的解析式；（2）拋物線上有一點(diǎn)P，滿足PBC=90，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，問在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A、O、E為頂點(diǎn)的三角形與PBC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.,2,3,Q,6,拓展提高,8、某生活小區(qū)的居民籌集資金1600元,計(jì)劃在一塊上、下底分別為10m，20m的梯形空地上種植花木（如下圖）（1）他們在AMD和BMC地帶種植太陽花，單價(jià)為8元/m2。當(dāng)在AMD地帶（圖中陰影部分）中種滿花后，共用去了160元。請計(jì)算種滿BMC地帶所需的費(fèi)用是多少元。（2）若其余地帶要種的有玫瑰花和茉莉花兩種花木可供選擇，單價(jià)分別為12元/m2、10元/m2，應(yīng)選擇哪種花木，剛好用完所籌集的資金？（3）若梯形ABCD為等腰梯形，面積不變（如圖2），請你設(shè)計(jì)一種花壇圖案，即在梯形內(nèi)找到一點(diǎn)P，使得APBDPC，且APD的面積與BPC的面積相等，并