1、關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的6個(gè)基本定理,1.確界原理（定理1.1）；,2.單調(diào)有界定理（定理2.9）；,3.區(qū)間套定理（定理7.1）；,4.有限覆蓋定理（定理7.3）,5.聚點(diǎn)定理（定理7.2）,6.柯西收斂準(zhǔn)則（定理2.10）；,在實(shí)數(shù)系中這六個(gè)命題是相互等價(jià)的。,第七章,在有理數(shù)系中這六個(gè)命題不成立。,1.確界原理,在實(shí)數(shù)系中，任意非空有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。,2.單調(diào)有界定理；,在實(shí)數(shù)系中，單調(diào)有界數(shù)列必有極限。,即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。,3.區(qū)間套定理,若是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的點(diǎn),所以區(qū)間套定理在有理數(shù)系不成立。,反例：,4.有限覆蓋定理,在實(shí)數(shù)系中，閉區(qū)

2、間a,b的任一開(kāi)覆蓋H，必可從H中選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋a,b。,反例：,5.聚點(diǎn)定理,實(shí)數(shù)系中的任意有界無(wú)限點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。,反例：,S是有界的無(wú)限有理點(diǎn)集，在實(shí)數(shù)域內(nèi)的聚點(diǎn)為e,因而在有理數(shù)域沒(méi)有聚點(diǎn)。,5.1致密性定理：,在實(shí)數(shù)系中，有界數(shù)列必含有收斂子列。,反例：,其極限為無(wú)理數(shù)e,從而任一子列均收斂于e。,故xn在有理數(shù)域內(nèi)沒(méi)有收斂的子列。,6.柯西收斂準(zhǔn)則,反例：,即柯西收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)域不成立。,幾個(gè)概念：,區(qū)間套（閉區(qū)間套），,聚點(diǎn)（3個(gè)等價(jià)定義及其等價(jià)性的證明），,開(kāi)覆蓋（有限開(kāi)覆蓋）。,舉例說(shuō)明閉區(qū)間套定理中將閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間結(jié)論不成立。,但不存在屬于所有開(kāi)區(qū)間的公共點(diǎn)。

3、,舉例說(shuō)明有限覆蓋定理中將閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間結(jié)論不成立。,但不能從中選出有限個(gè)開(kāi)區(qū)間蓋住（0，1）。,因?yàn)橛叶它c(diǎn)始終為1，左端點(diǎn)有限個(gè)中必有一個(gè)最小者，,構(gòu)成了開(kāi)區(qū)間（0，1）的一個(gè)開(kāi)覆蓋，,積分法,原函數(shù),選擇u有效方法,基本積分表,第一換元法第二換元法,直接積分法,分部積分法,不定積分,幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分,第八章不定積分,一、主要內(nèi)容,1、原函數(shù)與不定積分的概念。,2、不定積分:(1)存在性;(2)唯一性;(3)如何求？,3、不定積分運(yùn)算與微分運(yùn)算的互逆關(guān)系。,4、積分表。,5、不定積分的計(jì)算：（1）基本思想化歸為積分表中的積分；,（2）常用積分方法：,1）恒等變形（加一項(xiàng)減一項(xiàng)、乘一項(xiàng)

4、除一項(xiàng)、三角恒等變形）；,2）線性運(yùn)算；,3）換元法：第一類(lèi)（湊分法）不需要變換式可逆；第二類(lèi)變換式必須可逆；,4）分部積分法?？捎糜趦蓚€(gè)不同類(lèi)型函數(shù)乘積的積分；“對(duì)反冪三指，前者設(shè)為u”,5）三種特殊類(lèi)型函數(shù)“程序化”的積分法。,注：檢驗(yàn)積分結(jié)果正確與否的基本方法。,（3）求積分比求微分困難1）沒(méi)有萬(wàn)能的積分法；2）有的初等函數(shù)的積分不是初等函數(shù)，從而“積不出來(lái)”，如,另外：每一個(gè)含有第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).,6、基本積分表,是常數(shù)),7、湊微分常見(jiàn)類(lèi)型:,湊微分時(shí)常用到：,湊微分法就是設(shè)法把,一般沒(méi)有規(guī)律可循，只有掌握典型例題，多做多總結(jié)。,三角代換去掉如下二次根式：,可令,可令,

5、可令,8、常用代換:,當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令x=tn,（其中n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）,當(dāng)分母的階分子的階時(shí),可考慮試用倒代換：,一、主要內(nèi)容,1、定積分的定義,第九章定積分,定積分是個(gè)數(shù)，與被積函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的定義無(wú)關(guān)；,與積分變量記號(hào)的選擇無(wú)關(guān)。,（2）利用牛頓-萊布尼茲公式。,2、定積分的計(jì)算,在已知定積分存在的前提下，可用下面兩種方法求出其值：,3、定積分的幾何意義,面積的代數(shù)和。,4、定積分的性質(zhì),線性、,關(guān)于積分區(qū)間的可加性、,估值不等式、,積分第一、第二中值定理。,5、定積分與不定積分的聯(lián)系,（1）變上限積分的導(dǎo)數(shù)公式；,保號(hào)性、,（2）牛-萊公式。,（

6、3）可積函數(shù)不一定有原函數(shù)，有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。,因?yàn)椤昂械谝活?lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)”都沒(méi)有原函數(shù)，,而“含有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)”都可積。,所以可積函數(shù)不一定有原函數(shù)。,即說(shuō)明有原函數(shù)的函數(shù)不一定可積。,6、可積條件,必要條件若函數(shù)f在a,b上可積，則f在a,b上必定有界。,充要條件（1）函數(shù)f在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：,使得屬于T的所有小區(qū)間中，,充要條件（2）函數(shù)f在a,b可積當(dāng)且僅當(dāng)：,對(duì)應(yīng)于振幅的那些小區(qū)間的總長(zhǎng),7、可積函數(shù)類(lèi),1、在a,b上連續(xù)的函數(shù)在a,b可積。,2、在a,b上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在a,b上可積。,3、在a,b上單調(diào)的有界函數(shù)在a,b上可積。（允許有無(wú)限多

7、個(gè)間斷點(diǎn)）,但并非可積函數(shù)只有這3類(lèi)。如：黎曼函數(shù)不屬于這3類(lèi)的任何一類(lèi)，但它是可積的。,在a,b上函數(shù)的間斷點(diǎn)形成收斂的數(shù)列，則函數(shù)在a,b可積。,8、利用不定積分計(jì)算定積分,（1）線性；,恒等變形；,換元；,分部積分；,一些特殊類(lèi)型函數(shù)的積分。,（2）與不定積分法的差別,（3）利用對(duì)稱(chēng)性、周期性及幾何意義。,牛-萊公式,積分限的確定，換元要換積分限，原函數(shù)求出后不需回代。,（4）開(kāi)偶次方時(shí)，要帶絕對(duì)值。,9、雜記,（1）定積分可用于計(jì)算某類(lèi)特殊數(shù)列的極限。,（2）對(duì)D(x)和R(x)的可積問(wèn)題多一些關(guān)注。,1、微元法的理論依據(jù),第10章,2、名稱(chēng)釋譯,3、所求量的特點(diǎn),4、解題步驟,平面圖

8、形的面積,直角坐標(biāo),參數(shù)方程,極坐標(biāo),弧微分,弧長(zhǎng),旋轉(zhuǎn)體體積,旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積,?,5、定積分應(yīng)用的常用公式,(1)平面圖形的面積,直角坐標(biāo)情形,上曲線減下曲線對(duì)x積分。,A,x=f(y),（圖5）,x=g(y),右曲線減左曲線對(duì)y積分。,一般解題步驟：,（1）畫(huà)草圖，定結(jié)構(gòu)；,（2）解必要的交點(diǎn)，定積分限；,（3）選擇適當(dāng)公式，求出面積（定積分）。,注意：答案永遠(yuǎn)為正。,如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程,曲邊梯形的面積,參數(shù)方程所表示的函數(shù),極坐標(biāo)情形,(2)體積,平行截面面積為已知的立體的體積,(3)平面曲線的弧長(zhǎng),弧長(zhǎng),A曲線弧為,弧長(zhǎng),B曲線弧為,C曲線弧為,弧長(zhǎng),(4)旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,(5

9、)變力所作的功,(6)液體壓力,(7)引力,(8)函數(shù)的平均值,第11章,一、兩類(lèi)反常積分的概念,a為任意常數(shù),如果a,b都是瑕點(diǎn)，則定義,c為(a,b)內(nèi)任一實(shí)數(shù)。,當(dāng)且僅當(dāng)右端兩個(gè)積分都收斂時(shí)，才稱(chēng)左端瑕積分收斂。,二、計(jì)算方法求正常積分+求極限；,三、兩類(lèi)反常積分的判斂方法,1、Cauchy準(zhǔn)則,2、比較法則,通常取p-積分為比較對(duì)象，且常用極限形式。,3、Dirichelet判別法和Abel判別法,用于判別兩個(gè)函數(shù)相乘時(shí)的反常積分的斂散性。,四、絕對(duì)收斂與條件收斂,定積分：,無(wú)窮積分：,瑕積分：,第12章,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),正項(xiàng)級(jí)數(shù),交錯(cuò)級(jí)數(shù),一般項(xiàng)級(jí)數(shù),收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：,3.級(jí)數(shù)的斂散性

10、與級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，但收斂的和一般會(huì)有影響。,4.收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后仍收斂，且和不變（即有結(jié)合律）；,5.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的任意重排級(jí)數(shù)仍絕對(duì)收斂，且和不變（即有交換律）。,6.收斂級(jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的和必為發(fā)散級(jí)數(shù)。,正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,1、比較法（un為有理表達(dá)式時(shí)）；,2、比式法（un含n!時(shí)）；,3、根式法（un含n次方時(shí)）；,4、積分法(）；,5、拉貝法（）；,交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法,這是Dirichelet判別法的特殊情形。,一般項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法,1、Abel判別法，,2、Dirichelet判別法。,用比值或根值判別法判定的非絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)一定發(fā)散。,則它們的乘積按任意順序所得的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂于AB.,絕對(duì)

11、收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì),條件收斂的級(jí)數(shù)，可以適當(dāng)重排，使其按任意預(yù)定的方式收斂或發(fā)散。,第13章,等價(jià)于下列3條之一：,好用！,典型例題：,I,的常用判定法：,等價(jià)于下列3條之一：,典型例題：,（1）優(yōu)級(jí)數(shù)判別法,（2）Abel判別法,（3）Dirichelet判別法,的常用判定法：,一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)：,（1）,（2）,（3）,一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì),(1),(2),（3）,第14章,一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域,說(shuō)明冪級(jí)數(shù)存在收斂半徑。,收斂半徑的求法：,（1）根式法，,（2）比式法，,這個(gè)方法不適合求缺項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂半徑。,冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)的收斂情況，轉(zhuǎn)化成數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂問(wèn)題。

12、,二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),（1）在收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，,（2）和函數(shù)在收斂區(qū)間連續(xù)，,（3）在收斂區(qū)間可以逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，且所得冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變。,三、冪級(jí)數(shù)的求和,通常采用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積，并利用一些已知級(jí)數(shù)的和函數(shù)。,注意這個(gè)級(jí)數(shù)的各種變異。,記住下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：,四、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù),如果f(x)能展成冪級(jí)數(shù)，則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)。,1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法),步驟:,2.間接法,根據(jù)唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開(kāi)式.,記住幾個(gè)特殊函數(shù)的展開(kāi)式：,注意收斂范圍。,本章討論了下面三類(lèi)問(wèn)題：,1、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。,2、冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，及和函數(shù)的性質(zhì)。,3、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的條件及方法。,請(qǐng)同學(xué)體會(huì)求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法，并注意在逐項(xiàng)求積時(shí)，收斂域可能擴(kuò)大，只要冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)收斂，而和函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)有定義，那么和函數(shù)成立的區(qū)間就可以包含這個(gè)端點(diǎn)。（這是P51.3的結(jié)果）,逐項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，一般收斂域會(huì)減少。,如,它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是,第十五章,傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)：,三角函數(shù)系的正交性,（1）它們的最小公共周期為,（2）任何兩個(gè)不同的函數(shù)相乘在上積分為0，