1、指數(shù)對(duì)數(shù)冪函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 高考數(shù)學(xué)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2 人：沈興燦 審核人：沈興燦 一、指數(shù)函數(shù) （一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 1根式的概念：一般地，如果x?a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN * n ? 負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作?0。 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，an?a，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，nan?|a|?2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： ?a(a?0) ?a(a?0) a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn mn ， ? 1a mn ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 3實(shí)數(shù)指數(shù)

2、冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?R). (2)(ar)s?ars(a?0,r,s?R).(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?R). （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y?ax(a?0,且a?1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽 注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1 注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出： （1）在a，b上，f(x)?a(a?0且a?1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)； （2）若x?0，則f(x)?1；f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)x?R； （3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)f(x)?a

3、(a?0且a?1)，總有f(1)?a； 二、對(duì)數(shù)函數(shù) （一）對(duì)數(shù) 1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果a?N(a?0,a?1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì) x x x 數(shù)，記作：x?logaN（a 底數(shù)，N 真數(shù)，logaN 對(duì)數(shù)式） 說明：1 注意底數(shù)的限制a?0，且a?1； 2 ax?N?logaN?x；規(guī)律：底數(shù)a保持不變 3注意對(duì)數(shù)的書寫格式 兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：1 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)lgN； 2 自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e?2.71828?為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)lnN ? 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化。規(guī)律：底數(shù)a保持不變 冪值真數(shù) （二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) (1)負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)； (2)1的對(duì)數(shù)是0，即loga

4、1?0(a0,且a1)；特殊地：ln1?0 (3)底的對(duì)數(shù)是1，即logaa?1(a0,且a1)；特別地：lne?1（三）對(duì)數(shù)運(yùn)算法則。若a0，a1，M0，N0，則 M ?logaM?logaN; N 1 (3)logaMn?nlogaM(n?R). (4)logaN?logaN n (1)loga(MN)?logaM?logaN; (2) loga（5）對(duì)數(shù)的換底公式 logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0). logma nn 推論 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). m1 logab? (a0,且 b0). logb

5、alogaN? （6）指數(shù)恒等式：a（由a b logaN ?N a logN ?N，b?logaN,將代入得a?N） （7） 對(duì)數(shù)恒等式：logaa?nlogaa?n(n?R) （四）對(duì)數(shù)值的正負(fù)判斷規(guī)律： 對(duì)數(shù)logaN的底數(shù)a與真數(shù)N同屬于區(qū)間(0,1)或（1，+）時(shí)logaN?0 例：log0.30.8?0;例：log0.38?0; n log32?0 log1.60.7?0 對(duì)數(shù)logaN的底數(shù)a與真數(shù)N分別屬于區(qū)間(0,1)或（1，+）時(shí)logaN?0 （五）對(duì)數(shù)函數(shù) 1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y?logax(a?0，且a?1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量， 函數(shù)的定義域是（0，+）

6、 注意：1 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。如：y?2log2x， y?log5 x 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù) 5 2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：(a?0，且a?1) 4幾個(gè)特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象： 三、冪函數(shù) ? y?x(?R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，?是常數(shù)。 1定義：形如 注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何不同？ 【提示】 本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置 2由具體冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)： 歸納：冪函數(shù)在第一象限的性質(zhì)： ?0，圖像過定點(diǎn)（0,0）（1,1），在區(qū)間(0,?)上單調(diào)遞增。 ?0，圖像過定點(diǎn)（

7、1,1），在區(qū)間(0,?)上單調(diào)遞減。 附：拓展探究*(有余力的同學(xué)可以思考)： 整數(shù)m,n的奇偶與冪函數(shù)y?x系？（先轉(zhuǎn)化為根式再判斷） mn mn (m,n?Z,且m,n互質(zhì))的定義域以及奇偶性有什么關(guān) 結(jié)果：形如y?x(m,n?Z,且m,n互質(zhì))的冪函數(shù)的奇偶性（1）當(dāng)m，n都為奇數(shù)時(shí)，f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； （2）當(dāng)m為奇數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，f（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； （3）當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，f（x）是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限內(nèi). 知識(shí)點(diǎn)一：根式、指數(shù)冪的運(yùn)算 1、根式的概念：若x?a，則x叫做a的次方根， n?1,n?N n ? ? ? （1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

8、，正數(shù)的n次方根為正，負(fù)數(shù)的n次方根為負(fù)，記作na； （2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n 次方根有兩個(gè)（互為相反數(shù)），記作 （3）負(fù)數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根都是0. 2、n次方根的性質(zhì)：（1 ） n ?an為奇數(shù) ?a； （2 ? ?|a|n為偶數(shù) 3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：（1 ）a?； （2 ）a mn m?n ? 1a mn ? a?0,m,n?N ? ,n?1? 注意：0的正指數(shù)冪等于0，負(fù)指數(shù)冪沒有意義. 4、指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：?a?0,b?0,r,s?R? rrs )ras?a? (1a；(2)a ? s ?ars； (3)?ab?arbr r 知識(shí)點(diǎn)二：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 b 1、指數(shù)式

9、與對(duì)數(shù)式的互化：a?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0) 2、幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式 （1）負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)； （2）loga1?0（a?1） （3）logaa?1（a?a）； （4）對(duì)數(shù)恒等式：a3、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) （1）loga(MN)?logaM?logaN； （2）loga n 1 logaN ?N M ?logaM-logaN； N logmN ； logma （3）logaM?nlogaM(n?R)； （4）換底公式：logaN? （5）logab?logba?1 ； （6）logab?logbc?logac ； （7）logab?logbc?logcd?logad ； （8

10、）logambn?n logab； m 知識(shí)點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) x 注：指數(shù)函數(shù)y?a與對(duì)數(shù)函數(shù)y?logax互為反函數(shù) （1）互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象關(guān)于y?x對(duì)稱， 即(a,b)在原函數(shù)圖象上，則(b,a)在其反函數(shù)圖象上； （2）互為反函數(shù)的兩函數(shù)在各自的定義域上單調(diào)性相同。 知識(shí)點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 1、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)； 2、若g(x)?kf(x)， 則k?0時(shí)，g(x)與f(x)單調(diào)性相同；k?0時(shí)，g(x)與f(x) 單調(diào)性相反； 3 、若g(x)?4、若g(x)?a g(x)與f(x)單調(diào)性相同（注意f(x)?0）； f(x) ，則a?1時(shí)，g

11、(x)與f(x)單調(diào)性相同；0?a?1時(shí)，g(x)與f(x) 單調(diào)性相反； 5、若g(x)?logaf(x)， 則a?1時(shí)，g(x)與f(x)單調(diào)性相同； 0?a?1時(shí)，g(x)與f(x)單調(diào)性相反；（注意f(x)?0）知識(shí)點(diǎn)六： 冪函數(shù)及性質(zhì) ? 冪函數(shù)y?x的性質(zhì)：（第一象限內(nèi)） （1）所有的冪函數(shù)在(0,?)都有定義，都過點(diǎn)(1,1)； （2）?0時(shí)，在0,?)上遞增，且又都過(0,0)； ?0時(shí)，且在(0,?)上遞減； （3）0?1時(shí)，圖象上凸；?1時(shí)，圖象下凹； （4）在直線x?1的右側(cè)，指數(shù)越大，圖象越高。 一、 冪函數(shù) 1、冪的有關(guān)概念 正整數(shù)指數(shù)冪：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪： an?a?a

12、.a(n?N)? n 零指數(shù)冪：a?1(a?0) a?p? 1 (a?0,p?N)ap 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a?a?0,m,n?N,且n?1) ?m m a 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：2、冪函數(shù)的定義 ? 1a mn ? a?0,m,n?N,且n?1) a y?x一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)(我們只討論a是有理數(shù) 的情況) 3、冪函數(shù)的圖象 冪函數(shù)y?xa 111 a?,1,2,3a?2,?1,? 322時(shí)的圖象見上圖： 當(dāng)時(shí)的圖象見左圖；當(dāng)由圖象可知，對(duì)于冪函數(shù)而言，它們都具有下列性質(zhì)： y?xa有下列性質(zhì)： (1)a?0時(shí)： 圖象都通過點(diǎn)(0,0)，(1,1)

13、； 在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大，即在(0,?)上是增函數(shù) (2)a?0時(shí)： 圖象都通過點(diǎn)(1,1)； 在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，即在(0,?)上是減函數(shù)； 在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無限地接近，向右與x軸無限地接近 (3)任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸至多只有一個(gè)交點(diǎn)； (4)任何冪函數(shù)圖象都不經(jīng)過第四象限； (5)任何兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有三個(gè)交點(diǎn) 二、指數(shù)函數(shù) 定義：函數(shù)y?a(a?0,且a?1)稱指數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域?yàn)镽； 2）函數(shù)的值域?yàn)?0,?)； 3）當(dāng)0?a?1時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)a?1時(shí)函數(shù)為增函數(shù). 4）有兩個(gè)特殊點(diǎn)：零點(diǎn)(0,1)，不變點(diǎn)(1,a).

14、 5）抽象性質(zhì)： f(x?y)?f(x)?f(y),f(x?y)?f(x)/f(y) x 三、對(duì)數(shù)函數(shù) 如果ab?N（a?0，a?1），那么b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN?b ab?N?logaN?b（a?0，a?1，N?0） 1對(duì)數(shù)的性質(zhì) loga?MN?logaM?logaN loga M ?logaM?logaN N N?0，a?0，a?1）logmbn?logaMn?nlogaM（M?0，a n logab（ a, b m 0且均不為1） 2換底公式：logaN? logmN ( a 0 , a ? 1 ；m?0,m?1) logma 常用的推論： （1）logab?logba?1 ；logab?logbc?logca?1 n （2）logamb? n gllogab （a、b?0且均不為1） o m 1?ogl1m Nogl?a m n Na （3）loga1?0，logaa?1 （4）對(duì)數(shù)恒等式alogaN? N 一、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì) 函數(shù)y?logax（a?0，a?1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：定義域：(0,?)； 值域：R； 過點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x?1時(shí)， y?0 當(dāng)a?0時(shí)，在（0，?）上是增函數(shù)；