1、 1 / 8 第四講 四邊形加深（3）菱形 【例題1】 若從菱形的一個(gè)頂點(diǎn)到對邊的距離等于邊長的一半，則菱形最大的內(nèi)角是 ； 解：菱形最大內(nèi)角為150。 【例題2】 若菱形周長為12cm，一條對角線長3cm，則菱形的兩個(gè)鄰角分別是 ； 解：易求兩個(gè)鄰角分別為60和120。 【例題3】 某菱形的兩條對角線長度之比是2 : 3，且它們的長度之和為50，則菱形面積 是 ； 解：設(shè)對角線長為2 ,3xx，325010 xxx， 對角線長為20,30， 1 20 30300 2 S 菱形 。 【例題4】 菱形ABCD中，,AE AF分別垂直平分,BC CD于,E F，則EAF ； 解：易求60EAF。

2、【例題5】 菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，45AOC，2OC ，則點(diǎn)B的 坐標(biāo)為 解：延長BC交y軸于點(diǎn)D，易求1,2ODCDBC， 21,1B A x y C B O 2 / 8 【例題6】 如圖，兩張寬為1cm的矩形紙條交叉疊放，其中重疊部分部分是四邊形ABCD,已知 30BAD則重疊部分的面積是 ； 解：作AEBC于E，AFCD于F，易證ABEADF，ABAD， 又ADBC，ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形， ABCD是菱形，又易求邊長為2，2S 重 。 【例題7】 若菱形的一條對角線長是另一條對角線長的2倍，且此菱形的面積為S，則它的邊長 為 ； 解：設(shè)兩條對角線的

3、長為2 ,4kk，易求邊長為5k， 又 11 24 22 SkkkS，邊長 5 2 S 。 【例題8】 菱形的一個(gè)內(nèi)角為60， 一條對角線長為5 3， 菱形周長為_cm， 面積為_ 2 cm； 解：若較長對角線為5 3，則周長為20，面積為 25 3 2 ； 若較短對角線為5 3，則周長為20 3，面積為 75 3 2 。 【例題9】 菱形ABCD的邊長為1，面積為 7 9 ，則ACBD的值是 ； 解：設(shè)2 ,2ACa BDb，則 22 7 1,2 9 abab， 216 9 ab， 4 3 ab， 8 2 3 ACBDab。 【例題10】 菱形的周長為a， 高為h， 一條對角線長為m， 則另

4、一條對角線長可表示為 ； 解：設(shè)另一條對角線長為x，易求邊長為 4 a ， 1 422 aah Shmxx m 菱形 ， 另一條對角線為 2 ah m 。 B C A D 3 / 8 A B C D E P EA B CD F MN 【例題11】 已知一個(gè)四邊形ABCD的邊長分別為a、b、c、d，且 4444 4abcdabcd，則 此四邊形的形狀是 ； 解：由已知等式配方得 444422222222 222240abcda bc da bc dabcd， 22 2 2222 20abcdabcd 22 ,ab cd abcdbdbd abcd，四邊形的形狀是菱形。 【例題12】 已知：如圖，

5、在菱形ABCD中，4ABa，E在BC上，2ECa，120BAD，P 在BD上，則PEPC的最小值為 ； 解：連結(jié),AP AE，易知點(diǎn),A C關(guān)于BD對稱，APCP PEPCPCPCAE， 由 1 ,60902 3 2 BEABABCAEBAEa，2 3PEPCa 【例題13】 如圖：已知在ABCD中, 2ADAB，AEABBF，,EC FD分別交,AD BC于 ,M N，求證：四邊形DMNC是菱形。 4 / 8 A B C D N M O A B C D E M N A B C D N M O A B C D N M O A B C D E M N A B C D E M N 【例題14】 如

6、圖， 已知在四邊形ABCD中，90ABCADC，M是AC的中點(diǎn)，BNMD， 且MNBD，垂足為點(diǎn) O。求證：四邊形BNDM是菱形 【例題15】 如圖，已知在ABC中，90BAC，ADBC于點(diǎn) D，BE平分ABC交AD于 點(diǎn) M，AN平分DAC交BC于點(diǎn)N。求證：四邊形AMNE是菱形。 【例題16】 在Rt ABC，90ACB，AD是A的平分線交BC于D。CH是AD邊上的高交 AD于F，DEAB于E。求證：四邊形CDEF是菱形。 F EH D B A C 5 / 8 【例題17】 ,M N分別是ABCD的對邊,AD BC的中點(diǎn)，且2ADAB。連結(jié),AN BM交于P。 連結(jié),DN CM交于 Q。求

7、證：PMQN為矩形。 【例題18】 菱形ABCD中，120BAD，M是 BC 上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)。 求證：若AMN有一個(gè)角為60，則AMN為等邊三角形。 【例題19】 邊長a為的菱形ABCD中，60DAB，E為AD上異于,A D兩點(diǎn)的移動點(diǎn)，F(xiàn)是 CD上的動點(diǎn)，且AECFa。 求證：不論,E F怎樣移動，BEF為正三角形。 求BEF面積的最小值。 Q P NC MA D B N C D B A M 6 / 8 F B CD A E 7 / 8 1. 如圖，菱形PQRS內(nèi)接于矩形ABCD，其中P、Q、R、S分別是邊AB、BC、CD、DA上 的點(diǎn)，已知15PB ，20BQ ，30PR ，40Q

8、S ，求矩形ABCD的周長。 2. 設(shè)一菱形的邊長是一個(gè)兩位數(shù)，對調(diào)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)碼與十位數(shù)碼的位置得到新數(shù)恰為該菱 形的一條對角線長的一半。 若該菱形的另一條對角線長也是整數(shù)， 則該菱形的邊長為_； 解：設(shè)：菱形的邊長為：10ab，則其一條對角線長的一半為：10ba。 由題意1010abba即ab而 22 (10)(10)9 11()()abbaab ab 為完全平方數(shù)，又 09,218abab知11ab經(jīng)驗(yàn)算得6,5ab 所以菱形的邊長為65。 3. D為等腰直角ABC邊BC上一點(diǎn)，AD的垂直平分線EF分別交AC、AD、AB于E、O、 F，2BC。 當(dāng)2CD時(shí)， 求AE； 證明： 當(dāng)2

9、22CD時(shí)， 四邊形AEDF是菱形。 解： （1）設(shè)：AEx，則2ECx，又EF垂直平分AD，EDEAx 在RT ECD中，由勾股定理得： 222 (2)( 2)xx解得 3 2 x 3 2 AE O S R Q P DC BA 8 / 8 （2）當(dāng)2 22CD 時(shí)，設(shè)AEx 在RT ECD中，由勾股定理得： 222 (2)(2 22)xx解得42 2x ECCD易證EDABAFEFED 又EF垂直平分AD AFDF進(jìn)一步再證：EDFD AEEDFDAF 四邊形AEDF是菱形。 4. 菱形ABCD中，120BAD，M是BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，求證：若AMN中有一 個(gè)角為60，則AMN為等邊三角形； 證：若60MAN，連結(jié)AC， 易證ABMACN，ANAM，AMN為等邊三角形。 若60AMN，過點(diǎn)M作MEAC交AB于點(diǎn)E， 易證BME為等邊三角形，