1、第五節(jié)線性方程組解的結(jié)構(gòu),解向量的概念,設(shè)有齊次線性方程組,若記,（1）,一、齊次線性方程組解的性質(zhì),則上述方程組（1）可寫成向量方程,若,稱為方程組(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解,齊次線性方程組解的性質(zhì),證明:,（2）若為的解，為實(shí)數(shù)，則也是的解,證明:,證畢.,由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間一般記作,基礎(chǔ)解系的定義,二、基礎(chǔ)解系及其求法,定理1,線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,現(xiàn)對(duì)分別取下列組數(shù)：,依次得,從而求得原方程組的個(gè)解：,下面證明是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基礎(chǔ)解系,所以個(gè)

2、維向量亦線性無關(guān).,由于是的解故也是的解.,所以是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,說明,解空間的基不是唯一的,基礎(chǔ)解系即為方程組的解空間的基,若是的基礎(chǔ)解系，則其通解為,解,對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚仃?，?例2解線性方程組,解,對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換,即方程組有無窮多解，,且其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.,所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為,故原方程組的通解又可寫為,例3,證：,證明：,非齊次線性方程組解的性質(zhì),三、非齊次線性方程組解的性質(zhì),證明:,證畢,非齊次線性方程組的通解,非齊次線性方程組的通解為,其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)（特）解.

3、,與方程組有解等價(jià)的命題,線性方程組有解,線性方程組的解法,（1）應(yīng)用克萊姆法則,（2）利用初等變換,特點(diǎn)：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計(jì)算量大，容易出錯(cuò)，但有重要的理論價(jià)值，可用來證明很多命題,特點(diǎn)：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運(yùn)算在一個(gè)矩陣（數(shù)表）中進(jìn)行，計(jì)算簡單，易于編程實(shí)現(xiàn)，是有效的計(jì)算方法,例4求解方程組,解,解,例5求下述方程組的解,所以方程組有無窮多解.,且原方程組等價(jià)于方程組,所以方程組的通解為,齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法,四、小結(jié),（1）對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，將其化為行最簡形：,由于,令,（2）得出，同時(shí)也可知方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系含有個(gè)線