1、m序列及相關(guān)理論分析摘要：本文闡述了常用偽隨機序列m序列的產(chǎn)生方法，對其自相關(guān)性和互相關(guān)性等主要性質(zhì)進(jìn)行簡要分析。關(guān)鍵字：m序列；偽隨機序列；相關(guān)性； m code sequence and relevant theory analyses Abstict: This paper expounds the generation method of commonly used pseudo-random sequence: m sequence and carries the brief analys on auto correlation mutual correlation. Keyword

2、s:m sequence; pseudo-random sequence; correlation1 引言在通信系統(tǒng)中，隨機噪聲會使數(shù)字信號出現(xiàn)誤碼和使模擬信號產(chǎn)生失真和，而且隨機噪聲也是限制信道容量的一個重要因素。因此人們經(jīng)常希望消除或減少通信系統(tǒng)中的隨機噪聲。另一方面，在實際需要時人們產(chǎn)生隨機噪聲并利用隨機噪聲。例如，在實驗室中可能要故意加入一定的隨機噪聲對通信設(shè)備或系統(tǒng)的各個性能指標(biāo)進(jìn)行測試。又如通過利用摻入隨機噪聲來提高通信的可靠性。為了滿足上述實際應(yīng)用要求，則需要產(chǎn)生滿足對應(yīng)要求的隨機噪聲信號。實際中，難以重復(fù)產(chǎn)生和處理隨機噪聲是利用隨機噪聲的最大困難。2 m序列的產(chǎn)生m序列又稱偽隨

3、機序列、偽噪聲碼(PN)或偽隨機碼。其中：確定序列是可以預(yù)先確定并且可以重復(fù)實現(xiàn)的序列；隨機序列是既不能預(yù)先確定又不能重復(fù)實現(xiàn)的序列；偽隨機序列是不能預(yù)先確定但可以重復(fù)產(chǎn)生的序列。m序列（全稱：最長線性反饋移位寄存器序列）是最為常用的一種偽隨機序列。m序列是由帶線性反饋的移位寄存器產(chǎn)生的序列，并且具有最長的周期。由n級串接的移位寄存器和對應(yīng)級別的反饋邏輯電路可組成動態(tài)移位寄存器，如果反饋邏輯線路只用線性模2和構(gòu)成，那么就稱此寄存器為線性反饋移位寄存器；但是反饋邏輯線路中出現(xiàn)如“與”、“或”等運算，那么稱此寄存器為非線性反饋移位寄存器。線性反饋邏輯的移位寄存器設(shè)定初始狀態(tài)后，在時鐘促使下，每次移

4、位后各級的寄存器狀態(tài)就會發(fā)生移位改變狀態(tài)。整個系統(tǒng)中的每一級寄存器都會隨著時鐘節(jié)拍的推移輸出一個序列，該序列成為移位寄存器序列，以下圖1所示的5級移位寄存器為例，圖中線性反饋邏輯服從一下遞歸關(guān)系： （1）圖1 一種5級移位寄存器由圖中可知：將第二級移位寄存器的輸出和第五級移位寄存器的輸出經(jīng)過模2和運算后反饋到第一級的輸入中。假設(shè)這5級移位寄存器的初始值為00001，第1、2、3、4級移位寄存器存儲值為0，第五級存儲值為1。在移位時鐘節(jié)拍的作用下，各級移位寄存器的輸出狀態(tài)轉(zhuǎn)移流程圖如下表1所示。經(jīng)過31個時鐘后，第31節(jié)拍移位寄存器的狀態(tài)與第0拍的狀態(tài)(初始狀態(tài))相同，因而再經(jīng)過一個時鐘之后，從

5、第32拍開始，移位寄存器必定重復(fù)第1至第31拍的過程。這說明該移位寄存器的狀態(tài)具有周期性，其周期長度為31。如果從第5級輸出，選擇1000為起點，便可得到如下序列：表1 m序列發(fā)生器狀態(tài)轉(zhuǎn)移流程圖移位時鐘節(jié)拍an-1an-2an-3an-4an-5an= an-2 an-50000011110000020100003101000401010151010116110101711101080111019101111101101101101101012001100130001111410001115110001161110011711110118111110190111102000111121100

6、11122110010230110012410110025010110260010112710010028010010290010003000010031000011由上表可以發(fā)現(xiàn)，對于具有5級的移位寄存器共有25-1=31種不同的狀態(tài)。上述序列中出現(xiàn)了除全0以外的所有狀態(tài)，因此上述序列即為可能得到的最長周期的序列。因此具有上述具體線性反饋的移位寄存器的只要移位寄存器不是全0的初始狀態(tài)，就能得到最長周期的序列。其實，從任何一級寄存器輸出所得到的都是周期為31的序列，只是這些序列的節(jié)拍不同而已，但是這些序列都是m序列即最長線性反饋移位寄存器序列。帶有線性反饋的移位寄存器周期長短由寄存器的級數(shù)、線

7、性反饋邏輯電路和初始狀態(tài)三種因素決定。但在產(chǎn)生最長周期的序列時，關(guān)鍵要有合適的線性反饋邏輯而且還要求初始狀態(tài)非全0即可。n級線性反饋移位寄存器如圖2所示。圖2中Ci表示反饋線的兩種可能鏈接狀態(tài)，Ci=0表示連線斷開，第n-i級輸出未加入反饋；Ci=1表示連線接通，第n-i級輸出加入反饋中。一般形式的線性反饋邏輯表達(dá)式為： （2）圖2 n級線性反饋移位寄存器將等式左邊的an移到右邊，并將an=C0an(C0=1)代入式（2），則式可改寫為 （3）定義一個與式（3）相對應(yīng)的多項式 （4）其中x的冪次表示元素相應(yīng)的位置。上式成為線性反饋移位寄存器的特征多項式。特征多項式與輸出序列的周期有密切關(guān)系?？?/p>

8、以證明，當(dāng)F(x)滿足下列三個條件就可以確定產(chǎn)生m序列：（1）F(x)是不可約的，即不能再分解因式；（2）F(x)可整除,這里，n是移位寄存器的位數(shù)，p是m序列周期；（3）F(x)不能整除，這里。滿足上述條件的多項式成為本原多項式。如表2所示為各級的本原多項式系數(shù)。表2 本原多項式系數(shù)n本原多項式系數(shù)的八進(jìn)制表示代數(shù)式2731342354561037211843591021102011 當(dāng)為素數(shù)時，由分解出的所有的級數(shù)為r的不可約多項式均為m序列的特征多項式。在這一部分，將給出由分解出的級數(shù)r的不可約多項式的條數(shù)N1和能產(chǎn)生m序列的特征多項式的條數(shù)Nm。由唯一分解定理可知，任一個大于1的正整數(shù)

9、n都可以表示為素數(shù)的乘積，即，式中，為素數(shù)；是正的冪數(shù)。不難求出一個求r次不可約多項式個數(shù)的普遍公式 （5）表3 m序列長度、不可約多項式個數(shù)和m序列的條數(shù)級數(shù)r2r-1NmN121113322415665316966381871271630825548569511609910102360993 m序列性質(zhì)m序列具有非常優(yōu)良的數(shù)字理論特性，這是它能夠得到廣泛應(yīng)用的根本原因，m序列既具有一定的隨機性，由具有確定性（周期性），以下為他的主要理論特性：3.1 均衡性序列中1和0個數(shù)具有均衡性，即在每個周期內(nèi)，0出現(xiàn)次，1出現(xiàn)次。周期的m徐磊，是由n級線性反饋移位寄存器產(chǎn)生的，其反饋邏輯是（）型二項式

10、的本原多項式。這個多項式就是該線性移位寄存器的狀態(tài)變換矩陣T的特征多項式，而且滿足，這就表明，該反饋線性移位寄存器的狀態(tài)經(jīng)過次變換后回到初始狀態(tài)，完成一個循環(huán)周期，在這次變換中，恰好遍歷了除“全0”之外的全部種狀態(tài)。3.2 游程在一個序列中連續(xù)出現(xiàn)的相同碼成為一個游程，連碼的個數(shù)成為游程的長度。M序列中共有個游程，其中長度等于的游程占游程總數(shù)的，此外，還有一個長為n的1游程和一個長為n-1的0游程。3.3 循環(huán)相加性若某個n級線性反饋移位寄存器產(chǎn)生的m序列，根據(jù)它的反邏輯可以寫出xp序列 （6）當(dāng)然也有 （7）其中是各級的反饋系數(shù)?，F(xiàn)求其模2和 （8）其中符號表示模2加。可見，與是具有相同反饋

11、邏輯的m序列，只是出相不同。因此，一般地可以表示為 （9）這個性質(zhì)，稱為m序列的循環(huán)相加性，用文字來表述是：m序列與其循環(huán)移位序列的模2和，必為此序列的另一個循環(huán)移位序列，生成后的m序列可以看做是原m序列經(jīng)過延時后的結(jié)果。3.4 優(yōu)良的自相關(guān)特性為了產(chǎn)生實際中的波形和利于數(shù)學(xué)處理，常常采用的是m序列的雙極性形式，即，這里。m序列的自相關(guān)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式 （10）其中可以看出，若區(qū)多個周期，則時，m序列的歸一化自相關(guān)函數(shù)值為1，其余時刻時值為。如下圖3圖3 m序列的自相關(guān)函數(shù)由此可得到單極性m序列和雙極性m序列的自相關(guān)函數(shù)規(guī)律：（1）m序列的單極性和雙極性的自相關(guān)曲線在t=0處都有一個尖峰，其他

12、處的值很??；（2）雙極性m序列的自相關(guān)曲線具有更為良好的特性；（3）由于自相關(guān)函數(shù)具有類沖激性質(zhì)，則其功率譜具有更寬的值，類似于白噪聲。3.5 互相關(guān)特性對于周期性函數(shù)，若二者周期均為T，則互相關(guān)函數(shù) （11）互相關(guān)系數(shù) （12）如果的周期不同，例的周期為和的周期為,則二者的互相關(guān)函數(shù) （13）互相關(guān)系數(shù) （14）對于周期性二進(jìn)制序列，如果的周期為，的周期為那么它們的互相關(guān)函數(shù) （15）互相關(guān)系數(shù) （16）式中表示最小公倍數(shù)。對于有1和0構(gòu)成的兩個二進(jìn)制序列，其相關(guān)函數(shù) （17）相關(guān)系數(shù) （18）式中A表示兩序列對應(yīng)元素相同的個數(shù)，即模2加后0的個數(shù)；D表示兩序列對應(yīng)元素不同的個數(shù)，即模2加后

13、1的個數(shù)；P表示相關(guān)元素總數(shù)，即P=A+D。兩個周期分別為和，且和互素的m序列之間的互相關(guān)函數(shù)是一個常熟，即，如果這個常熟很小，那么不大嚴(yán)格地說，這兩個序列是正交的。同理，這兩個波形也是正交的。3.6 功率譜密度我們知道，信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度構(gòu)成一對傅里葉變換?？芍苯訉κ剑?0）進(jìn)行傅里葉變換來求m序列的功率譜，但是為了方便，可表示為如下形式 （19）上式的傅里葉變換為 （20）式（19）中，p為m序列的周期， Tb為碼元周期，為的傅里葉變換，為的傅里葉變換，為的傅里葉變換。m序列的功率譜具有如下特點：（1）功率譜為線狀譜，譜線間隔為。（2）譜線包絡(luò)以規(guī)律變換。（3）直流分量強度與序列周期平方稱反比。（4）功率譜帶寬取決于碼元周期。4 結(jié)束語 偽隨機噪聲具有類似于隨機噪聲的某些統(tǒng)計特性，同時又能夠重復(fù)產(chǎn)生。由于它具有隨機噪聲的優(yōu)點，又避免了隨機噪聲的缺點，因此m序列是目前廣泛應(yīng)用的一種偽隨機序列，其在通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如擴頻通信，衛(wèi)星通信的碼分多址，數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)中的加密、加擾、同步、誤碼率測量等領(lǐng)域。參考文獻(xiàn)1樊昌信,曹麗娜.通信原理M.北京:國防工