1、,【主要內(nèi)容】 介紹幾種基本的插值方法（如Lagrange插值、分段線性插值、三次樣條插值等）與數(shù)據(jù)的最小二乘擬合方法。 【主要目的】了解Mathematica提供的插值函數(shù)與擬合函數(shù)的使用方法，通過實(shí)例學(xué)習(xí)如何用插值與擬合解決實(shí)際問題,注意兩者的聯(lián)系與區(qū)別。,第七講 插值與擬合實(shí)驗(yàn),【引例1】,插 值,插值可以理解為，要根據(jù)一個用表格表示的函數(shù)，計算表中沒有的函數(shù)值。,插值在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是個老問題。它最初來源于天體計算由若干觀測值計算任意時刻星球的位置。,插值在機(jī)械加工等工程技術(shù)與數(shù)據(jù)處理等科學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用。插值又是數(shù)值微分、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值解等數(shù)值計算的基礎(chǔ)。,一、一維插值,

2、知n+1個節(jié)點(diǎn)( xj , yj ) (j = 0, 1, .,n), 其中xj 互不相同， 不妨設(shè)a=x0x1n,實(shí)例1,在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為： 5，8，9，15，25，29，31，30， 22， 25，27，24。 試估計每隔1/10小時的溫度值。,程序4 Mathematic,實(shí)例2 機(jī)翼加工問題,已知機(jī)翼上緣輪線數(shù)據(jù)如下：,用三次樣條函數(shù)畫出機(jī)翼曲線。,程序5 Mathematic,4、用Mathematic做二維網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,Interpolation date ,實(shí)例3 海底地形圖的繪制,為了在一新的海域建立新的航道，需要知道海底深

3、度，并繪制 海底地形圖?，F(xiàn)使用一艘勘測船，對一矩形區(qū)域內(nèi)均勻網(wǎng)格上 海底深度進(jìn)行勘測，得到以下數(shù)據(jù)（x與y為點(diǎn)的坐標(biāo)）：,假定海底經(jīng)過海水沖刷，充分光滑，也沒有礁石與洞穴。試用 插值方法得到此海域深度數(shù)據(jù)并繪制海底地形圖與等高線圖。,程序6 Mathematic,海底地形圖,等高線圖,【引例2】,擬 合,設(shè) R=at+b a,b為待定系數(shù),根據(jù)一組數(shù)據(jù)（平面上若干點(diǎn)），確定一條曲線，使這些點(diǎn)與曲線總體來說盡量接近，這就是曲線擬合。,已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點(diǎn)（xi, yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合

4、得最好。,y=f(x),i 為點(diǎn)（xi, yi) 與曲線 y=f(x) 的距離,擬合與插值的關(guān)系,曲線插值與擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近 似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。,若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對象 整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬 合。,若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問題；,曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法,第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f (x)=a1 r1(x)+a2 r2(x)+ +am rm (x) （1） 其中 a1, a2, am

5、 為待定系數(shù)。,第二步: 確定a1,a2, am 的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）： 使n個點(diǎn)（xi, yi) 與曲線y=f (x)的距離i 的平方與最小 。,記,問題歸結(jié)為，求a1,a2, am 使J(a1,a2, am)最小。,注：線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +am rm (x)中函數(shù) r1(x), rm (x)的選取，主要是將數(shù)據(jù) (xi, yi)，i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定f (x)：,用Mathematic做線性最小二乘擬合,Fit數(shù)據(jù)表，基函數(shù)表，擬合變量,實(shí)例4 施肥效果,某研究所為了研究氮肥（N）的施肥量對土豆產(chǎn)量的影響， 做了十次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見下表，其中ha代表公頃，t代表 噸，kg代表千克。,試分析氮肥的施肥量與土豆產(chǎn)量之間的關(guān)系。,先畫散點(diǎn)圖看看數(shù)據(jù)點(diǎn)的位置關(guān)系:,數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖,擬合函數(shù),擬合效果圖為:,實(shí)例5 沙巖體空間分布,某淺層天然氣開發(fā)公司所提供的某地區(qū)淺層十幾口 深井沙巖體主狀圖與井位圖表，數(shù)據(jù)如下表，要求 建立該地區(qū)的沙巖體空