1、向量及其運(yùn)算（含答案解析）考試目標(biāo) 主詞填空1.空間向量基本定理及應(yīng)用空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.2.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).則a+b= .a-b= . ab=.若a、b為兩非零向量，則abab=0 =0.題型示例 點(diǎn)津歸納【例1】 已知空間四邊形OABC中，AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC.M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn).求證：OGBC.例1題圖【解前點(diǎn)津】 要證O

2、GBC，只須證明即可. 而要證,必須把、用一組已知的空間基向量來表示.又已知條件為AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC，因此可選為已知的基向量.【規(guī)范解答】 連ON由線段中點(diǎn)公式得： 又,所以)=().因?yàn)?且，AOB=AOC.所以=0,即OGBC.【解后歸納】 本題考查應(yīng)用平面向量、空間向量和平面幾何知識(shí)證線線垂直的能力.【例2】 在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，求：異面直線BA1與AC所成的角.【解前點(diǎn)津】 利用，求出向量與的夾角,，再根據(jù)異面直線BA1，AC所成角的范圍確定異面直線所成角.【規(guī)范解答】 因?yàn)?所以=因?yàn)锳BBC，BB1AB，BB1BC， 例2圖所以=0

3、,=-a2.所以=-a2.又所以=120.所以異面直線BA1與AC所成的角為60【解后歸納】 求異面直線所成角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須會(huì)把所求向量用空間的一組基向量來表示.【例3】 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、DC的中點(diǎn).(1)求AE與D1F所成的角；(2)證明AE平面A1D1F.【解前點(diǎn)津】 設(shè)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，且=e1，例3圖=e2，=e3，以e1，e2,e3為坐標(biāo)向量，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則：(1)A(1，0，0)，E(1，1，)，F(xiàn)(0，0)，D1(0，0，1)，所以 =(0,1,), =(0, ,-1

4、).所以=(0,1),(0, ,-1)=0.所以，即AE與D1F所成的角為90(2)又=(1,0,0)=，且=(1,0,0)(0,1,)=0.所以 AED1A1，由(1)知AED1F，且D1A1D1F=D1.所以AE平面A1D1F.【解后歸納】本題考查應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成的角和證線面垂直的方法.【例4】 證明：四面體中連接對(duì)棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)且互相平分(此點(diǎn)稱為四面體的重心).【規(guī)范解答】E,G分別為AB,AC的中點(diǎn),EG,同理HF，EGHF .從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對(duì)角線EF,GH相交于一點(diǎn)O,且O為它們的中點(diǎn),連接OP,OQ.只要能證明向量=-就可以說明

5、P,O,Q三點(diǎn)共線且O為PQ的中點(diǎn),事實(shí)上, ,而O為GH的中點(diǎn), 例4圖CD,QHCD,=0.=,PQ經(jīng)過O點(diǎn),且O為PQ的中點(diǎn).【解后歸納】本例要證明三條直線相交于一點(diǎn)O,我們采用的方法是先證明兩條直線相交于一點(diǎn),然后證明兩向量共線,從而說明P、O、Q三點(diǎn)共線進(jìn)而說明PQ直線過O點(diǎn).對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.在下列條件中,使M與A、B、C一定共面的是( )A. B. C. D.2.與向量a=(12,5)平行的單位向量是( )A. B. C. D.3.若向量a， b，c是空間的一個(gè)基底，向量ma+b，na-b，那么可以與m、n構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是( )A.a B.b C. c

6、D.2a4. a、b是非零向量，則a，b的范圍是 ( )A.(0，) B.0， C.(0，) D.0，5.若a與b是垂直的，則ab的值是( )A.大于0 B.等于零 C.小于0 D.不能確定6.向量a(1，2，-2)，b(-2，-4，4)，則a與b( )A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不對(duì)7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，則線段AB的長(zhǎng)度是( )A.1 B.2 C.3 D.48. m8，3，a，n2b,6,5，若mn，則a+b的值為( )A.0 B. C. D.89. a1,5,-2，bm,2,m+2，若ab，則m的值為( )A.0 B.6 C.-6 D.610. A(2，-

7、4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a，b，則a+b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為( )A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)11. a(2，-2，-3)，b(2,0,4)，則a與b的夾角為( )A.arc cos B. C. D.9012.若非零向量ax1，y1，z1，bx2，y，z2,則是a與b同向或反向的( )A.充分不必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.不充分不必要條件二、思維激活13.已知向量a, b, c滿足a+b+c=0,|a|=3,| b|=1,| c|=4.則ab+bc+ca= .14.已知|a|2，|b|，ab-，則

8、a、b所夾的角為 .15.已知空間三點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，點(diǎn)P在xOy平面上且PAAB，PAAC，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 .16.已知a8,-1,4，b2,2,1，則以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積為 . 三、能力提高17.已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC，線段BDAB，且與所成的角是30，如果ABa，ACBDb，求C、D之間的距離.18.長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AB、B1C1中點(diǎn)，若ABBC2，AA14，試用向量法求：(1)的夾角的大小.(2)直線A1E與FC所夾角的大小.19.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為B

9、B1、DC的中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE.第20題圖20.如圖所示,已知ABCD,O是平面AC外的一點(diǎn),求證:A1,B1,C1,D1四點(diǎn)共面.第11課 空間向量及其運(yùn)算習(xí)題解答1.C 由向量共線定義知.2.C 設(shè)此向量為(x,y),，3.C4.D 根據(jù)兩向量所成的角的定義知選D.5. B 當(dāng)ab時(shí)，ab=0(cos a, b=0)6.C a=(1,2,-2)=-b ab.7.C |AB|=3.8.C mn,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，8=2bk,3=6k,a=5k，k= 故a=,b=8,a+b=+8=9.B ab 1m+52-2(m+2)=0. m=6.10.B =(-1,0,-2)

10、, =(-4,9,0)，a+b=(-5,9,-2).11.C cos(ab)=-.12.A若，則a與b同向或反向，反之不成立. 13.-13 a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)=-(9+1+16)=-13.14.cosa, b=.a,b所夾的角為.15.(-8,6,0) 由向量的數(shù)量的積求得.16.9 S=|a|b|sina, b求得.17.如圖，由AC，知ACAB.過D作DD，D為垂足，則DBD30，|CD|2= 第17題圖b2+a2+b2+2b2cos120a2+b2.CD點(diǎn)評(píng)：本題把線段轉(zhuǎn)化成向量表示，然后利用向量進(jìn)行運(yùn)算.18.如圖，建立空間坐標(biāo)系，則D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).由題設(shè)可知E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，4).(1)令的夾角為，第18題圖則cos.的夾角為-arccos.(2)直線A1E與FC的夾角為arccos19.如圖所示，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，且設(shè)i，j，k，以i、j、k的坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則（，0，），(0,-1)