1、本章主要內(nèi)容,1、透鏡的位相調(diào)制作用 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng),0、序 言,透鏡是一種非常重要的光學(xué)元件，其主要功能包括：成像和傅里葉變換。 1）透鏡的成像功能,2）透鏡的傅里葉變換功能 （夫瑯和費(fèi)衍射）,question: 透鏡為什么具有這樣的功能？,1、透鏡的位相調(diào)制作用,1.1 透鏡對(duì)入射波前的作用,透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率：,在旁軸近似下，忽略透鏡對(duì)光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為,1、透鏡的位相調(diào)制作用,則透鏡復(fù)振幅透過(guò)率表示為：,(常數(shù)項(xiàng)),(調(diào)制項(xiàng)),對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對(duì)空間分布，分析時(shí)可忽略掉。

2、,對(duì)于調(diào)制項(xiàng)，它改變了平面上位相的相對(duì)空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會(huì)聚球面波。根據(jù)幾何光學(xué)中介紹的透鏡成像公式,(為透鏡的焦距),1、透鏡的位相調(diào)制作用,因此，透鏡的位相調(diào)制因子：,answer: 透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過(guò)透鏡的不同部位時(shí)，經(jīng)過(guò)的光程差不同，即所受時(shí)間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。,結(jié)論：通過(guò)上面的分析可知，透鏡對(duì)透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會(huì)具有這種能力呢？,1、透鏡的位相調(diào)制作用,1.2 透鏡的厚度函數(shù),主要考慮薄透鏡的情況 (忽略了折射效應(yīng)),如果進(jìn)一步忽略光在透鏡表面的反射以及透鏡內(nèi)部吸收造成的損耗，認(rèn)為通過(guò)透鏡的光波振幅分

3、布不發(fā)生變化，只是產(chǎn)生一個(gè)大小正比于透鏡各點(diǎn)厚度的位相變化，于是透鏡的位相調(diào)制可以表示為：,l(x,y),l(x,y)是q到q之間的光程：,則,上式具有普遍意義，對(duì)于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。,1、透鏡的位相調(diào)制作用,下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結(jié)構(gòu)參數(shù)(構(gòu)成透鏡的兩個(gè)球面的曲率半徑r1和r2)之間的關(guān)系。,僅考慮旁軸光,將透鏡一剖為二,1、透鏡的位相調(diào)制作用,1.3 透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率,根據(jù)厚度函數(shù)的表達(dá)式，可得到在旁軸近似下，光波通過(guò)透鏡時(shí)在(x,y)點(diǎn)發(fā)生的位相延遲,常數(shù)項(xiàng),透鏡位相因子,(n為透鏡材料的折射率),1

4、、透鏡的位相調(diào)制作用,以上推導(dǎo)的關(guān)系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在旁軸近似條件下推導(dǎo)出來(lái)的。 透鏡的作用： 將入射平面波變換為會(huì)聚（發(fā)散）球面波 ，如下圖所示。,入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有 的位 相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結(jié)果。,1、透鏡的位相調(diào)制作用,1）若在非旁軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。 2）實(shí)際透鏡總是有大小的，即存在一個(gè)有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)p(x,y)來(lái)表示透鏡的有限孔徑，即,于是透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率可以完整的表示為：,其中，,表示透鏡對(duì)入射波前的位相調(diào)制；,表示透鏡對(duì)于入射波前大小范圍的限制。

5、,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),回顧一下：利用透鏡實(shí)現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場(chǎng)的空間頻譜，即實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的運(yùn)算。,透鏡為什么具有這種功能呢？ * 根本原因在于它具有能對(duì)入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說(shuō)是透鏡的二次位相因子在起作用。 下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過(guò)程，并深入討論透鏡實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),透鏡后焦面上的場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)u1(x,y)的傅立葉變換(空間頻譜) 根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后端場(chǎng)u2(x,y)為:,從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場(chǎng)u(x,y)為：,?,2.1 物體放置在透

6、鏡前d處,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),后焦面上的場(chǎng)分布為,焦面場(chǎng)是透鏡前端場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。 如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過(guò)率為t(x0,y0)。若用振幅為a的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場(chǎng)為：,根據(jù)角譜理論，透鏡前端場(chǎng)的角譜為：,則有：,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),上式具有普遍意義，它證明在物體透射場(chǎng)的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場(chǎng)的傅里葉變換(空間頻譜)。 如果d0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。,其中，t( )為透過(guò)率函數(shù)t( )的頻譜。對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布為,（二次位相彎曲因子）,2、透鏡的傅里葉

7、變換性質(zhì),如果d=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場(chǎng)分布是物體準(zhǔn)確的傅里葉變換。,如果d=0，物體在透鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個(gè)位相彎曲。,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),2.2 物體放置在透鏡后方,沿光波傳播方向逐面進(jìn)行計(jì)算，最終可獲得透鏡后焦面上的場(chǎng)分布為,對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度分布為,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),總結(jié)一下： 在單色平面波照明下，無(wú)論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對(duì)于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間）頻譜面。 如果采用球面波照明時(shí)，透鏡還能進(jìn)行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面

8、嗎?,answer: 透鏡還能其傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點(diǎn)光源的像面位置。具體推導(dǎo)過(guò)程可參考有關(guān)參考書，這里不再贅述。,p,x,x=f tan() x=f sin()= x=f fx,f,fx=cos() /=sin()/ ,焦平面上的空間位置坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的頻率信息,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),2.3 透鏡孔徑的影響,引入光瞳函數(shù)p(x,y)來(lái)表示透鏡的有限孔徑，,透鏡的復(fù)振幅透過(guò)率可以表示為：,則后焦面上的光場(chǎng)分布為：,其中，,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),卷積的效果是使物體頻譜圖象產(chǎn)生某種程度的模糊，或者說(shuō)失真。透鏡孔徑越小，這種模糊越嚴(yán)重。,假定透鏡孔徑是寬度為的矩形函數(shù)，即,

9、下圖是物體頻譜與光瞳函數(shù)傅里葉變換卷積的結(jié)果。,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),物體放置在透鏡后方時(shí),物體的透射光場(chǎng)為,焦平面上的復(fù)振幅分布為,其中，,* 若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場(chǎng)分布只是部分物體的傅里葉變換，此時(shí)頻譜圖像產(chǎn)生模糊。,（投影光瞳函數(shù)）,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),物體放置在透鏡前方時(shí),以 波矢量在y0z平面內(nèi)傳播的平面波分量受透鏡孔徑限制的情況來(lái)說(shuō)明對(duì)于譜面光場(chǎng)的影響。 （1）,部分的空間頻率將全部成像在焦平面上,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),部分的空間頻率將部分成像在焦平面上,（2）,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),部分的空間頻率都不能成像在焦平面上。,

10、（3）,2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),總結(jié)一下： （1）有限大小的透鏡孔徑可能會(huì)造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實(shí)際上 是一個(gè)低通濾波器：低頻成分可以通過(guò)，稍高頻率成分可以部分通過(guò)，高 頻部分則完全被濾出。 （2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅 里葉變換結(jié)果帶來(lái)誤差，頻率越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸暈 效應(yīng)。 （3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。,3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng),光學(xué)頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來(lái)產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對(duì)它進(jìn)行測(cè)量、分析來(lái)研究物體的空間結(jié)構(gòu)。,上圖所示為二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)的光路。s為相干點(diǎn)光源，l1為準(zhǔn)直透鏡，l2為傅里葉變換透鏡。p1平面（l2前焦面）放置輸入物體，其復(fù)振幅透過(guò)率為t(x1,y1)。在p2平面（l2后焦面）上，輸出光場(chǎng)分布正比于物體的空間頻譜，即,3、光學(xué)頻譜分析系統(tǒng),強(qiáng)度記錄得到物體的功率譜為,光學(xué)頻譜分析可用于微小物體的形狀尺寸檢測(cè)、質(zhì)量檢測(cè)、圖像分析等領(lǐng)域。,本章小結(jié),1）透鏡具有成像和傅里葉變換的功能，其根本原因在于透鏡具有對(duì)入射波前進(jìn)行位相調(diào)制的功能；而透鏡之所以具有這種位相調(diào)制的功能就在于透鏡本身存在