1、,工程數(shù)學,前面介紹的 n+1個節(jié)點的 Newton -Cotes求積公式， 其特征是節(jié)點是等距的。這種特點使得求積公式便于 構造，復化求積公式易于形成。但同時也限制了公式 的精度。 n是偶數(shù)時，代數(shù)精度為n+1， n是奇數(shù)時， 代數(shù)精度為n 。,我們知道 n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精 確度不低于n 。設想：能不能在區(qū)間a,b上適當選擇 n+1個節(jié)點 x 0 x1,x2,xn ,使插值求積公式的代數(shù)精 度高于n？,答案是肯定的，適當選擇節(jié)點，可使公式的精度 最高達到2n+1，這就是本節(jié)所要介紹的高斯求積公式。,第四節(jié) 高斯(Gauss)求積公式,工程數(shù)學,工程數(shù)學,考慮更一般形式的數(shù)值

2、積分問題,定義：若求積公式 對一切不高于m次的多項式p(x)都等號成立，即R(p)=0;而對于某個m+1次多項式等號不成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為m.,一、構造高斯型求積公式的基本原理和方法,工程數(shù)學,工程數(shù)學,定理1：設節(jié)點x0, x1,xna,b，則求積公式 的代數(shù)精度最高為2n+1次。,分別取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并讓其成為 等式，得： A0 + A1 + + An =ab(x)dx x0 A0 + x1 A1 + + xn An =ab (x) xdx . x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =ab (x) xr dxr,工程數(shù)學,工程數(shù)學,事

3、實上,取 2n+2次多項式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求積公式,這里 x0, x1,xn是節(jié)點，有,左右,故等式不成立,求積公式的代數(shù)精度最高為 2n+1次。 證畢.,上式共有 r +1個 等式，2n+2個待定系數(shù)(變元),要想如 上方程組有唯一解，應有方程的個數(shù)等于變元的個數(shù), 即 r+1=2n+2, 這樣導出求積公式的代數(shù)精度至少是 2 n+1,下面證明代數(shù)精度只能是2n+1.,工程數(shù)學,工程數(shù)學,定義: 使求積公式 達到最高代數(shù)精度2n+1的求積公式稱為Guass求積公式。 Guass求積公式的節(jié)點xk稱為Guass點,系數(shù)Ak稱為 Guass系數(shù).,因為

4、Guass求積公式也是插值型求積公式,故有 結論: n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度 d 滿足： n d 2n+1。,工程數(shù)學,工程數(shù)學,例：選擇系數(shù)與節(jié)點，使求積公式（1） 成為Gauss公式。,解：n=1, 由定義，若求積公式具有3次代數(shù)精度，則 其是Gauss公式。 為此，分別取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并讓 其成為等式，得,求解得：,所求Gauss公式為：,(1) 用待定系數(shù)法構造高斯求積公式,工程數(shù)學,工程數(shù)學,設Pn(x)，n=0,1,2,為正交多項式序列， Pn(x)具有如下性質(zhì)：,1）對每一個n ,Pn(x)是 n 次多項式。 n=0,1, 2）,(正交

5、性),3）對任意一個次數(shù)n-1的多項式P(x)，有,4）Pn(x)在(a,b)內(nèi)有n個互異零點。,（2）利用正交多項式構造高斯求積公式,工程數(shù)學,工程數(shù)學,定理2 設x0,x1, ,xn 是n+1次正交多項式Pn+1(x)的n+1 個零點,則插值型求積公式,是Guass型求積公式。,證明：只要證明求積公式的代數(shù)精確度為2n+1,即對 任意一個次數(shù)2n+1的多項式求積公式都精確成立。,設 f(x)為任意一個次數(shù)2n+1的多項式，則有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，滿足 f(xk)=r(xk) 這里， Pn+1(x)是 n+1次正交多項式， q(x)、r(x)均是 次數(shù)n的多項式。,

6、工程數(shù)學,工程數(shù)學,由性質(zhì)3）及(4)式，有,由于n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精確度不低于n，故有,即對 f(x)為任意一個次數(shù)2n+1的多項式求積公式都精確成立。 證畢,工程數(shù)學,工程數(shù)學,利用正交多項式構造高斯求積公式的基本步驟：,代入積分式,因此，求積系數(shù)為,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,常用的高斯求積公式,1.Gauss - Legendre 求積公式 (1) 其中高斯點為Legendre多項式的零點,Guass點xk, Guass系數(shù)Ak都有表可以查詢.,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,一般區(qū)間的Ga

7、uss - Legendre 求積公式,如果積分區(qū)間是a,b，用線性變換,這樣就可以用Gauss - Legendre求積公式計算一般區(qū)間的積分.,將積分區(qū)間從a,b變成-1,1,由定積分的換元積 分法有,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,例 利用高斯求積公式計算,解: 令x=1/2 (1+t), 則 用高斯-Legendre求積公式計算.取n=4 積分精確值為 I=ln2=0.69314718 由此可見，高斯公式精確度是很高的.,工程數(shù)學,工程數(shù)學,例:分別用不同方法計算如下積分,并做比較,各種做法比較如下： 1、用Newto

8、n-Cotes公式 當n=1時，即用梯形公式，I0.9270354 當n=2時, 即用Simpson公式, I 0.9461359 當n=3時, I 0.9461090 當n=4時, I 0.9460830 當n=5時, I 0.9460830,I準=0.9460831,工程數(shù)學,工程數(shù)學,2:用復化梯形公式 令h=1/8=0.125 3：用復化辛卜生公式 令h=1/8=0.125,I準=0.9460831,工程數(shù)學,工程數(shù)學,4、用Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0

9、.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831,I準=0.9460831,工程數(shù)學,工程數(shù)學,5、用Gauss公式 解：令x=(t+1)/2,I準=0.9460831,（2）用3個節(jié)點的Gauss公式,（1）用2個節(jié)點的Gauss公式,工程數(shù)學,工程數(shù)學,算法比較,此例題的精確值為0.9460831. 由例題的各種算法可知： 對Newton-cotes公式，當n=1時只有1位有效數(shù)字，當n=2時有3位有效數(shù)字，當n=5時有7位有效數(shù)字。 對復化梯形公式有2位有效數(shù)字，對復化辛卜生公式有6位有效數(shù)字。 用復合梯形公式，對積分區(qū)間0，1二分了1

10、1次用2049個函數(shù)值，才可得到7位準確數(shù)字。 用Romberg公式對區(qū)間二分3次，用了9個函數(shù)值，得到同樣的結果。 用Gauss公式僅用了3個函數(shù)值，就得到結果。,工程數(shù)學,工程數(shù)學,2.Gauss-Chebyshev公式,常用的高斯求積公式,工程數(shù)學,工程數(shù)學,3.Gauss-Laguerre公式,工程數(shù)學,工程數(shù)學,4.Gauss-Hermite公式,工程數(shù)學,工程數(shù)學,二、高斯型求積公式的截斷誤差和穩(wěn)定性分析,工程數(shù)學,工程數(shù)學,已知Hermite插值誤差是,因為對2n+1次多項式求積公式準確成立，即,代入上式,即有,工程數(shù)學,工程數(shù)學,以下將證明高斯形求積公式的求積系數(shù)恒正,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,工程數(shù)學,將積分區(qū)間a , b n等分，在每個小子區(qū)間上使用一個節(jié)點數(shù)較少的Gauss型求積公式,然后把它們加起來，就得到整個區(qū)間上Gauss型求積公式的復化形式。,復化Gauss求積公式的基本思想：,下面用Gauss-Legender求積公式推導復化Gauss型求積公式.,將積分區(qū)間a , b n等分，,三、復化Gauss