1、1,第四章 級(jí)數(shù),第三節(jié) 泰勒展式,2,通過(guò)對(duì)冪級(jí)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓的內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù).,現(xiàn)在我們來(lái)研究與此相反的問(wèn)題，就是：任何一個(gè)解析函數(shù)是否能用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示？這個(gè)問(wèn)題不但有理論意義，而且很有實(shí)用價(jià)值.,3,定理4.1 設(shè)函數(shù)f(z)在圓盤在,內(nèi)解析，那么在U內(nèi)，,4,證明：在U內(nèi)任取一點(diǎn)z,以z0為心，在U內(nèi)作一個(gè)圓C，使z屬于其內(nèi)區(qū)域。我們有,由于當(dāng) 時(shí)，,又因?yàn)?5,6,所以,上式的級(jí)數(shù)當(dāng),時(shí)收斂。把上面的展開(kāi)式代入積分中，得,7,8,9,其中,由于z是U內(nèi)任意一點(diǎn)，定理的結(jié)論成立。,注解、在定理4.1中，f(z)在U內(nèi)的冪級(jí)數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)

2、的泰勒展式。,10,假設(shè),在,內(nèi)可展開(kāi)為另一展開(kāi)式,兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，并令,可得到系數(shù),11,系4.1 冪級(jí)數(shù),是它的和函數(shù)f(z)在收斂圓內(nèi)的泰勒展式，即,12,因此，我們有解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式的唯一性定理： 系4.2 在定理4.1中，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(z)在U內(nèi)不可能有另一種形式的冪級(jí)數(shù)。 注解：利用泰勒展式的唯一性定理，我們可以用多種方法求一個(gè)函數(shù)的泰勒展式，所得結(jié)果一定相同。,特別地，當(dāng),時(shí)，級(jí)數(shù),稱為麥克勞林級(jí)數(shù).,13,如果f(z)在z0解析, 則使f(z)在z0的泰勒展開(kāi)式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離, 即R=|a-z0|.,O,x,y,z0,a

3、,這是因?yàn)閒(z)在收斂圓內(nèi)解析, 故奇點(diǎn)a不可能在 收斂圓內(nèi). 又因?yàn)槠纥c(diǎn)a不可能在收斂圓外, 不然 收斂半徑還可以擴(kuò)大, 因此奇點(diǎn)a只能在收斂圓周 上.,14,收斂半徑：,15,將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法,16,17,例1、求函數(shù),在z=0的泰勒展式。 解：由于,所以,因此,18,例2、求ln(1+z) 在z=0的泰勒展式,解：已給函數(shù)在z=0的值為0，它在z=0的一階導(dǎo) 數(shù)為1，二階導(dǎo)數(shù)為-1，n階導(dǎo)數(shù)為,19,因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：,其收斂半徑1。,20,例3、 求,在z=0的泰勒展式（其中不是整數(shù)），,解：已知函數(shù)在z=0的值為1，它在z=0的一階導(dǎo) 數(shù)為，二階導(dǎo)數(shù)為(-1)， n階導(dǎo)數(shù)為 (-1) (-n+1) 因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：,21,其中,其收斂半徑為1。 注解、這是二項(xiàng)式定理的推廣，對(duì)a為整數(shù) 的情況也成立。,22,例4、,函數(shù)sec z 在,內(nèi)解析，求它在這個(gè)園盤內(nèi)的泰勒展式。 解：我們利用冪級(jí)數(shù)的唯一性和除法來(lái)求它的