1、2018,專題九 二次函數(shù)的綜合,考情分析 二次函數(shù)的綜合題每年必考，分值912分.2017年第22題為二次函數(shù)的變換探究問題；2016年第23題、2013年第24題為二次函數(shù)的規(guī)律探究問題；2015年第23題、2012年第23題為二次函數(shù)的一般探究問題；2014年第24題為二次函數(shù)的新定義探究問題,例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線ya(x1)24a(a0)交x軸于A，B兩點，點A在點B的左邊，其頂點為點C，一條開口向下的拋物線經(jīng)過A，B，D三點，其頂點D在x軸上方，且其縱坐標(biāo)為3，連接AC，AD，CD，CD交x軸于點E.,類型 一般探究問題,(1)求A，B兩點的坐標(biāo)； (2)求經(jīng)過A

2、，B，D三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； (3)當(dāng)ACD為等腰三角形時，求a的值； (4)將AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，若點C的對應(yīng)點恰好落在(2)中的拋物線上，直接寫出a的值,解：(1)令y0，a(x1)24a0. a0，(x1)240. x11，x23.A(1,0)，B(3,0) (2)A(1,0)，B(3,0)，過A，B，D三點的拋物線的對稱軸為x1.又頂點D的縱坐標(biāo)為3，D(1,3)設(shè)經(jīng)過A，B，D三點的拋物線解析式為ym(x1)23，把A(1,0)代入可得4m30.,訓(xùn)練 1.(2017樂山節(jié)選)如圖2，拋物線C1：yx2ax與C2：yx2bx相交于點O，C，C1與C2分別交x軸于點

3、B，A，且B為線段AO的中點,例2 拋物線C1：y1a1x2b1xc1中，函數(shù)值y1與自變量x之間的部分對應(yīng)關(guān)系如下表： (1)設(shè)拋物線C1的頂點為P，則點P的坐標(biāo)為_； (2)現(xiàn)將拋物線C1沿x軸翻折，得到拋物線C2：y2a2x2b2xc2，試求C2的解析式；,類型 變換探究問題,(1,0),(3)現(xiàn)將拋物線C2向下平移，設(shè)拋物線在平移過程中，頂點為點D，與x軸的兩交點為點A，B(點A在B左邊) 在最初的狀態(tài)下，至少要向下平移多少個單位，點A，B之間的距離才不小于6個單位？ 在最初的狀態(tài)下，若向下平移m(m0)個單位時，對應(yīng)的線段AB長為n，請直接寫出m與n的數(shù)量關(guān)系,解：(1)【提示】觀察

4、表格可知，拋物線上點(3，4)與點(1，4)關(guān)于對稱軸對稱，拋物線的對稱軸為x1.頂點P坐標(biāo)(1,0) (2)設(shè)拋物線C1的解析式為y1a(x1)2， 把(2，1)代入得到a1， 拋物線C1的解析式為y1(x1)2. 將拋物線C1沿x軸翻折，得到拋物線C2，根據(jù)對稱性可知，拋物線C2的頂點為(1,0)，a1，C2的解析式為y2(x1)2.,(3)拋物線C2向下平移過程中，對稱軸為x1，當(dāng)AB之間的距離為6時，可知A(4,0)，B(2,0)， 此時拋物線C2的解析式為y(x4)(x2) 即y(x1)29. 拋物線C2至少要向下平移9個單位，點A，B之間的距離才不小于6個單位,訓(xùn)練 2.(2017

5、張家界)已知拋物線C1的頂點為A(1,4)，與y軸的交點為D(0,3) (1)求C1的解析式； (2)若直線l1：yxm與C1僅有唯一的交點，求m的值；,(3)若拋物線C1關(guān)于y軸對稱的拋物線記作C2，平行于x軸的直線記作l2：yn.試結(jié)合圖形回答：當(dāng)n為何值時，l2與C1和C2共有：兩個交點；三個交點；四個交點； (4)若C2與x軸正半軸交點記作B，試在x軸上求點P，使PAB為等腰三角形,解：(1)拋物線C1的頂點為A(1,4)， 設(shè)拋物線C1的解析式為ya(x1)24. 把D(0,3)代入ya(x1)24得3a4， a1.拋物線C1的解析式為y(x1)24， 即yx22x3.,(3)拋物線

6、C1關(guān)于y軸對稱的拋物線記作C2， 拋物線C2的頂點坐標(biāo)為(1,4)，與y軸的交點為(0,3) 拋物線C2的解析式為yx22x3. 當(dāng)直線l2過拋物線C1的頂點(1,4)和拋物線C2的頂點(1,4)，即n4時，l2與C1和C2共有兩個交點；,當(dāng)直線l2過D(0,3)，即n3時，l2與C1和C2共有三個交點； 當(dāng)3n4或n3時，l2與C1和C2共有四個交點 (4)如答圖2，,例3 已知：拋物線Ck：yx22kxk2k1(k1,2,3，k為正整數(shù))，拋物線Ck的頂點為Mk. (1)當(dāng)k1時，M1的坐標(biāo)為_，當(dāng)k2時，M2的坐標(biāo)為_； (2)拋物線Ck的頂點Mk是否在同一條直線上？如在，請直接寫出這

7、條直線的解析式；,類型 規(guī)律探究問題,(1,2),(2,3),(3)若(2)中的直線為直線l，直線l與拋物線Ck的左交點為Ak，求證：Mk與Ak1重合； (4)拋物線Ck與x軸的右交點為Bk，是否存在AkBkMk是直角三角形？若存在，求k的值，若不存在，請說明理由 (1)解：【提示】由yx22kxk2k1(xk)2k1，可得頂點Mk(k，k1)， k1時，M1(1,2)；k2時，M2(2,3),Ak(k1，k) Ak1(k，k1) Mk(k，k1)，Mk與Ak1重合 (4)當(dāng)AkBkMk是直角三角形時，有兩種可能： 當(dāng)BkAkAkMk時， 直線l的解析式為yx1，AkBkO45.,過點Ak作A

8、kNkx軸， Ak(k1，k)，ONkk1.AkNkk. BkNkk. OBk2k1，即Bk(2k1,0) 把Bk(2k1,0)代入yx22kxk2k1得 (2k1)22k(2k1)k2k10， 解得k3或0(舍去),當(dāng)BkMkAkMk時， 直線l的解析式為yx1， MkBkO45. Mk(k，k1)，同理可得Bk(2k1,0) 把Bk(2k1,0)代入yx22kxk2k1得(2k1)22k(2k1)k2k10， 解得k1或0(均不符合題意舍去) 綜上所述，滿足條件的k的值為3.,(3)探究如下問題：(用含a的代數(shù)式表示) 拋物線y3的頂點坐標(biāo)為(_，_)； 依此類推第n條拋物線yn的頂點坐標(biāo)

9、為(_，_)； (4)若拋物線C10的頂點為N，是否存在MNA10是等腰直角三角形的情況？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由,3,25a,n,(n2)2a,解：(1)拋物線C1：y1a(x1)2k1(a0)交x軸于點M(2,0)與點A1(b1,0)，對稱軸為直線x1， 拋物線與x軸的另一個交點為(4,0) b14. (2)由與(1)相同的方法可得b26，b38，b410，按此規(guī)律可得bn2n2， An1Anbnbn12n22(n1)22.,例4 如圖4，拋物線yax2bxc(a0)的頂點為M，若MCB為等邊三角形，且點C，B在拋物線上，我們把這種拋物線稱為“完美拋物線”，已知點M與點O重

10、合，BC2.,類型 新定義探究問題,(1)求過點O，B，C三點的完美拋物線y1的解析式； (2)如圖4，若依次在y軸上取點M1，M2，Mn，分別作等邊三角形及完美拋物線y1，y2，y3，其中等邊三角形的相似比都是21，n為正整數(shù),B2的橫坐標(biāo)為_，B3的橫坐標(biāo)為_，Bn的橫坐標(biāo)為_； 判斷點B1，B2，Bn是否在同一直線上，若在，求出直線的解析式；若不在，說明理由 求Bn的坐標(biāo)及完美拋物線yn1的頂點坐標(biāo),(2)點B1，B2，Bn在同一條直線上；理由如下：考慮Bn2，Bn1，Bn情形，關(guān)系如答圖3，Mn1，Mn，Mn1分別為Cn2Bn2，Cn1Bn1，CnBn的中點，都在y軸上，連接Bn2Bn1，Bn1Bn.,4小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題： 定義：如果二次函數(shù)ya1x2b1xc1(a10，a1，b1，c1是常數(shù))與ya2x2b2xc2(a20，a2，b2，c2是常數(shù))滿足a1a20，b1b2，c1c20，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”求函數(shù)yx23x2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”,小明是這樣思考的：由yx23x2函數(shù)可知