1、中南大學現(xiàn)代遠程教育課程考試（?？疲土曨}及參考答案高等數(shù)學一、填空題1函數(shù)的定義域是.解. 。 2若函數(shù)，則解. 3答案：1正確解法：4.已知，則_, _。由所給極限存在知, , 得, 又由, 知5.已知，則_, _。, 即, 6函數(shù)的間斷點是。解：由是分段函數(shù)，是的分段點，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因為 所以函數(shù)在處是間斷的，又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點是。7. 設, 則8，則。答案：或9函數(shù)的定義域為 。解：函數(shù)z的定義域為滿足下列不等式的點集。的定義域為：且10已知,則 . 解令，則，11設,則 。 。12 設則 。解13. .解：由導數(shù)與積分互為逆運算得，.14.設是連續(xù)函數(shù)，且，則

2、 .解：兩邊對求導得，令，得，所以.15若，則。答案： 16設函數(shù)f(x,y)連續(xù)，且滿足，其中則f(x,y)=_.解 記，則，兩端在D上積分有：，其中（由對稱性），即 ，所以，17求曲線所圍成圖形的面積為 ，（a0） 解： 18.；解：令，則原冪級數(shù)成為不缺項的冪級數(shù)，記其各項系數(shù)為，因為，則，故.當時，冪級數(shù)成為數(shù)項級數(shù)，此級數(shù)發(fā)散，故原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為.19的滿足初始條件的特解為.20微分方程的通解為.21微分方程的通解為.22.設n階方陣A滿足|A|=3，則=|= .答案：23.是關于x的一次多項式，則該多項式的一次項系數(shù)是. 答案： 2;24. f(x)=是 次多項式，其一次項的系

3、數(shù)是 。解：由對角線法則知，f(x)為二次多項式，一次項系數(shù)為4。25. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二個發(fā)生”可表示為AB+BC+AC .26. 事件A、B相互獨立，且知則. 解：A、B相互獨立， P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.627. A，B二個事件互不相容，則. 解： A、B互不相容，則P(AB)=0，P(AB)=P(A)P(AB)=0.828. 對同一目標進行三次獨立地射擊，第一、二、三次射擊的命中率分別為0.4,0.5,0.7,則在三次射擊中恰有一次擊中目標的概率為.解：設A、B、C分別表示事件“第一

4、、二、三次射擊時擊中目標”，則三次射擊中恰有一次擊中目標可表示為，即有 P() =P(A)=0.3629.已知事件 A、B的概率分別為P（A）0.7,P（B）0.6,且P（AB）0.4，則P（） ；P（） ；解： P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9 P(AB)=P(A)P(AB)=0.70.4=0.3 30.若隨機事件A和B都不發(fā)生的概率為p，則A和B至少有一個發(fā)生的概率為.解：P(A+B)=1P二、單項選擇題1函數(shù)（ ） A.是奇函數(shù)； B. 是偶函數(shù)；C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)； D.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進行驗證。 所以B正確。2若函數(shù)，則（ ） A.；B. ；

5、C.；D. 。解：因為，所以則，故選項B正確。3設 ，則=（ ）A x Bx + 1 Cx + 2 Dx + 3解 由于，得 將代入，得=正確答案：D4已知，其中,是常數(shù)，則（ ）(A) , (B) (C) (D) 解. , 答案：C5下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。A.； B.；C. ；D.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而A, C, D三個選項中的極限都不為0，故選項B正確。6下列函數(shù)中，在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是（ ）(A); (B);(C)； (D)解. , 故不選(A). 取, 則, 故不選(B). 取, 則, 故不選(D). 答案：C 7設，則在

6、處（）A連續(xù)且可導B連續(xù)但不可導C不連續(xù)但可導D既不連續(xù)又不可導解：（B），因此在處連續(xù)，此極限不存在從而不存在，故不存在8曲線在點（1，0）處的切線是（ ） A B C D 解 由導數(shù)的定義和它的幾何意義可知， 是曲線在點（1，0）處的切線斜率，故切線方程是 ，即正確答案：A9已知，則=（ ） A. B. C. D. 6解 直接利用導數(shù)的公式計算： , 正確答案：B 10若，則（ ）。A B C D答案：D 先求出，再求其導數(shù)。11的定義域為（ ）ABC D解 z的定義域為個，選D。12.下列極限存在的是（ ）（A） （B） （C） （D）解A. 當P沿時，當P沿直線時，故不存在； B. ，

7、不存在； C. 如判斷題中1 題可知不存在； D. 因為，所以，選D13.若，在內（ ）.（A） （B）（C） （D）解：14設為奇函數(shù)，且時，則在上的最大值為（ ）AB C D解：（B）因為是奇函數(shù)，故，兩邊求導，從而，設，則，從而，所以在-10，-1上單調增加，故最大值為15函數(shù) ( )(A)、有極大值8 （B）、有極小值8 （C）無極值 （D）有無極值不確定 解， ，為極大值 （A）15.設（ ）.（A）依賴于 （B）依賴于（C）依賴于，不依賴于 （D）依賴于，不依賴于解：根據(jù)周期函數(shù)定積分的性質有,17.曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積為（ ）.（A） （B） （C） （D

8、）解：所求旋轉體的體積為故應選(B).18.設，則有（ ）.（A）（B）（C）（D）解：利用定積分的奇偶性質知，所以，故選（D）.19下列不定積分中，常用分部積分法的是（ ）。A BC D答案：B。20設，則必有（ ）（A）I0 (B)I0 (C)I=0 （D）I0的符號位不能確定解： D： 21設f(t)是可微函數(shù)，且f(0)=1，則極限（）( )（A）等于0 （B）等于 (C) 等于+ （D）不存在且非 C）解：由極坐標，原極限22.設函數(shù)項級數(shù)，下列結論中正確的是( ).（A）若函數(shù)列定義在區(qū)間上，則區(qū)間為此級數(shù)的收斂區(qū)間（B）若為此級數(shù)的和函數(shù)，則余項，（C）若使收斂，則所有都使收斂（

9、D）若為此級數(shù)的和函數(shù)，則必收斂于解：選（B）.23.設為常數(shù)，則級數(shù)（ ）.（A）絕對收斂 （B）條件收斂（C）發(fā)散（D）斂散性與有關解：因為，而收斂，因此原級數(shù)絕對收斂. 故選（A）.24.若級數(shù)在時發(fā)散，在處收斂，則常數(shù)（ ）.（A）1 （B）-1 （C）2 （D）2解：由于收斂，由此知.當時，由于的收斂半徑為1，因此該冪級數(shù)在區(qū)間內收斂，特別地，在內收斂，此與冪級數(shù)在時發(fā)散矛盾，因此.故選（B）.25.的特解可設為（ ）（A） （B）（C） （D）解：C26.微分方程的階數(shù)是指（ ）（A）方程中未知函數(shù)的最高階數(shù)； （B）方程中未知函數(shù)導數(shù)或微分的最高階數(shù)；（C）方程中未知函數(shù)的最高次

10、數(shù)； （D）方程中函數(shù)的次數(shù).解：B27.下面函數(shù)( )可以看作某個二階微分方程的通解.（A） （B）（C） （D）解：C28.A、B均為n階可逆矩陣，則A、B的伴隨矩陣=（ ）.（A）； （B）； （C） （D）； 解答：D 29. 設A、B均為n階方陣，則必有 。 (A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|=|BA| (D) (A+B)1=A1+B1解：正確答案為(C)30.A,B都是n階矩陣,則下列各式成立的是 （ ）（A） （B） （C） （D）解答：B 31. 在隨機事件A，B，C中，A和B兩事件至少有一個發(fā)生而C事件不發(fā)生的隨機事件可表示為（）（A）（

11、B）（C）（D）解 由事件間的關系及運算知，可選（A）32. 袋中有5個黑球，3個白球，大小相同，一次隨機地摸出4個球，其中恰有3個白球的概率為（）（A）（B）（C）（D）解 基本事件總數(shù)為，設A表示“恰有3個白球”的事件，A所包含的基本事件數(shù)為=5，故P(A)=，故應選（D）。33. 已知，且,則下列選項成立的是（）（A）;（B）（C）（D）解 由題可知A1、A2互斥，又0P(B)1，0P(A1)1，0P(A2)1，所以 P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故應選（C）。三、解答題1.設函數(shù) 問（1）為何值時，在

12、處有極限存在？（2）為何值時，在處連續(xù)？解：（1）要在處有極限存在，即要成立。因為所以，當時，有成立，即時，函數(shù)在處有極限存在，又因為函數(shù)在某點處有極限與在該點處是否有定義無關，所以此時可以取任意值。（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點處連續(xù)的充要條件是 于是有，即時函數(shù)在處連續(xù)。2已知，試確定和的值解. ,即,故3設，求的間斷點，并說明間斷點的所屬類型解. 在內連續(xù), , , 因此, 是的第二類無窮間斷點; , 因此是的第一類跳躍間斷點.4求方程中是的隱函數(shù)的導數(shù)（1）,解：方程兩邊對自變量求導，視為中間變量，即 整理得 （2）設，求，；解：，5設由方程所確定, 求. 解: 設, , , ,

13、 ,. 6設函數(shù)在0,1上可導，且，對于（0 ,1）內所有x有證明在（0,1）內有且只有一個數(shù)x使 .7.求函數(shù)的單調區(qū)間和極值.解 函數(shù)的定義域是 令 ，得駐點， -2 0 + 0 - 0 + 極大值極小值故函數(shù)的單調增加區(qū)間是和，單調減少區(qū)間是及，當-2時，極大值；當0時，極小值.8.在過點的所有平面中, 求一平面, 使之與三個坐標平面所圍四面體的體積最小.解: 設平面方程為, 其中均為正, 則它與三坐標平面圍成四面體的體積為, 且, 令, 則由, 求得 . 由于問題存在最小值, 因此所求平面方程為, 且.9求下列積分 (1)解：極限不存在，則積分發(fā)散.(2)解是D上的半球面，由的幾何意義

14、知I=V半球=(3) ，D由 的圍成。解關于x軸對稱，且是關于y的奇函數(shù)，由I幾何意義知，。4判別級數(shù)（常數(shù)）的斂散性. 如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?解：由，而，由正項級數(shù)的比較判別法知，與同時斂散.而收斂，故收斂，從而原級數(shù)絕對收斂.4判別級數(shù)的斂散性. 如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?解：記，則.顯見去掉首項后所得級數(shù)仍是發(fā)散的，由比較法知發(fā)散，從而發(fā)散. 又顯見是Leibniz型級數(shù)，它收斂. 即收斂，從而原級數(shù)條件收斂.4求冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)：解：，所以.又當時，級數(shù)成為，都收斂，故級數(shù)的收斂域為.設級數(shù)的和函數(shù)為，即.再令，逐項微分得，故，又顯然有，故5求解微分方程

15、(1) 的所有解.解 原方程可化為，（當），兩邊積分得，即為通解。當時，即，顯然滿足原方程，所以原方程的全部解為及。(2) 解 當時，原方程可化為，令，得，原方程化為，解之得；當時，原方程可化為，類似地可解得。綜合上述，有。(3) 解 由公式得 。三、求解下列各題1 計算下列行列式：（.2），解： （3） 解： 3設矩陣A，B滿足矩陣方程AX B，其中， , 求X 解法一：先求矩陣A的逆矩陣因為 所以 且 解法二： 因為 所以 4 設矩陣 試計算A-1B解 因為 所以 且 2設.(1)若，求；(2) 若，求；(3) 若，求.解：(1) P(B)=P(B)P(AB) 因為A，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)= P(B)=P(B)=(2) P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)= P(B)=P(B)P(AB)=(3) P(AB)= P(B)=P(B)P(AB)=3