1、1 E D CB A 平面幾何平面幾何 一、知識(shí)點(diǎn)金一、知識(shí)點(diǎn)金 1. 梅涅勞斯定理：梅涅勞斯定理：若直線l不經(jīng)過ABC的頂點(diǎn)， 并且與ABC的三邊,BC CA AB或它們的延長線 分別交于,P Q R，則1 BP CQ AR PC QA RB 注：梅涅勞斯定理的逆定理也成立 （用同一法證明）（用同一法證明） 2.塞瓦定理：塞瓦定理： 設(shè),P Q R分別是ABC的三邊,BC CA AB或它們的延長線上的點(diǎn)， 若,AP BQ CR三線共點(diǎn)，則1 BP CQ AR PC QA RB 注：塞瓦定理塞瓦定理的逆定理也成立 3. 托勒密托勒密定理定理： 在四邊形ABCD中， 有AB CDBC ADAC

2、BD， 并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD 內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立。 () ABCDEBAECADABEACD ABBE ABEACDAB CDAC BE ACCD ABAE BACEADABCAED ACAD BCED AD BCAC ED ACAD AB CDAD BCACBEED AB CDAD BCAC BD EBDABCD 證：在四邊形內(nèi)取點(diǎn) ，使， 則：和相似 又且和相似 且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 在上時(shí)成立，即當(dāng)且僅當(dāng) 、 、 、 四點(diǎn)共圓時(shí)成立； 注：托勒密托勒密定理定理的逆定理的逆定理也成立 2 4.西姆松定理：西姆松定理：若從ABC外接圓上一點(diǎn)P作,BC AB CA的垂線， 垂足分別為,D E

3、 F，則,D E F三點(diǎn)共線。 西姆松定理西姆松定理的逆定理的逆定理：從一點(diǎn)P作,BC AB CA的垂線，垂足分別為,D E F。若,D E F三點(diǎn)共 線，則點(diǎn)P在ABC的外接圓上。 5 蝴蝶定理：蝴蝶定理：圓 O 中的弦 PQ 的中點(diǎn) M，過點(diǎn) M 任作兩弦 AB，CD，弦 AD 與 BC 分別交 PQ 于 X，Y，則 M 為 XY 之中 點(diǎn)。 證明：證明：過圓心 O 作 AD 與 BC 的垂線，垂足為 S、T， 連接 OX，OY，OM，SM，MT。 AMDCMBAM/CM=AD/BC AS=1/2AD，BT=1/2BCAM/CM=AS/CT 又A=CAMSCMT MSX=MTY OMX=O

4、SX=90OMX+OSX=180 O，S，X，M 四點(diǎn)共圓 同理，O，T，Y，M 四點(diǎn)共圓 MTY=MOY，MSX=MOX MOX=MOY ，OMPQXM=YM 注：把圓換成橢圓、拋物線、雙曲線蝴蝶定理蝴蝶定理也成立 6 坎迪定理：坎迪定理：設(shè)AB是已知圓的弦，M是AB上一點(diǎn)，弦,CD EF 過點(diǎn)M，連結(jié),CF ED，分別交AB于,L N，則 1111 LMMNAMMB 。 7 斯特瓦爾特定理：斯特瓦爾特定理：設(shè)P為ABC的BC邊上任一點(diǎn)，則有 2222 PCBPBP PC APABACBC BCBCBC BC 。 注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立注：斯特瓦爾特定理的逆定理也成立 8 張角定理

5、張角定理：設(shè), ,A C B順次分別是平面內(nèi)一點(diǎn)P所引三條射線,AB AP AC上的點(diǎn)， 線段,AC CB 對(duì)點(diǎn)P的張角分別為, ，且180 ，則, ,A C B三點(diǎn)共線的充要條件是： sin()sinsin PCPBPA 3 9九點(diǎn)圓定理九點(diǎn)圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)，以及垂心與頂點(diǎn)的三條連接線段的中點(diǎn)， 共九點(diǎn)共圓。此圓稱為三角形的九點(diǎn)圓，或稱歐拉圓。ABC的九點(diǎn)圓的圓心是其外心與垂心所 連線段的中點(diǎn)，九點(diǎn)圓的半徑是ABC的外接圓半徑的 1 2 。 證明證明：ABC的九點(diǎn)圓與ABC的外接圓，以三角形的垂心為外位似中心，又以三角形的重心為 內(nèi)位似中心。位似比均為1:2。 10

6、歐拉線歐拉線：ABC的垂心H， 重心G， 外心O三點(diǎn)共線。 此線稱為歐拉線， 且有關(guān)系：2HGGO 11歐拉公式：歐拉公式：設(shè)三角形的外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R和r，則這兩圓的圓心距 (2 )OIR Rr。由此可知，2Rr。 證明證明：設(shè)外心為O，內(nèi)心為I，連結(jié)OI，延長交外接圓于,N P兩點(diǎn)，令dOI，AI交外接 圓于L，則()()2 sin2 2 sin 2 Ar RdRdNI IPLI IALB IARRr A 12笛沙格定理笛沙格定理;在ABC和A B C 中，若,AA BB CC相交于一點(diǎn)O，則AB與A B ，BC與 B C ，AC與A C 的交點(diǎn),F D E共線。 證明證明：OB

7、C和梅尼線B C D ，1 OBBD CC B B DC C O ；OAB和梅尼線A B F ，1 OAAFBB A A FBB O ； OAC和梅尼線A C E ，1 OCCEAA C CEA A O ，三式相乘，得1 BD CEAF DCEA FB 。得證 13牛頓（牛頓（Newton）定理）定理1： 圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。 證證法法1：設(shè)四邊形 ABCD 的邊 AB,BC,CD,DA 與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn) E,F,G,H. 首先證明,直線 AC,EG,FH 交于一點(diǎn).設(shè) EG,FH 分別交 AC 于點(diǎn) I,I. 顯然 AHI=BFI ，因此易知

8、AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI 故 AI/CI=AH/CF.同樣可證:AI/CI=AE/CG 又 AE=AH,CF=CG.故 AI/CI=AH/CF=AI/CI. 從而 I,I重合.即直線 AC,EG,FH 交于一點(diǎn). 同理可證:直線 BD,EG,FH 交于一點(diǎn). 因此 直線 AC,BD,EG,FH 交于一點(diǎn)。 證證法法 2：外四邊形為 ABCD，對(duì)應(yīng)內(nèi)切四邊形為 EFGH。連接 EG，F(xiàn)H 交于 P。 下面證明 BD 過 P 即可。 過 D 座 EG 的平行線交 BA 與 S，過 D 做 FH 的平行線交 BC 于 T。由于弦切角及同位角，角 BE

9、G=角 CGE=角 CDS=角 BSD。所以 SEGD 四點(diǎn)共圓，且為等腰梯形。設(shè)此圓為圓 M，圓 M 與 圓 O，內(nèi)切圓交于 EG，所以其根軸為 EG，同理對(duì)圓 N，DHFT，與圓 O 交于 HF。HF 為此兩圓 的根軸。由根軸定理，只需證明 BD 為圓 M 與圓 N 的根軸即可證明 BD，EG，HF 共于點(diǎn) P。 D 在圓 M 和圓 N 上， 所以其為根軸一點(diǎn)。 由于 SEGD， 和 DHFT 為等腰梯形， 所以 ES=DG， DH=FT。由切線長定理，DH=DG，BE=BF；所以 BE=BF，ES=FT，BS=BT。若 B 為圓 M 與圓 N 的根軸上一點(diǎn)，則 BE*BS=BF*BT，其

10、為割線長。 明顯等式成立。 所以 BD 為圓 M 與圓 N 的根軸， 則 BD，EG，HF 共于點(diǎn) P。同理 AC，EG，HF 共于點(diǎn) P。命題得證。 4 14牛頓牛頓（Newton）定理定理 2：圓外切四邊形的兩條圓外切四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)角線的的中點(diǎn)中點(diǎn)， 及該圓的及該圓的圓心圓心，三點(diǎn)共線。，三點(diǎn)共線。 證明：證明：設(shè)四邊形 ABCD 是I 的外切四邊形，E 和 F 分別 是它的對(duì)角線 AC 和 BD 的中點(diǎn)，連接 EI 只需證它過點(diǎn) F，即 只需證BEI 與DEI 面積相等。 顯然，SBEI=SBIC+SCEI-SBCE，而 SDEI=SADE+SAIE-SAID。 注意兩個(gè)式子，由

11、ABCD 外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+SAID=1/2*S 四邊形 ABCD，SADE+SBCE=1/2*SACD+1/2*SABC=1/2*S 四邊形 ABCD 即 SBIC+SAID=SADE+SBCE，移項(xiàng)得 SBIC-SBCE=SADE-SAID，由 E 是 AC 中 點(diǎn) ， SCEI=SAEI ， 故 SBIC+SCEI-SBCE=SADE+SAIE-SAID ， 即 SBEI=DEI，而 F 是 BD 中點(diǎn)，由共邊比例定理 EI 過點(diǎn) F 即 EF 過點(diǎn) I，故結(jié)論成立。 15牛頓（牛頓（Newton）定理）定理3：完全完全四邊形兩條對(duì)邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)

12、和兩條對(duì) 角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線牛頓線。 證明：證明：四邊形 ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD 中點(diǎn) M,AC 中點(diǎn) L,EF 中點(diǎn) N取 BE 中點(diǎn) P,BC 中點(diǎn) R,PNCE=Q R,L,Q 共線，QL/LR=EA/AB；M,R,P 共線，RM/MP=CD/DE； N,P,Q 共線，PN/NQ=BF/FC。 三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 PQR及梅尼線 LMN， 由梅涅勞斯定理的逆定理知 L，M，N 三點(diǎn)共線。 5 16布利安雙布利安雙定理定理：設(shè)一六角

13、形外切于一條圓錐曲線，那么它的三雙對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。在此， 提供用初等幾何證明外切于圓的情形。 記六邊形為 ABCDEF 外切于圓 O， AB， BC， CD,DE,EF,FA 上的切點(diǎn)分別是 G,H,I,J,K,L.設(shè) AB,DC 交于 X,AF,DE 交于 Y.則四邊形 AXDY 外切于圓 O,切點(diǎn)分別是 G,I,J,L。圓外切四邊形對(duì)邊切點(diǎn)連圓外切四邊形對(duì)邊切點(diǎn)連 線與主對(duì)角線交于一點(diǎn)線與主對(duì)角線交于一點(diǎn)，有 AD,GJ,LI 共點(diǎn)(記為點(diǎn) P)。同理，BE,GJ,KH 共點(diǎn)(記為點(diǎn) r),CF,LI,KH 共點(diǎn)（記為點(diǎn) q 則命題可轉(zhuǎn)為證明 DP,BR,FQ 共點(diǎn)。 17拿破侖定理拿破

14、侖定理：若在任意三角形的各邊向外作正三角形。則它們的中心構(gòu)成一個(gè)正三角形。 證明：證明：設(shè)等邊ABD 的外接圓和等邊ACF 的外接圓相交于 O；連 AO、CO、BO。 ADB=AFC=60；A、D、B、O 四點(diǎn)共圓；A、F、C、O 四點(diǎn)共圓； AOB=AOC=120； BOC=120； BCE 是等邊三角形 BEC=60； B、E、C、O 四點(diǎn)共圓； 這 3 個(gè)等邊三角形的外接圓共點(diǎn)。 設(shè)等邊ABD 的外接圓N， 等邊ACF 的外接圓M， 等邊BCE 的外接圓P 相交于 O； 連 AO、CO、BO。 A、D、B、O 四點(diǎn)共圓； A、F、C、O 四點(diǎn)共圓，B、E、C、O 四點(diǎn) 共圓，AFC=AD

15、B=BEC=60； AOB=AOC=BOC=120； NP、 MP、 MN是連心線；BO、 CO、 AO是公共弦； BONP于X；COMP 于 Y；AONM 于 Z。 X、P、Y、O 四點(diǎn)共圓；Y、M、Z、O 四點(diǎn)共圓；Z、N、X、O 四點(diǎn)共圓； N=M=P=60；即MNP 是等邊三角形。 18帕斯卡帕斯卡（Pascal）定理定理：如圖，圓內(nèi)接六邊形 ABCDEF 的邊 AB、DE 的延長線交于點(diǎn) G，邊 BC、EF 的延長線交于點(diǎn) H，邊 CD、FA 的延長線交于點(diǎn) K。則 H、G、K 三點(diǎn)共線。 證明：證明：延長 AB、CD、EF，分別交直線 CD、EF、AB 于 M、N、L 三點(diǎn)，構(gòu)成L

16、MN。 直線 BC 截 LM、MN、NL 于 B、C、H 三點(diǎn)，則 直線 DE 截 LM、MN、NL 于 G、D、E 三點(diǎn)，則|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1 直線 AF 截 LM、MN、NL 于 A、K、F 三點(diǎn)，則 連 BE，則 LALB=LFLE，。同理，。 將相乘，得。 點(diǎn) H、G、K 在LMN 的邊 LN、LM、MN 的延長線上，H、G、K 三點(diǎn)共線。 6 19蒙日定理蒙日定理（根心定理根心定理） ：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交 于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。 注：注：在平面上任給兩不同心的圓，

17、則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱 為這兩個(gè)圓的根軸。 另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱作等 冪軸。 （1）平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； （2）若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； （3）若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線； 20莫利定理（莫利定理（Morleys theorem） ，也稱為莫雷角三分線定理莫雷角三分線定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等 分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。 這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。 證法一證法一： 在ABR 中，由正弦定理，得 AR=csin/sin(+)

18、。不失一般性，ABC 外 接 圓 直 徑 為 1 ， 則 由 正 弦 定 理 ， 知 c=sin3 ， 所 以 AR=（ sin3*sin ） /sin(60-)=sin*sin(3-4sin2)/1/2(3cos-sin)=2sinsin （ 3cos+sin ） =4sinsinsin（60+）.同理,AQ=4sinsinsin(60+)在ARQ 中,由余弦定理, 得 RQ2 =16sin2 sin2 sin2 (60+)+sin2 (60+)-2sin(60+)*sin （60+） cos=16sin2 sin2 sin2 .這是一個(gè)關(guān)于，的對(duì)稱式，同理可得 PQ2 ，PR2 有相同的對(duì)

19、 稱性，故 PQ=RQ=PR,所以PQR 是正三角形。 證法二證法二： AE：AC=sin：sin（+） ，AF：AB=sin：sin（+） ， AB：AC=sin3：sin3，AE:AF=（ACsin（+）/sin） ： （ABsin（+）/sin） ， 而 sin3：sin3=（sinsin(60+)sin(60-) ） ： （sin sin(60+) sin(60-) ） ， AE：AF=sin(60+)：sin(60+)，在AEF 中，AEF=60+， 同理CED=60+，DEF=60，DEF 為正三角形。 7 21斯坦納斯坦納萊默斯定理：萊默斯定理： 如圖，已知ABC 中，兩內(nèi)角的平

20、分線 BD=CE。求證：AB=AC。 證法證法作BDF=BCE；并使 DF=BC BD=EC， BDFECB,BF=BE,BEC=DBF. 設(shè)ABD=DBC=,ACE=ECB=， FBC=BEC+=180-2-+=180-(+); CDF=FDB+CDB=+180-2-=180-(+); FBC=CDF，2+2 可推出 ABAC 矛盾！ 若 可推出 AB AC 矛盾！所以 AB=AC 22費(fèi)爾馬點(diǎn)：費(fèi)爾馬點(diǎn)：費(fèi)爾馬點(diǎn)就是到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)。 對(duì)于一個(gè)頂角不 超過120度的三角形，費(fèi)爾馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120度的點(diǎn)。 對(duì)于一個(gè)頂角超過120度的三角 形，費(fèi)爾馬點(diǎn)就是最大的內(nèi)

21、角的頂點(diǎn)。 證明證明： 在平面三角形中: (1).三內(nèi)角皆小于 120的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角 形外側(cè)做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn) P,則點(diǎn) P 就是所求 的費(fèi)馬點(diǎn).(2).若三角形有一內(nèi)角大于或等于 120 度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求. (3)當(dāng)ABC 為 等邊三角形時(shí),此時(shí)外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合（1） 等邊三角形中 BP=PC=PA，BP、PC、PA 分別為三 角形三邊上的高和中線、三角上的角分線。是內(nèi)切圓和外切圓的中心。BPCCPAPBA。 （2） 當(dāng) BC=BA 但 CAAB 時(shí)，BP 為三角形 CA 上的高

22、和中線、三角上的角分線。 證明(1)費(fèi)馬點(diǎn)對(duì)邊的張角為 120 度。 CC1B 和AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60 度=ABA1, CC1B 和AA1B 是全 等三角形,得到PCB=PA1B同理可得CBP=CA1P由PA1B+CA1P=60 度，得 PCB+CBP=60 度 , 所 以 CPB=120 度同 理 ,APB=120 度 ， APC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1 將BPC 以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn) 60 度與BDA1 重合，連結(jié) PD，則PDB 為等邊三角形，所以BPD=60 度又BPA=120 度，因此 A、P、D 三點(diǎn)在同一直線上，又

23、CPB=A1DB=120 度，PDB=60 度，PDA1=180 度，所以 A、P、D、A1 四點(diǎn)在同一直線 上，故 PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC 最短在ABC 內(nèi)任意取一點(diǎn) M（不與點(diǎn) P 重合） ， 連結(jié) AM、BM、CM，將BMC 以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn) 60 度與BGA1 重合，連結(jié) AM、GM、 8 A1G(同上)，則 AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以費(fèi)馬點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C 的距離最短。 平面四邊形費(fèi)馬點(diǎn)平面四邊形中費(fèi)馬點(diǎn)證明相對(duì)于三角型中較為簡易，也較容易研究。 （1） 在凸四邊形 ABCD 中，費(fèi)馬點(diǎn)為兩對(duì)角線 AC、BD 交點(diǎn) P。（

24、2）在凹四邊形 ABCD 中，費(fèi)馬 點(diǎn)為凹頂點(diǎn) D（P） 。 23等差冪線等差冪線定理定理：已知 A、B 亮點(diǎn)，則滿足 AP-BP=k(k 為常數(shù))的點(diǎn) P 軌跡是垂直于 AB 的一 條直線。 24婆羅摩笈多定理婆羅摩笈多定理 若圓內(nèi)接四邊形 ABCD 的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊 CD 且過對(duì)角線交點(diǎn) E 的直 線 EF 將 AB 平分對(duì)邊。 25萊莫恩萊莫恩（Lemoine）定理定理：過ABC 的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C 作它的外接圓的切線，分別和 BC、 CA、AB 所在直線交于 P、Q、R，則 P、Q、R 三點(diǎn)共線。直線 PQR 稱為ABC 的萊莫恩線。 證明：證明：由弦切角定理可以得到

25、： sinACR=sinABC ，sinBCR=sinBAC sinBAP=sinBCA，sinCAP=sinABC sinCBQ=sinBACsinABQ=sinBCA 所以， 我們可以得到： (sinACR/sinBCR)*(sinBAP/sinCAP)*(sinCBQ/sinABQ)=1， 這是角元形式的梅涅勞斯定理，所以，由此，得到ABC 被直線 PQR 所截，即 P、Q、R 共線。 9 26清宮定理清宮定理：設(shè) P、Q 為ABC 的外接圓上異于 A、B、C 的兩點(diǎn)，P 關(guān)于三邊 BC、CA、 AB 的對(duì)稱點(diǎn)分別是 U、V、W，且 QU、QV、QW 分別交三邊 BC、CA、AB 或其延長線 于 D、E、F，則 D、E、F 在同一直線上 證明證明：設(shè) P、Q 為ABC 的外接圓上異于 A、B、C 的兩點(diǎn)，P 關(guān)于三邊 BC、CA、AB 的對(duì)稱點(diǎn)分別是 U、V、W，且 QU、QV、QW 分別交三邊 BC、CA、AB 或其延長線于 D、 E、F這時(shí)，P、Q 兩點(diǎn)和 D、F、E