1、九年級 相似三角形和全等三角形分類相似三角形證明方法方法一：直接尋求相似三角形只要根據題目給定的條件尋找出線段成比例，或者角相等利用判定定理直接找出來. 例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點E、F，則AGDEGC EAB 。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分線，求證：ABCBCD 方法二：利用中間線段代換當要證明的結論中的一條線段與其他線段之間的關系難以確定時我們可以利用等線段代換，從而容易找到相應的關系。例1、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例2：已知：如圖，在ABC中，BA

2、C=900，M是BC的中點，DMBC于點E，交BA的延長線于點D。求證：（1）MA2=MDME；（2）（2）本例的關鍵是證明MAEMDA，這種具有特殊關系（有一個公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應用很多，應從下面兩個方面深刻理解：命題1 如圖，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例3：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。方法三：證明比例式或等積式的主要方法有“三點定形法”1橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是和，三個字母找到一幕

3、中的三個頂點因此只需證2縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比和中的三個字母恰為的頂點；右邊的比兩條線段是和中的三個字母恰為的三個頂點因此只需證3中間比法由于運用三點定形法時常會碰到三點共線或四點中沒有相同點的情況，此時可考慮運用等線，等比或等積進行變換后，再考慮運用三點定形法尋找相似三角形這種方法就是等量代換法在證明比例式時，常用到中間比比例中項式的證明，通常涉及到與公共邊有關的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結論要熟練掌握和透徹理解倒數式的證明，往往需要先進行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個比值和的形式，然后對比值進行等量代換，進而證明之復合式的證明比較復

4、雜通常需要進行等線代換（對線段進行等量代換），等比代換，等積代換，將復合式轉化為基本的比例式或等積式，然后進行證明【例題】“三點定型”法一類：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三點定型”分析（第一種題型主要是通過觀察就用三點定型中橫向定形法找出對應線段成比例的）例1， 已知：ACB=900，CDAB。求證：AC2=ADAB 例2， 已知：等邊三角形ABC中，P為BC上任一點，AP的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點。求證：BPPC=BMCN 二類：當不能直接用“左看、右看、上看、下看” 加“三點定形”時，如果有相等的線段時，可用相等的線段去替換。例1， 已知；AD平分BAC，EF垂直平分

5、AD與BC的延長線交于F。求證：DF2=BFCF例2， 已知；在RtABC中，A=900，四邊形DEFG為正方形。求證：EF2=BEFC三類：既不能直接用“三點定形”，又沒有相等的線段可以替換時，可以找中間比或中間量來轉化搭橋，充分體現了轉化的思想在數學中的應用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC與BD相交于O點，作BE/CD,交CA的延長線于點E.求證：OC2=OA.OE例2，已知：BD、CE是ABC的兩個高，DGBC，與CE交于F，GD的延長線與BA的延長線交于H。求證：GD2=GFGH一、等積式、比例式的證明： 等積式、比例式的證明是相似形一章中常見題型。因為這種問題變化很多，

6、同學們常常感到困難。但是，如果我們掌握了解決這類問題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。 （一）遇到等積式（或比例式）時，先看是否能找到相似三角形。 等積式可根據比例的基本性質改寫成比例式，在比例式各邊的四個字母中如有三個不重復的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長線于F。求證：CD2=DEDF。 （二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，則需要進行等線段代換或等比代換。有時還需添加適當的輔助線，構造平行線或相似三角形。 例2如圖，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于

7、P點，交AC于E點。 求證：BP2=PEPF。 例3如圖，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中點，ED交AB的延長線于F。 求證： 。 全等三角形證明方法中輔助線做法1、 截長補短通過添加輔助線利用截長補短，從而達到改變線段之間的長短，達到構造全等三角形的條件1如圖1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB求證：AC=AE+CD 分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD2、 倍長中線（線段）造全等利用三角形的中位線，在很多題目中我們很能直接找出全等三角形，所以要通過畫中位線可以很清楚的構造出來。2

8、：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.3、 作平行線在遇到角平分線的時，可按照以下兩種方式構造平行線，（1）過三角形的一個頂點作角平分線的平行線與另一邊的延長線相交，（2）過三角形的一個頂點作一邊的平行線的角的平行線。 3如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF 四、補全圖形 4如圖4，在ABC中，AC=BC，B=90，BD為ABC的平分線若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長 證明：延長AD、BC相交于F五、利用角的平分線對稱構造全等 5如圖5，在

9、四邊形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C=180證明：AD=CD 證明：在BC上截取BE=BA，連接DE 20（8分）(2014年浙江紹興)課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2

10、，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長23（12分）（2013紹興）在ABC中，CAB=90，ADBC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上（1）如圖1，AC：AB=1：2，EFCB，求證：EF=CD（2）如圖2，AC：AB=1：，EFCE，求EF：EG的值23我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等那么在什么情況下，它們會全等?(1)閱讀與證明： 對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等 對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等(證明略)對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下： 已知：ABC、A1B1C1均為銳角三角形，AB=