1、第6講冪函數(shù)與二次函數(shù)【2013年高考會這樣考】1求二次函數(shù)的解析式2求二次函數(shù)的值域與最值3利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析解決有關(guān)問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時，應(yīng)從“數(shù)”與“形”兩個角度來把握二次函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重點解決二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，掌握求函數(shù)最值的常用方法：配方法、判別式法、不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等，注重分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)梳理1冪函數(shù)的定義一般地，形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，為常數(shù)2冪函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系下，冪函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，yx1的圖象分別如右圖3冪函數(shù)的性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1定義域RR

2、R0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，)時，增x(，0時，減增增x(0，)時，減x(，0)時，減定點(0,0)，(1,1)(1,1)4.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞減在x上單調(diào)遞減奇偶性當(dāng)b0時為偶函數(shù)，b0時為非奇非偶函數(shù)頂點對稱性圖象關(guān)于直線x成軸對稱圖形 5.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)(2)頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)(3)兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)

3、(a0) 五個代表函數(shù)yx，yx2，yx3，yx，yx1可做為研究和學(xué)習(xí)冪函數(shù)圖象和性質(zhì)的代表兩種方法函數(shù)yf(x)對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x對稱(2)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要條件是函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱(a為常數(shù))雙基自測1(2011安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)2x2x，則f(1)()A3 B1 C1 D3解析f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)3.答案A2.(人教A版教材例題改編)如圖中曲線是冪函數(shù)yxn在第一

4、象限的圖象已知n取2，四個值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，答案B3(2011浙江)設(shè)函數(shù)f(x)若f()4，則實數(shù)等于()A4或2 B4或2C2或4 D2或2解析由或得4或2，故選B.答案B4已知函數(shù)f(x)x22x2的定義域和值域均為1，b，則b等于()A3 B2或3 C2 D1或2解析函數(shù)f(x)x22x2在1，b上遞增，由已知條件即解得b2.答案C5(2012武漢模擬)若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a、bR)是偶函數(shù)，且它的值域為(，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_.解析f(x)bx2(ab2a)x2a2由已知條件a

5、b2a0，又f(x)的值域為(，4，則因此f(x)2x24.答案2x24考向一二次函數(shù)的圖象【例1】(2010安徽)設(shè)abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()審題視點 分類討論a0，a0.解析若a0，則bc0，根據(jù)選項C、D，c0，此時只有b0，二次函數(shù)的對稱軸方程x0，選項D有可能；若a0，根據(jù)選項A，c0，此時只能b0，二次函數(shù)的對稱軸方程x0，與選項A不符合；根據(jù)選項B，c0，此時只能b0，此時二次函數(shù)的對稱軸方程x0，與選項B不符合綜合知只能是選項D.答案D 分析二次函數(shù)的圖象，主要有兩個要點：一個是看二次項系數(shù)的符號，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向；二是看對稱軸和最值，它

6、確定二次函數(shù)的具體位置對于函數(shù)圖象判斷類似題要會根據(jù)圖象上的一些特殊點進行判斷，如函數(shù)圖象與正半軸的交點、函數(shù)圖象的最高點與最低點等【訓(xùn)練1】 已知二次函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象的大致形狀是()解析由函數(shù)f(x)的圖象知：當(dāng)x(，1時，f(x)為減函數(shù)，f(x)0；當(dāng)x1，)時，f(x)為增函數(shù)，f(x)0.結(jié)合選項知選C.答案C考向二二次函數(shù)的性質(zhì)【例2】函數(shù)f(x)x22x2在閉區(qū)間t，t1(tR)上的最小值記為g(t)(1)試寫出g(t)的函數(shù)表達式；(2)作g(t)的圖象并寫出g(t)的最小值審題視點 分類討論t的范圍分別確定g(t)解析式解(1)f(x)(x

7、1)21.當(dāng)t11，即t0時，g(t)t21.當(dāng)t1t1，即0t1時，g(t)f(1)1當(dāng)t1時，g(t)f(t)(t1)21綜上可知g(t)(2)g(t)的圖象如圖所示，可知g(t)在(，0上遞減，在1，)上遞增，因此g(t)在0,1上取到最小值1. (1)二次函數(shù)yax2bxc，在(，)上的最值可由二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)公式求出；(2)二次函數(shù)yax2bxc，在m，n上的最值需要根據(jù)二次函數(shù)yax2bxc圖象對稱軸的位置，通過討論進行求解【訓(xùn)練2】 已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5(1)當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值(2)求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)

8、函數(shù)解(1)當(dāng)a1時，f(x)x22x2(x1)21，x5,5，x1時，f(x)取得最小值1；x5時，f(x)取得最大值37.(2)函數(shù)f(x)(xa)22a2的圖象的對稱軸為直線xa，yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)，a5或a5，故a的取值范圍是a5或a5.考向三冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例3】已知冪函數(shù)f(x)xm22m3(mN*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，求滿足(a1)(32a)的a的取值范圍審題視點 由冪函數(shù)的性質(zhì)可得到冪指數(shù)m22m30，再結(jié)合m是整數(shù)，及冪函數(shù)是偶數(shù)可得m的值解函數(shù)在(0，)上遞減，m22m30，解得1m3.mN*，m1,2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，

9、m22m3是偶數(shù)，而222233為奇數(shù)，122134為偶數(shù)，m1.而f(x)x在(，0)，(0，)上均為減函數(shù)，(a1)(32a)等價于a132a0或0a132a或a1032a.解得a1或a.故a的取值范圍為. 本題集冪函數(shù)的概念、圖象及單調(diào)性、奇偶性于一體，綜合性較強，解此題的關(guān)鍵是弄清冪函數(shù)的概念及性質(zhì)解答此類問題可分為兩大步：第一步，利用單調(diào)性和奇偶性(圖象對稱性)求出m的值或范圍；第二步，利用分類討論的思想，結(jié)合函數(shù)的圖象求出參數(shù)a的取值范圍【訓(xùn)練3】 冪函數(shù)yxa，當(dāng)a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間0,1上它們的圖象是一族美麗的曲線(如圖)設(shè)點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰

10、好被其中的兩個冪函數(shù)yx，yx的圖象三等分，即有|BM|MN|NA|.那么，()A1 B2 C3 D無法確定解析法一由條件得M，N，由一般性，可得，即log，log.所以loglog1.法二由解法一，得，則a，即1.答案A規(guī)范解答4如何求解二次函數(shù)在某個閉區(qū)間上的最值【問題研究】 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，一定要根據(jù)對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系確定最值，當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時，要根據(jù)參數(shù)的取值情況進行分類討論，避免漏解【解決方案】 對于二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)而言，首先確定對稱軸，然后與所給區(qū)間的位置關(guān)系分三類進行討論【示例】(本題滿分12分)(2011濟南模擬)已知f(x)4

11、x24ax4aa2在區(qū)間0,1內(nèi)有最大值5，求a的值及函數(shù)表達式f(x) 求二次函數(shù)f(x)的對稱軸，分對稱軸在區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)討論解答示范 f(x)424a，拋物線頂點坐標(biāo)為.(1分)當(dāng)1，即a2時，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；(4分)當(dāng)01，即0a2時，x時，f(x)取最大值為4a.令4a5，得a(0,2)；(7分)當(dāng)0，即a0時，f(x)在0,1內(nèi)遞減，x0時，f(x)取最大值為4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)綜上所述，a或a5時，f(x)在0,1內(nèi)有最大值5.f(x)4x25x或f(x)4x220x5.(12分) 求解本題易出現(xiàn)的問題是直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)最值在對稱軸處取得，忽視對