1、2014屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編19：空間角與空間距離一、選擇題 （2009高考(北京理)）若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1,與底面成60角,則到底面的距離為（）AB1 CD （2013屆北京西城區(qū)一模理科）如圖，正方體中，為底面上的動(dòng)點(diǎn)，于，且，則點(diǎn)的軌跡是（）A線段B圓弧C橢圓的一部分D拋物線的一部分二、解答題 （北京市東城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）ABCDENM如圖，在菱形中，是的中點(diǎn)， 平面，且在矩形中，（）求證：；（）求證： / 平面；（）求二面角的大小. （2013屆北京豐臺(tái)區(qū)一模理科）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，MD平面ABCD，NBMD，且NB=1，

2、MD=2；（）求證：AM平面BCN;（）求AN與平面MNC所成角的正弦值；（）E為直線MN上一點(diǎn)，且平面ADE平面MNC，求的值. （北京市東城區(qū)普通高中示范校2013屆高三12月綜合練習(xí)(一)數(shù)學(xué)理試題）如圖,在三棱錐中,側(cè)面與底面垂直, 分別是的中點(diǎn),.(1)求證:/平面;(2)若點(diǎn)在線段上,問:無(wú)論在的何處,是否都有?請(qǐng)證明你的結(jié)論;(3)求二面角的平面角的余弦值. （北京市豐臺(tái)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理試題 ）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，,平面PAB平面ABC，D、E分別為AB、AC中點(diǎn).（）求證：DE平面PBC;（）求證：ABPE；（）求二面角A-P

3、B-E的大小. （2013北京房山二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖, 是正方形, 平面,.() 求證:;() 求二面角的余弦值;()設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面,證明你的結(jié)論. （2013屆北京大興區(qū)一模理科）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)（）求證：A1B/平面ADC1；（）若AB=BB1=2，求A1D與平面AC1D所成角的正弦值 （2013屆北京市延慶縣一模數(shù)學(xué)理） 如圖，四棱錐的底面為菱形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面底面.()設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面；（）求斜線與平面所成角的正弦值；（）在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為，求的值.（北京市

4、西城區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理科試題）如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為棱的中點(diǎn)（）求證：/ 平面；（）求證：平面平面； （）求二面角的余弦值（2013北京朝陽(yáng)二模數(shù)學(xué)理科試題）如圖,四邊形是正方形,平面, 分別為,的中點(diǎn).()求證:平面;()求平面與平面所成銳二面角的大小;()在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與直線所成的角為?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.ADBCPEFGH（北京市通州區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 ）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，CC1=4，M是棱CC1上一點(diǎn)（）求證：BCAM；（）若N是AB上一

5、點(diǎn)，且，求證：CN /平面AB1M；（）若，求二面角A-MB1-C的大小（北京市房山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）（本小題滿分14分）在長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn).（）證明：；（）求與平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說明理由. （2013北京順義二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖,在長(zhǎng)方體中,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn).(I)求證:平面;(II)求證:平面;(III)若二面角的大小為,求的長(zhǎng).（2013屆北京西城區(qū)一模理科）在如圖所示的幾何體中，面為正方形，面為等腰梯形，/，（）求證：平面；（）求與平面所成角的正弦值；（）線段上是否存在點(diǎn)，使平面平面？證明

6、你的結(jié)論（北京市朝陽(yáng)區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上，且A1B1ECBD1C1AD（）求證：平面；（）在棱上是否存在點(diǎn)，使平面？ 若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （）若二面角的余弦值為，求棱的長(zhǎng)（2013北京海淀二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖1,在直角梯形中,. 把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上,連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn). (I) 求證:平面平面;(II)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等?請(qǐng)說明理由.若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是12圖2是一

7、個(gè)有.層的六邊形點(diǎn)陣它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作 第一層第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)第3層每邊有3個(gè)點(diǎn)，第層 每邊有個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)共有個(gè)13已知的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為56：3， 則該展開式中的系數(shù)為(二) 選做題 (1415題考生只能從中選做一題)14(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 已知直線的參數(shù)方程為 (參數(shù))， 圓的參數(shù)方程為 (參數(shù))，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為15(幾何證明選講選做題) 如圖3，半徑為5的圓的兩條弦和相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)， ，則弦的長(zhǎng)度為三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16(本小題滿分12分) 已知， (1) 求值；(2)

8、求的值17(本小題滿分12分) 如圖4，在直角梯形中，把沿對(duì)角線折起后如圖5所示 (點(diǎn)記為點(diǎn))點(diǎn)在平面上的正投影落在線段上，連接 (1) 求直線與平面所成的角的大??；(2) 求二面角的大小的余弦值（北京東城區(qū)普通校2013屆高三12月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)）(本小題滿分分)已知:如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,且,為中點(diǎn).()證明:/平面;()證明:平面平面;()求二面角的正弦值（北京市海淀區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）如圖，在直三棱柱中，是中點(diǎn).（I）求證：平面；（II）若棱上存在一點(diǎn)，滿足，求的長(zhǎng)；（）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（北京市海淀區(qū)2013屆高三5月查缺補(bǔ)漏數(shù)學(xué)（理

9、）已知正三角形與平行四邊形所在的平面互相垂直.又,且,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(I) 求證:() 求二面角值.（2013北京豐臺(tái)二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖(1),等腰直角三角形ABC的底邊AB=4,點(diǎn)D在線段AC上,于E,現(xiàn)將ADE沿DE折起到PDE的位置(如圖(2). ()求證:PBDE;()若PEBE,直線PD與平面PBC所成的角為30,求PE長(zhǎng). 圖(1) 圖(2)（2013北京東城高三二模數(shù)學(xué)理科）如圖,是等邊三角形, ,將沿折疊到的位置,使得.()求證:; ()若,分別是,的中點(diǎn),求二面角的余弦值. （2011年高考（北京理）如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱

10、形,AB=2,ABCDP()求證:()若,求與所成角的余弦值;()當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí),求PA的長(zhǎng).（2013屆北京市高考?jí)狠S卷理科數(shù)學(xué)）如圖所示,在棱錐中, 平面,底面為直角梯形,且/,()求證:()求與平面所成角的正弦值.（2013北京昌平二模數(shù)學(xué)理科試題及答案）如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)面底面,且,、分別為、的中點(diǎn).() 求證: /平面;() 求證:面平面; () 在線段上是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為?說明理由.（北京市石景山區(qū)2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題 ）如圖1，在Rt中，D、E分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖2（）求證： 平面；（）

11、若，求與平面所成角的正弦值；（） 當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的長(zhǎng)度最小，并求出最小值 ABCDE圖1圖2A1BCDE（北京市海淀區(qū)北師特學(xué)校2013屆高三第四次月考理科數(shù)學(xué)）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點(diǎn)E為的中點(diǎn)。（）求證： () 求證：（）在線段AB上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。（北京市石景山區(qū)2013屆高三一模數(shù)學(xué)理試題）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,ADBC,ABC=90o,PD平面ABCD,AD =1,AB=,BC =4.(I)求證:BDPC;(II)求直線AB與平面PDC所成的角;()設(shè)點(diǎn)E在棱PC上,若DE平面PAB,求

12、的值.北京市2014屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編19：空間角與空間距離參考答案一、選擇題 【答案】D【解析】本題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念. (第4題解答圖)屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.依題意,如圖,故選D. A二、解答題 解：（）連結(jié)，則.由已知平面，因?yàn)镕ABCDENMyxz，所以平面.2分又因?yàn)槠矫妫?4分（）與交于，連結(jié).由已知可得四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四邊形是菱形，是的中點(diǎn)，可得.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，, ，.，.10分設(shè)平面的法向量為.則 所以 令.所以

13、.12分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60. 14分 解：（）ABCD是正方形,BCAD.BC平面AMD,AD平面AMD,BC平面AMD.NBMD,NB平面AMD,MD平面AMD,NB平面AMD.NBBC=B,NB平面BCN, BC平面BCN,平面AMD平面BCN3分AM平面AMD,AM平面BCN4分(也可建立直角坐標(biāo)系，證明AM垂直平面BCN的法向量，酌情給分)（）平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可選點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DM所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）5分則，,., 6分，,設(shè)平面MNC的法向量,則，令，則 7分設(shè)AN與平面MNC所成角為,. 9

14、分（）設(shè)，又，E點(diǎn)的坐標(biāo)為， 11分面MDC,，欲使平面ADE平面MNC，只要， . 14分 解:(1)分別是的中點(diǎn) / 又平面 /平面 (2) 在中,/, 平面平面, 平面,平面 平面 平面 所以無(wú)論在的何處,都有 (3) 由(2)平面 又 平面 是二面角的平面角 在中 所以二面角的平面角的余弦值為 法二: (2) 是的中點(diǎn), 又平面平面 平面 同理可得平面 在平面內(nèi),過作 以為原點(diǎn),所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則, , ,設(shè),則, 恒成立,所以無(wú)論在的何處,都有 (3)由(2)知平面的法向量為= 設(shè)平面的法向量為 則, 即 令,則, 所以二面角的平面角的余弦值為 解：（）

15、D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，_E_D_B_C_A_P DE/BC DE平面PBC，BC平面PBC，DE/平面PBC 4分（）連結(jié)PD，PA=PB， PD AB .5分，BC AB， DE AB . .6分又 ，AB平面PDE.8分PE平面PDE，ABPE .9分（）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB， PD平面ABC.10分如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系_E_D_B_C_A_Pzyx B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,0) ,=(1,0, )，=(0, , ） 設(shè)平面PBE的法向量，令得 .11分DE平面PAB，平面PAB的法向量為.12分設(shè)二面角的大小為

16、，由圖知，所以即二面角的大小為 .14分 ()證明: 因?yàn)槠矫? 所以 因?yàn)槭钦叫? 所以, 所以平面, 從而 ()解:因?yàn)閮蓛纱怪? 所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示 設(shè),可知 則 , 所以, 設(shè)平面的法向量為,則,即, 令,則 因?yàn)槠矫?所以為平面的法向量, , 所以 因?yàn)槎娼菫殇J角,所以二面角的余弦值為 ()解:點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè). 則,因?yàn)槠矫?所以, 即,解得 此時(shí),點(diǎn)坐標(biāo)為,符合題意 證明：（I）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以四邊形是矩形。連結(jié)交于O，則O是的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，所以在中，。因?yàn)槠矫?，平面，所以平面。（II）因?yàn)槭堑冗吶切?，D是BC的中點(diǎn)，所以。以D為原點(diǎn)，

17、建立如圖所示空間坐標(biāo)系。由已知，得：，.則，設(shè)平面的法向量為。由，得到，令，則，所以.又，得。所以設(shè)與平面所成角為，則。所以與平面所成角的正弦值為。 ()證明：因?yàn)閭?cè)面是正三角形，的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，所以平面. 3分（）連結(jié)，設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，5分,平面的法向量，設(shè)斜線與平面所成角的為，則. 8分（）設(shè)，則， 10分設(shè)平面的法向量為，則，取，得，又平面的法向量12分所以，所以，解得（舍去）或.所以，此時(shí). 14分 （）證明：連接與相交于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以為中點(diǎn)因?yàn)?為棱中點(diǎn) 所以 3分因?yàn)?平面，平面， 所以直線/平面 4分 （）證明：因?yàn)槠?/p>

18、面，所以 5分因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面內(nèi)過作直線因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 9分設(shè)，則 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 11分 易知平面的法向量為 12分 所以 13分由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值為 14分解法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉檎叫危杂桑ǎ┛傻闷矫嬉驗(yàn)?，所以由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 9分設(shè)，則 所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 11分 易知平面的法向量為 12分 所以 13分由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余

19、弦值為 14分 ()證明:因?yàn)?分別為,的中點(diǎn),所以. 又平面,平面, 所以平面 ()因?yàn)槠矫? 所以平面, 所以,. 又因?yàn)樗倪呅问钦叫? 所以. 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系, 因?yàn)? ADBCPEFGHzyx 所以, ,. 因?yàn)? 分別為,的中點(diǎn), 所以,. 所以,. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,即, 再令,得.,. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則, 即,令,得.所以=. 所以平面與平面所成銳二面角的大小為 ()假設(shè)在線段上存在一點(diǎn),使直線與直線所成角為. 依題意可設(shè),其中.由,則. 又因?yàn)?所以. 因?yàn)橹本€與直線所成角為, 所以=,即,解得. 所以,. 所以在線段上存在一點(diǎn),使直線與直線所成角為

20、,此時(shí) 證明：（）因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1中CC1平面ABC，所以 CC1BC 1分因?yàn)锳C=BC=2， 所以由勾股定理的逆定理知BCAC 2分又因?yàn)锳CCC1=C，所以BC平面ACC1A1 3分因?yàn)锳M平面ACC1A1，所以BCAM 4分 （）過N作NPBB1交AB1于P，連結(jié)MP ，則NPCC1，且 5分于是有 由已知，有因?yàn)锽B1=CC1所以NP=CM所以四邊形MCNP是平行四邊形 6分所以CN/MP 7分因?yàn)镃N平面AB1M，MP平面AB1M， 8分所以CN /平面AB1 M 9分（）因?yàn)?BCAC，且CC1平面ABC，所以 以C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建

21、立空間直角坐標(biāo)系C-xyz10分因?yàn)?，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)， 11分設(shè)平面的法向量，則，即 令，則，即 12分又平面MB1C的一個(gè)法向量是， 所以 13分由圖可知二面角A-MB1-C為銳角，所以 二面角A-MB1-C的大小為 14分 （）證明：連接是長(zhǎng)方體，平面， 又平面 1分在長(zhǎng)方形中， 2分又平面， 3分 而平面 4分（）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)平面的法向量為，則 令，則 7分 9分所以 與平面所成角的正弦值為 10分（）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得平面.設(shè)的坐標(biāo)為，則 因?yàn)?平面所以 ， 即， ，解得， 13分所以 在棱上存在一點(diǎn)，使得平面,此時(shí)

22、的長(zhǎng).14分 (I)證明:在長(zhǎng)方體中, 因?yàn)槠矫?所以. 因?yàn)?所以四邊形為正方形, 因此,又,所以平面. 又,且,所以四邊形為平行四邊形. 又在上,所以平面 (II)取的中點(diǎn)為,連接. 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以且, 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,而,且, 所以,且,因此四邊形為平行四邊形, 所以,而平面,所以平面 (III)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè), xyz 則, 故. 由(I)可知平面, 所以是平面的一個(gè)法向量. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為, 則, 所以 令,則, 所以. 設(shè)與所成的角為,則. 因?yàn)槎娼堑拇笮?所以,即, 解得,即的長(zhǎng)為1 （）證明：因?yàn)椋谥校捎嘞叶ɡ砜傻?，所以 2分

23、又因?yàn)?， 所以平面 4分（）解：因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)?，所以平?5分所以兩兩互相垂直，如圖建立的空間直角坐標(biāo)系 6分在等腰梯形中，可得 設(shè)，所以所以 ，設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得 8分設(shè)與平面所成的角為，則 ，所以 與平面所成角的正弦值為 9分（）解：線段上不存在點(diǎn)，使平面平面證明如下： 10分假設(shè)線段上存在點(diǎn)，設(shè) ，所以 設(shè)平面的法向量為，則有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程無(wú)解所以線段上不存在點(diǎn)，使平面平面 14分 A1B1ECBD1C1AD證明：（）在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槊妫?所以 2分在矩形中，因?yàn)?，所?所以面 4分（）A1B1CBD1C1ADxy

24、Ez如圖，在長(zhǎng)方體 中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系依題意可知， ，設(shè)的長(zhǎng)為，則，假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，使得平面設(shè)點(diǎn)，則，易知設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即7分令得，所以因?yàn)槠矫?，等價(jià)于且平面得，所以所以，所以的長(zhǎng)為9分（）因?yàn)?，且點(diǎn)，所以平面、平面與面是同一個(gè)平面由（）可知，面，所以是平面的一個(gè)法向量 11分由（）可知，平面的一個(gè)法向量為因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐椋?，解得故的長(zhǎng)為 14分解:(I)因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上 所以平面,所以 因?yàn)樵谥苯翘菪沃? , 所以,所以是等邊三角形, 所以是中點(diǎn), 所以 同理可證 又 所以平面 (II)在平面內(nèi)過作的垂線 如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 則,

25、因?yàn)? 設(shè)平面的法向量為 因?yàn)? 所以有,即, 令則 所以 所以直線與平面所成角的正弦值為 (III)存在,事實(shí)上記點(diǎn)為即可 因?yàn)樵谥苯侨切沃? 在直角三角形中,點(diǎn) 所以點(diǎn)到四個(gè)點(diǎn)的距離相等 (本小題滿分分) 解: () 證明:連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO O為BD中點(diǎn),E為PD中點(diǎn), EO/PB EO平面AEC,PB平面AEC, PB/平面AEC. ()證明: PA平面ABCD. 平面ABCD, 又在正方形ABCD中且, CD平面PAD 又平面PCD, 平面平面 ()如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立空 間直角坐標(biāo)系 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為

26、 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) PA平面ABCD,是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2). 設(shè)平面AEC的法向量為, , 則 即 令,則 , 二面角的正弦值為 (I) 連接交于點(diǎn)，連接因?yàn)闉檎叫?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以為的中位線，所以 2分又平面，平面所以平面 4分（）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系所以設(shè)，所以，因?yàn)?，所?，解得，所以 8分（）因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則有，得，令則，所以可以取， 10分因?yàn)槠矫?取平面的法向量為 11分所以 13分平面與平面

27、所成銳二面角的余弦值為 14分 (I)因?yàn)樵谡切沃?為中點(diǎn), 所以 又平面平面,且平面平面, 所以平面,所以 在中, 所以,所以, 即,又 所以平面,所以 ()以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系, 則, 由(I)得平面的法向量為 設(shè)平面的法向量為 因?yàn)?所以解得,取 所以, 所以二面角的值為. xyz 解: (),DEPE, , DE平面PEB, , BP DE; ()PEBE, PEDE,所以,可由DE,BE,PE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖), 設(shè)PE=,則B(0,4- ,0),D(,0,0),C(2,2-,0),P(0,0, ), , 設(shè)面PBC的法向量, 令

28、, , , BC與平面PCD所成角為30, , 解得:=,或=4(舍),所以,PE的長(zhǎng)為 (共14分) ()證明:因?yàn)?所以, 又因?yàn)?且, 所以 平面, 因?yàn)槠矫? 所以 . ()因?yàn)槭堑冗吶切? , 不防設(shè),則 , 又因?yàn)?分別為,的中點(diǎn), 由此以為原點(diǎn),所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則有,. 所以,. 設(shè)平面的法向量為. 則即令,則.所以. 又平面的一個(gè)法向量為. 所以 . 所以二面角的余弦值為 【命題立意】本題考查了空間的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化,會(huì)利用空間直角坐標(biāo)計(jì)算空間角和空間距離. 【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以, 又因?yàn)镻A平面ABCD,所以, 所以平面 ()設(shè).因?yàn)?/p>