1、第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 第 2 煉 充分條?必要條? 一?基礎(chǔ)知識(shí) 1?定? ?1?對(duì)于兩個(gè)條?, p q，如果命題?若p則q?是真命題，則稱條?p能夠推出條?q， 記?pq， ?工?充?條?必要條?如果條?,p q滿足pq，則稱條?p是條?q的充?條? 稱條?q是條?p的必要條? 工?對(duì)于兩個(gè)條?而言，往往以?中一個(gè)條?角，考慮另一個(gè)條?它的關(guān)系，?種關(guān) 系既包含充?方面，?包含必要方面?所以在判斷時(shí)既要判斷?若p則q?的真假，?要 判斷?若q則p?真假 左?兩個(gè)條?之間可能的充?必要關(guān)系? ?1?p能推出q，但q推?出p，則稱p是q的充?必要條? ?工?p推?出q

2、，但q能推出p，則稱p是q的必要?充?條? ?左?p能推出q，且q能推出p，記?pq，則稱p是q的充要條?，?稱,p q等? ?4?p推?出q，且q推?出p，則稱p是q的既?充?必要條? 4?如何判斷兩個(gè)條?的充?必要關(guān)系 ?1?通過命題手段，將兩個(gè)條?用?若，則?組成命題，通過判斷命題的真假來 判斷出條?能否相互推出， ?而確定充?必要關(guān)系? 例如 2 :1; :10p xq x= =， 構(gòu)造命題? ?若1x =，則 2 10 x =?真命題，所以pq，但?若 2 10 x =，則1x =?假命 題?x?可能?1? ，所以q?能推出p?綜?，p是q的充?必要條? ?工?理解?充? ， ?必要

3、?詞語的含?并定性的判斷關(guān)系 ? 充?可?日常用語中的?充?來理解，比如?小明對(duì)明天的考試做了充?的準(zhǔn)備? ， 何謂?充?？?意味著小明?需要再做任何額外的?作，就可以直接考試了?在邏輯中充 ?是類似的含?，是指僅由p就可以得到結(jié)論q，而?需要再添加任何說明?補(bǔ)充?以 ?題?例， 對(duì)于條?:1p x=， ?需再做任何說明或添加任何條?， 就可以得到 2 :10q x = 所以可以說p對(duì)q是?充?的? ，而反觀q對(duì)p，由 2 :10q x =，要想得到:1p x=，? 要補(bǔ)充一個(gè)前提?x?能取1，那既然?要補(bǔ)充，則說明是?充?的? 第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 ? 必要? ?

4、可?日常用語中的 ?必要? 來理解， 比如 ?心臟是人的一個(gè)必要器官? ， 何謂 ?必 要?？沒?心臟，人?可活，但是僅?心臟，沒?他器官，人?一定可活?？所以?必要? 體現(xiàn)的就是?沒它?行，但是僅?它?未必行?的含?以?題?例?如果 2 :10q x = ?成立，那?x必然? 1，但是僅靠 2 :10q x =想得到:1p x=?是?夠的，?需 要更多的補(bǔ)充條?，所以僅僅是?必要的? ?左?用集合作? 先看一個(gè)問題?已知P?Q ,那?條?xP?是?xQ?的什?條?？ 由P?Q可得到?xPxQ，且xQ推?出xP，所以?xP?是?xQ? 充?必要條?通過?個(gè)問題可以看出，如果兩個(gè)集合存在包含關(guān)系

5、，那?對(duì)?條?之 間?存在特定的充?必要關(guān)系? 在求解時(shí)可以將滿足條?的元素構(gòu)成對(duì)?集合， 判斷出兩個(gè) 集合間的包含關(guān)系，?而就可確定條?間的關(guān)系了?相關(guān)結(jié)論如? ? P?Q?p是q的充?必要條?，q是p的必要?充?條? ? PQ?p是q的充?條? ? PQ=?p是q的充要條? ?方法適用范圍較廣，尤?涉及到單變?取值范圍的條?時(shí)，?管是判斷充?必要關(guān)系 ?是利用關(guān)系解參數(shù)范圍，都可將問題轉(zhuǎn)?集合的包含問題，?而快捷求解?例如在 2 :1; :10p xq x= =中， 滿足p的x取值集合? 1P =， 而滿足q的x取值集合?1,1 所以P?Q，?而判斷出p是q的充?必要條? 5?關(guān)于?, p

6、q?的充?必要關(guān)系?可?命題的角度?行判斷?例如?p是q的充? 必要條?，則命題?若p，則q?真命題，根據(jù)四類命題的真假關(guān)系，可得?逆否命題 ?若q，則p?真命題?所以q是p的充?必要條? 二?型例題? 例 1?已知 2 :31, :60pxq xx，則p是q的? ? A. 充要條? B. 必要?充?條? 件. 充?必要條? 價(jià). 既?充?必要條? 思路? 考慮利用集合求解? 分別解?等式得到對(duì)應(yīng)集合。31131xx ， 解得? 第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 24x，即|24Pxx=是33 ab 的? ? A. 充要條? B. 必要?充?條? 件. 充?必要條? 價(jià). 既?

7、充?必要條? 思路?本題若?得?方便從條?中直接找到聯(lián)系，可先從一個(gè)條?入手推出其等?條?，再 進(jìn)行判斷，比如?33 ab ?等?于ab?ab，則ab是33 ab 推ab是條?， 表達(dá)式成立要求,0a b， 但是在ab中，ab是條?，且對(duì), a b取值沒有特殊要求，所以 , a bR，那?作為結(jié)論的 11 22 log,logab就?一定有意?了。在涉及到變量取值時(shí)要首先分 清誰是條?， 誰是結(jié)論。 作為條?的一方默認(rèn)式子有意?， 所以會(huì)對(duì)變量取值有一定的影響。 例 左?已知 3 :, :1 1 p xk q x + ，如果p是q的充?必要條?，則k的取值范圍是_ 思路?設(shè) 3 |,|1|12

8、 1 Px xkQxx xx x = 答案?2k 例 4?面四個(gè)條?中，使ab成立的充?而?必要的條?是? ? A. 1ab+ B. 1ab 件. 22 ab 價(jià). 33 ab 第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 思路?求ab的充分?必要條?，則這個(gè)條?能夠推出ab，且?能被ab推出?？梢?考慮驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)。 A 選項(xiàng)1ab+可以推出ab， 而ab?一定能夠得到1ab+?比 如1,1.5ab=? ，所以 A 符合條?。對(duì)于 B，C 兩個(gè)選項(xiàng)均?能推出 A，所以直接否定。而 D 選項(xiàng)雖然可以得到ab，但是ab也能推出 33 ab，所以 D 是 A 的充要條?，?符題 意 答案?A

9、例 5? ?工015 浙江溫州中學(xué)高二期中考試?設(shè)集合 1 |0 ,|1 1 x AxBx xa x =，則()1,1Baa=+，觀察條?，若1a =，則()0,2B =，所以AB I成立? 若AB I，則通過數(shù)軸觀察區(qū)間可得a的取值為多個(gè)?比如 1 2 a =? ，所以?1a =?是 ?AB I?的充分?必要條? 答案?A 例 6?對(duì)于函數(shù)( ),yf x xR=， ?( )yf x=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱?是?( )yf x=是奇函 數(shù)?的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? 件. 充要條? 價(jià). 既?充?必要條? 思路?如果( )yf x=是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則( )yf

10、 x=中( )yf x=位于x軸? 方的部分沿x軸對(duì)稱翻?來，恰好圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，但( )yf x=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱未 必能得到( )yf x=是奇函數(shù)?例如( ) 2 f xx=? ，所以?( )yf x=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱? 是?( )yf x=是奇函數(shù)?的必要?充分條? 答案?B 例 7?已知, a bR，則? 22 1ab+?是?1ab+?的? ? 第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 A. 充?必要條? B. 必要?充?條? 件. 充要條? 價(jià). 既?充?必要條? 思路一? 可以考慮利用特殊值來進(jìn)行判斷。 比如考慮左右， 可以舉出反例0.9,0.4ab=， 則1ab+

11、?成立，所以左邊無法得到右邊。而右左能夠成立，所以? 22 1ab+? 是?1ab+?的必要?充分條? 思路二?本題也可以運(yùn)用集合的思想，將, a b視為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(), a b，則條?所對(duì)應(yīng)的集 合為() () 22 ,|1 ,|1Pa babQa bab=+=+，作出兩個(gè)集合在坐標(biāo)系中的區(qū)域， 觀察兩個(gè)區(qū)域可得PQ，所以? 22 1ab+?是?1ab+?的必要?充分條? 答案?B 例 8 ?工015 ?澤高?期中考試? ? 設(shè)條?p? 實(shí)數(shù)x滿足 22 430(0)xaxaa+且p是q的必要?充?條?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 _ 思路?本題如果先將p，q寫出，再利用條?關(guān)系運(yùn)算，盡管可行，

12、但p，q容易書 寫錯(cuò)誤。所以優(yōu)先考慮使用原條?。 ?p是q的必要?充分條?等?于?q是p的必要 ?充分條? ，而, p q為兩個(gè)?等式，所以考慮求出解集再利用集合關(guān)系求解。 解?設(shè) 22 |430,0Px xaxaa=+可解得?()(), 42,Q = +U， pQ是q的必要?充?條? q是p的必要?充?條? QP 0a Q 4a 答案?4a 例 9?數(shù)列 n a滿足 () 11 1,0 nn aar ar nNr + =+，則?1r =?是?數(shù)列 n a成 等差數(shù)列?的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? 件. 充要條? 價(jià). 既?充?必要條? 思路?1r =時(shí)，可得 1 1 n

13、n aa + =+，即 n a成等差數(shù)列。所以?1r =?是?數(shù)列 n a成 第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 等差數(shù)列?的充分條?。另一方面，如果 n a成等差數(shù)列，則 123 ,a a a 成等差數(shù)列，所以 有()()() 2131211 22121aaar arrarr arr rarr=+= += +，代入 1 1a =可得? 22 4212310rrrrr=+ +=，解得1r =或 1 2 r =，經(jīng)檢驗(yàn)， 1 2 r =時(shí)， 21 11 1 22 aa=+=， 32 11 1, 22 aa=+=L利用數(shù)學(xué)?納法可證得1 n a =，則 n a也為等差 數(shù)列?公差為

14、0? ，所以 1 2 r =符合題意。從而由?數(shù)列 n a成等差數(shù)列?無法推出?1r =? ， 所以?1r =?是?數(shù)列 n a成等差數(shù)列?的?必要條? 答案: A 例 10?設(shè)0 2 x ，則 2 sin1xx 是sin1xx 的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? 件. 充要條? 價(jià). 既?充?必要條? 思路?因?yàn)? 2 x ，所以0sin1x。故由sin1xx 可得sinsinsin1xxxx， 即 2 sin1xx ，對(duì)于 2 sin1xx 能否推出sin1xx ，可考慮尋找各自等?條? 22 11 sin1sinsinxxxx xx ， 1 sin1sinxxx x ，通

15、過數(shù)形結(jié)合可以得 到符合 1 sinx x 的x的集合是 1 sinx x 的x集合的子集。所 以 2 sin1xx 是sin1xx 成立”的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? C. 充要條? D. 既?充?必要條? 4? ?2014， ?京? 設(shè) n a是公比?q的等比數(shù)列， 則“1q ”是“ n a?遞增數(shù)列”的( ) A. 充?必要條? B. 必要?充?條? C. 充要條? D. 既?充?必要條? 5? ?2014 ?海 13 校聯(lián)考，15?集合 2 0 ,()()0 1 x AxBx xa xb x = + ，若 “2a = ”是“AB I”的充?條?，則b的取值范圍是?

16、 ? A. 1b C. 1b D. 12b 6? ?2015，福建?“對(duì)任意的0, 2 x ，sin coskxxx”是“1k ”的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? C. 充要條? D. 既?充?必要條? 7? ?2014 ?京朝陽一模，5?在ABC中， 4 A =，2BC =，則“3AC =”是“ 3 B =” 的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? C. 充要條? D. 既?充?必要條? 8? ?2014 湖?黃岡?考，4?已知條? 3 : 4 p k =，條?q?直線()21yk x=+?圓 22 4xy+=相?，則p是q的? ? A充?必要條? B必要?充?

17、條? C充要條? D既?充?又?必要條? 9?(2014 陜西五校二模，1?命題:p xR且滿足sin21x =.命題:q xR且滿足tan1x =. 則p是q的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? C. 充要條? D. 既?充?必要條? 10?2015 ?京理科? 設(shè), 是兩個(gè)?同的?面，m是直線且m 則“m”是“” 的? ? A. 充?必要條? B. 必要?充?條? C. 充要條? D. 既?充?必要條? 第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 11? ?2016，?海交大附中期中?條?對(duì)任意0, sin cos 2 xkxxx ?是?1k ? 的? ? A. 充?而

18、?必要條? B. 必要而?充?條? C. 充?必要條? D. 既?充?必要條? ?題題答答案案? 1?答案?B 解析? ?集合的角度來看， 滿足abab=+條?的(), a b取值范圍是0ab 即 22 ab，反之若 22 ab，則 22 ab即ab 4?答案?D 解析?若 n a的項(xiàng)均?負(fù)項(xiàng)，則“1q ”，“ n a?遞增數(shù)列”之間無法相互推出，所以兩條 ?既?充?必要 5?答案?B 解析?():1,2A，()():20Bxxb+ 即可 6?答案?B 解析?側(cè)條?中恒成立?等式可?sin20 2 k xx，設(shè)( )sin2 2 k f xxx=，可知 ( )00f=， 所 以 若( )f x? ? 函 數(shù) ， 則 一 定 ?( )( )00f xf=成 立 ? 考 慮 ( ) cos21fxkx=，由0, 2 x 可得?()20,x，故1k 時(shí)，( ) 0fx成立，所 以( )f x?函數(shù)， ( )( )00f xf=成立? 所以使?等式恒成立的k的范圍包含(,1， 第一章 第 2 煉 充?條?必要條? 集合?邏輯 而()(,1,1 ，故“