1、面積類1、已知橢圓：與正半軸、正半軸的交點(diǎn)分別為，動點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，求面積的最大值。【解析】試題分析：先求頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求直線方程，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求點(diǎn)到直線的距離，表示出面積，然后求最值 試題解析：依題意，直線：，即 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離是 ， 當(dāng)時，所以面積的最大值是考點(diǎn)：橢圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)求最值2、設(shè)點(diǎn)A（，0），B（，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為. （）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程； （）若直線過點(diǎn)F（1，0）且繞F旋轉(zhuǎn)，與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，與軌跡C相交于R、S兩點(diǎn)，若|PQ|求的面積的最大值和最小值（F為軌跡C

2、的左焦點(diǎn)）.【解析】（）設(shè)，則化簡軌跡的方程為（）設(shè)，的距離，將代入軌跡方程并整理得：設(shè)，則，設(shè)，則上遞增，考點(diǎn)：橢圓，根與系數(shù)關(guān)系，基本不等式，坐標(biāo)表示3、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B，離心率為，圓與軸交于兩點(diǎn) （）求的值； （）若，過點(diǎn)與圓相切的直線與的另一交點(diǎn)為，求的面積 【解析】 （）由題意， 得，,則， 得，, 則 （）當(dāng)時，得在圓F上， 直線，則設(shè) 由得， 又點(diǎn)到直線的距離， 得的面積 考點(diǎn)：橢圓，根與系數(shù)關(guān)系，坐標(biāo)表示等，考查了學(xué)生的綜合化簡計算能力 4、設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1) 求橢圓方程. (2) 過點(diǎn)的直線與橢圓交于不

3、同的兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時，求.【解析】 (1)由題意可得，又，解得，所以橢圓方程為 (2)根據(jù)題意可知，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，設(shè)，由方程組消去得關(guān)于的方程由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則有，即得 由根與系數(shù)的關(guān)系得 故又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離， 故的面積 令則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立， 即時， 考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.橢圓與直線綜合；3.基本不等式.5、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為. （1）求橢圓的方程； （2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.【解析】（1）因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，所以. 在中，由余

4、弦定理得 . 因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 因?yàn)?，所? 因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解? 又，所以.所以橢圓C的方程為. （2）設(shè)，則矩形ABCD的面積. 因?yàn)椋? 所以. 因?yàn)榍?，所以?dāng)時，取得最大值24. 此時，. 所以當(dāng)時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為. 考點(diǎn)：橢圓的定義、余弦定理、二次函數(shù)6、已知、分別是橢圓: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且橢圓上存在點(diǎn)，使，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，是實(shí)數(shù) （）求的取值范圍； （）當(dāng)取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？【答案】（）;（）當(dāng)時，的面積最大，最大面積為.【解析】（）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意

5、得 解方程組得 橢圓的方程為 由，得 根據(jù)已知得關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根. ， 化簡得： 設(shè)、，則 （1）當(dāng)時，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意； （2）當(dāng)時，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)不對稱，. 由，得即 在橢圓上， 化簡得： ， ， ，即且 綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是 （）當(dāng)時，此時，、三點(diǎn)在一條直線上，不構(gòu)成. 為使的面積最大，. . 原點(diǎn)到直線的距離， 的面積 ， . ， “” 成立，即 當(dāng)時，的面積最大，最大面積為 考點(diǎn)：直線和橢圓的相關(guān)問題，綜合考查考生的運(yùn)算求解能力.7、設(shè)橢圓的離心率，是其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是直線（其中）上一點(diǎn)，且直線的傾斜角為. （）求橢圓的方程； （）若是橢

6、圓上兩點(diǎn)，滿足，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值.【解析】（） 則,故 （）當(dāng)直線的斜率不存在時，可設(shè)代入橢圓得 ，此時， ,當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)代入橢圓得： ,設(shè) 則 由得： 當(dāng)時，取等號，又，故的最小值為. 考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用.8、已知橢圓的四個頂點(diǎn)恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點(diǎn). （I）求橢圓的方程； （II）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)，求（為原點(diǎn)）面積的最大值.【解析】 (I)因?yàn)闄E圓的四個頂點(diǎn)恰好是一邊長為2， 一內(nèi)角為的菱形的四個頂點(diǎn), 所以,橢圓的方程為 (II)設(shè)因?yàn)榈拇怪逼椒志€通過點(diǎn)， 顯然直線有斜率， 當(dāng)直線的斜率為時,則的垂直

7、平分線為軸,則 所以 因?yàn)椋?所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值為當(dāng)直線的斜率不為時,則設(shè)的方程為 所以，代入得到 當(dāng),即 方程有兩個不同的解 又， 所以， 又，化簡得到代入，得到 又原點(diǎn)到直線的距離為 所以 化簡得到 因?yàn)椋援?dāng)時，即時，取得最大值 綜上，面積的最大值為 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系9、如圖，A,B是橢圓的兩個頂點(diǎn), ，直線AB的斜率為求橢圓的方程；（2）設(shè)直線平行于AB，與x,y軸分別交于點(diǎn)M、N，與橢圓相交于C、D， 證明：的面積等于的面積 【解析】（1）解：依題意， 整理得 解得 所以 橢圓的方程為（2）證明：由于/，設(shè)直線的方程為，將其代入，消去， 整理得 設(shè)， 所以

8、證法一：記的面積是，的面積是 由， 則 因?yàn)?，所以 ，從而 證法二：記的面積是，的面積是 則線段的中點(diǎn)重合 因?yàn)?，所以 ， 故線段的中點(diǎn)為 因?yàn)?，所以 線段的中點(diǎn)坐標(biāo)亦為 從而 考點(diǎn)：1.斜率公式；2.直線與曲線的位置關(guān)系；3.韋達(dá)定理.10、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn). （）求橢圓的方程； （）設(shè)橢圓與曲線的交點(diǎn)為、，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為， 又橢圓離心率， 所以橢圓的方程為 （2）設(shè)點(diǎn)，則，連交軸于點(diǎn)， 由對稱性知： 由得： ， （當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號） 面積的最大值為. 考點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求

9、解，直線與橢圓的位置關(guān)系.11、已知橢圓：的右焦點(diǎn)在圓上，直線交橢圓于、兩點(diǎn). (1)求橢圓的方程； (2)若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求的值； (3)設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為（與不重合），且直線與軸交于點(diǎn)，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由【解析】 (1)由題設(shè)知，圓的圓心坐標(biāo)是，半徑為， 故圓與軸交與兩點(diǎn)，. 1分 所以，在橢圓中或，又， 所以，或 (舍去，), 于是，橢圓的方程為. (2)設(shè)，；直線與橢圓方程聯(lián)立, 化簡并整理得. ，, ， . ，,即得 ，即為定值. (3)，, 直線的方程為 令，則 , 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故的面積存在最大值考點(diǎn)：直線與橢圓的位

10、置關(guān)系 點(diǎn)評：主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。12、已知兩點(diǎn)F1(-1,0)及F2(1,0),點(diǎn)P在以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列. （1）求橢圓C的方程; （2）如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F1Ml, F2Nl.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.【解析】 (1)依題意,設(shè)橢圓的方程為. 構(gòu)成等差數(shù)列, , . 又,. 橢圓的方程為 (2) 將直線的方程代入橢圓的方程中, 得 由直線與橢圓僅有一個公共點(diǎn)知, 化簡得: 設(shè), 當(dāng)時,設(shè)直線的傾斜角為,

11、則, , ,當(dāng)時,. 當(dāng)時,四邊形是矩形, 所以四邊形面積的最大值為 考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)評：主要是考查了橢圓方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。13、如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn) （1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的斜率； （2）記的面積為，（為原點(diǎn)）的面積為試問：是否存在直線，使得？說明理由【解析】 （）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)其方程為 將其代入，整理得 設(shè)，所以 故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為依題意，得， 解得 （）解：假設(shè)存在直線，使得 ，顯然直線不能與軸垂直 由（）可得 因?yàn)?，所以 ， 解得 ， 即 因?yàn)?，所

12、以 所以 ，整理得 因?yàn)榇朔匠虩o解，所以不存在直線，使得 考點(diǎn)：直線與橢圓相交的位置關(guān)系 點(diǎn)評：直線與橢圓相交時常聯(lián)立方程借助于方程根與系數(shù)的關(guān)系整理化簡，此類題目計算量較大要求學(xué)生具有較高的數(shù)據(jù)處理能力14、已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓的焦距為2 求橢圓的方程； 設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)圓與橢圓的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)時，求面積的最大值【解析】 因?yàn)?，且，所?2分 所以 4分 所以橢圓的方程為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 因?yàn)?，所以直線的方程為由于圓與有公共點(diǎn)，所以到的距離小于或等于圓的半徑 因?yàn)?，所以?即 又因?yàn)?，所?解得，又，當(dāng)時，所以 考點(diǎn)：本題主要考查橢

13、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，不等式的解法。 點(diǎn)評：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，簡化解題過程。利用函數(shù)觀點(diǎn)，建立三角形面積的表達(dá)式，確定其最值。15、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn). （）求橢圓的方程； （）過點(diǎn)的直線與橢圓相切，直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)為何值時的面積有最小值？并求出最小值.【解析】（）設(shè)方程為，拋物線的焦點(diǎn)為， 則. 雙曲線的離心率所以，得 橢圓C的方程為.（）設(shè)直線的方程為，由對稱性不妨設(shè) 由消得： 依題

14、意，得： 由，令，得，即 當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號. 因?yàn)楣蕰r，有最小值.考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。16、已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。 （1）求橢圓的方程； （2）若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值?！窘馕觥浚?）由，橢圓的方程為： （2）由已知，聯(lián)立和，消去，整理可得：， 設(shè)，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 顯然時，。 考點(diǎn)：本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系17、已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn) （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線A C、BD過原點(diǎn)O，若

15、, （i） 求的最值 （ii） 求證：四邊形ABCD的面積為定值；【解析】 (1)由題意，又， 解得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)設(shè)直線AB的方程為，設(shè) 聯(lián)立，得 - = (i) 當(dāng)k=0(此時滿足式),即直線AB平行于x軸時，的最小值為-2. 又直線AB的斜率不存在時，所以的最大值為2. 11分 (ii)設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則 . 即,四邊形ABCD的面積為定值考點(diǎn)：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 點(diǎn)評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯(lián)立方程，同時結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；而對于最值問題，則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示，然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡結(jié)合表達(dá)式的形式選

16、取最值的計算方式.向量點(diǎn)乘類1、在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)的軌跡為,直線與交于兩點(diǎn). (1)寫出的方程; (2) ，求的值.【解析】 (1)設(shè),由橢圓定義可知,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn), 長半軸為2的橢圓, 它的短半軸, 故曲線的方程為. (2)證明:設(shè),其坐標(biāo)滿足消去并整理,得 故. 即，而， 于是， 解得 考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.2、已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）若過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）橢圓離心率為，

17、，. 1分 又橢圓過點(diǎn)（，1），代入橢圓方程，得.所以. 4分 橢圓方程為，即.（2）在x軸上存在點(diǎn)M，使是與K無關(guān)的常數(shù).證明：假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m,0）,使是與k無關(guān)的常數(shù)， 直線L過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為K,L方程為， 由得. 設(shè)，則 = = = =設(shè)常數(shù)為t，則. 整理得對任意的k恒成立， 解得， 即在x軸上存在點(diǎn)M（）， 使是與K無關(guān)的常數(shù). 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的數(shù)量積。 點(diǎn)評：中檔題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，建立了a,bac的方程組。3、已知橢圓的

18、離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn). （）求橢圓C的方程； （）求的取值范圍；【解析】（）由題意知，即 又，故橢圓的方程為（）解：由得： 設(shè)A(x1，y1)，B (x2，y2)，則， 的取值范圍是 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4、如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：(ab0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1 :3設(shè)A，B是C上的兩個動點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上 () 求橢圓C的方程； () 求的取值范圍?！窘馕觥浚ǎ┰O(shè)F2(c，0)，則

19、，所以c1 因?yàn)殡x心率e，所以a 所以橢圓C的方程為 () 當(dāng)直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x，此時P(，0)、Q(,0)， 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，M(，m) (m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 得(x1x2)2(y1y2)0， 則14mk0，故k 此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為即 聯(lián)立消去y，整理得 所以， 于是(x11)(x21)y1y2 令t132m2，1t29，則 又1t29，所以 綜上，的取值范圍為 考點(diǎn)：橢圓的方程、平面向量的數(shù)量積、韋達(dá)定理5、如圖，已知橢圓：的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓：，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn) （1）

20、求橢圓的方程； （2）求的最小值，并求此時圓的方程； （3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)， 求證：為定值?！窘馕觥浚?）依題意，得，； 故橢圓的方程為（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，設(shè)， 不妨設(shè) 由于點(diǎn)在橢圓上，所以（*）由已知，則， 所以 由于，故當(dāng)時，取得最小值為 由（*）式，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到 故圓的方程為： (3) 設(shè)，則直線的方程為：， 令，得， 同理：， 故（*）又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故， 代入（*）式，得： 所以為定值 考點(diǎn)：1.橢圓方程；2.配方法求最值.6、已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，直線與橢圓C相交

21、于A、B兩點(diǎn). （1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；【解析】（）由題意知，即 又，故橢圓的方程為 （）解：由得： 設(shè),則， 的取值范圍是 考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.橢圓的離心率；3.直線和橢圓的綜合應(yīng)用；4.向量的數(shù)量積.7、已知橢圓,為其右焦點(diǎn)，離心率為. ()求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； ()若點(diǎn)，問是否存在直線，使與橢圓交于兩點(diǎn)，且若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由【解析】（）由題意知：，離心率， 故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）假設(shè)存在這樣的直線滿足題意，并設(shè) 因?yàn)椋?所以： 由，得 根據(jù)題意，得， 且， 所以 即， 解得，或 當(dāng)時，（），顯然符合題意； 當(dāng)時，代入，得，解得 綜上

22、所述，存在這樣的直線，其斜率的取值范圍是 考點(diǎn)：橢圓的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系8、已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn) ()求橢圓的方程； ()如果過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）， 求的值； 當(dāng)為等腰直角三角形時，求直線的方程【解析】 ()因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，因?yàn)?，解得?所以橢圓的方程為 ()若過點(diǎn)的直線的斜率不存在，此時兩點(diǎn)中有一個點(diǎn)與點(diǎn)重合，不滿足題目條件 所以直線的斜率存在，設(shè)其斜率為，則的方程為，把代入橢圓方程得，設(shè)，則， 因?yàn)?，所?， 由知：，如果為等腰直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且， 若，則，顯然滿足，此時直線的方程為； 若，則，解得，所以直線的

23、方程為，即或 綜上所述：直線的方程為或或 考點(diǎn)：1、求橢圓方程，2、直線與二次曲線的位置關(guān)系9、已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切. （）求橢圓的方程； （）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)， 線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程； （）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足，求的取值范圍.【解析】（） 直線相切， 橢圓的方程是（）， 動點(diǎn)到定直線：的距離等于它到定點(diǎn)的距離， 動點(diǎn)的軌跡是為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線點(diǎn)的軌跡的方程為 （），設(shè)、 ， ，化簡得 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立 ，又 當(dāng)即時，故的取值范圍是 考點(diǎn)：1.橢圓

24、方程；2.拋物線的定義；3.坐標(biāo)法的應(yīng)用.10、已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為. (1) 求橢圓的方程； (2) 若是橢圓上不重合的四個點(diǎn)，滿足向量與共線，與共 線，且，求的取值范圍. 【解析】 (1)由幾何性質(zhì)可知：當(dāng)內(nèi)切圓面積取最大值時， 即取最大值，且. 由得 又為定值， 綜上得； 又由，可得，即， 經(jīng)計算得， 故橢圓方程為. (2) 當(dāng)直線與中有一條直線垂直于軸時，. 當(dāng)直線斜率存在但不為0時，設(shè)的方程為：，由消去 可得，代入弦長公式得：， 同理由消去可得， 代入弦長公式得：， 所以 令，則，所以， 由可知，的取值范圍是. 考點(diǎn)：(1)

25、橢圓方程；（2）直線與橢圓的位置關(guān)系；（3）函數(shù)的值域.11、在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過三點(diǎn)作圓 （）若線段是圓的直徑，求橢圓的離心率； （）若圓的圓心在直線上，求橢圓的方程; （）若直線交（）中橢圓于，交軸于，求的最大值 【解析】（）由橢圓的方程知，點(diǎn)，設(shè)F的坐標(biāo)為， 是的直徑，2分 解得，橢圓離心率（）過點(diǎn)三點(diǎn)， 圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上， FC的垂直平分線方程為 的中點(diǎn)為，的垂直平分線方程為 由得，即 在直線上，,。 由得，橢圓的方程為（）由得（*） 設(shè)，則 當(dāng)且僅當(dāng),時取等號。此時方程（*）中的0, 的最大值為1

26、考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系 12、在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A（2，0）、B（2，0），異于A、B兩點(diǎn)的動點(diǎn)P滿足，其中k1、k2分別表示直線AP、BP的斜率 （）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程； （）若N是直線x=2上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，直線AN與（I）中軌跡E交予點(diǎn)Q，設(shè)直線QB與以NB為直徑的圓的一個交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)B），點(diǎn)C（1，0），求證：|CM|CN|為定值?！窘馕觥?)設(shè),由得,其中, 整理得點(diǎn)的軌跡方程為. ()設(shè)點(diǎn)(), 設(shè),則, 從而. 而,直線斜率, 直線與以為直徑的圓的另一個交點(diǎn)為,. 方程為,即,過定點(diǎn) 定值證法一:即三點(diǎn)共線,又是以為直徑的圓的切線,由切割線定理可知,為定

27、值. 定值證法二:直線:,直線:, 聯(lián)立得, ,為定值. 考點(diǎn)：橢圓的方程；直線與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)評：關(guān)于曲線的大題，第一問一般是求出曲線的方程，第二問常與直線結(jié)合起來，當(dāng)涉及到交點(diǎn)時，常用到根與系數(shù)的關(guān)系式13、如圖，已知橢圓，是長軸的左、右端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，聯(lián)結(jié)，交橢圓于點(diǎn) （1）當(dāng)，時，設(shè)，求的值； （2）若為常數(shù)，探究滿足的條件？并說明理由； （3）直接寫出為常數(shù)的一個不同于（2）結(jié)論類型的幾何條件【解析】（1）直線，解方程組，得 所以（2）設(shè)， 因?yàn)槿c(diǎn)共線，于是，即又，即 所以 所以當(dāng)時，為常數(shù)（3） “設(shè)為橢圓的焦點(diǎn)，為短軸的頂點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，為常數(shù)或”或給出“當(dāng)時，為常數(shù)

28、或”考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。14、已知圓的方程為，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、,直線恰好經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn) （）求橢圓的方程； （）設(shè)是橢圓（垂直于軸的一條弦，所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線、分別交定直線于兩點(diǎn)、，求證. 【解析】（） 觀察知，是圓的一條切線，切點(diǎn)為， 設(shè)為圓心，根據(jù)圓的切線性質(zhì)， 所以，所以直線的方程為. 線與軸相交于，依題意，所求橢圓的方程為 （） 橢圓方程為，設(shè) 則有， 在直線的方程中，令，整理得 同理， ，并將代入得 =. 而= 且， 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 點(diǎn)

29、評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、分析問題解決問題的能力，難度較大15、已知點(diǎn)P（4， 4），圓C：與橢圓E：有一個公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PF1與圓C相切 （）求m的值與橢圓E的方程；（）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點(diǎn)，求的取值范圍 ?！窘馕觥浚?）代入點(diǎn)A(3,1)得m=1或5,得m=1 2分 設(shè)PF斜率為k， 列方程組得：解得： 所求橢圓方程為 (2)設(shè)點(diǎn)Q考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)輔助角公式。 點(diǎn)評：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

30、，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，簡化解題過程。通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到三角函數(shù)式，應(yīng)用輔助角公式“化一”后，確定數(shù)量積的范圍。16、已知橢圓 （）設(shè)橢圓的半焦距，且成等差數(shù)列，求橢圓的方程； （）設(shè)（1）中的橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍【解析】（）由已知：，且，解得， 4分 所以橢圓的方程是 （）將代入橢圓方程，得，化簡得， 設(shè)，則， 所以， ， 由，所以的取值范圍是. 考點(diǎn)：橢圓方程性質(zhì)及橢圓與直線的位置關(guān)系 點(diǎn)評：橢圓中離心率，當(dāng)直線與橢圓相交時，常將直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求的方

31、法將所求問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)坐標(biāo)表示17、已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上. ()求橢圓的方程； ()已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為 由橢圓定義， . 故所求的橢圓方程為.（2）設(shè) 點(diǎn)在橢圓上， 有最小值；，有最大值 ，的范圍是 考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系 點(diǎn)評：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。垂直平分線類1、如圖，A點(diǎn)在x軸上方，外接圓半徑，弦在軸上且軸垂直平分邊， (1)求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)求過點(diǎn)且以為焦點(diǎn)的橢圓方程【答案】(1) (2)【解析】本試題主要是考查了圓與直線的位置關(guān)系，以及橢圓方程的求解。 （1）因

32、為根據(jù)已知可知外接圓半徑，那么可知外接圓的半徑，然后得到方程。 （2）根據(jù)過點(diǎn)且以為焦點(diǎn)的橢圓，那么可知橢圓中的長軸長為20，焦距為10，因此可知橢圓方程。 2、在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓為 （1）若一直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，且線段恰以點(diǎn)為中點(diǎn)，求直線的方程； （2）若過點(diǎn)的直線（非軸）與橢圓相交于兩個不同點(diǎn)試問在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由. 【解析】（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點(diǎn) 設(shè)點(diǎn)，由已知，則有 兩式相減，得 而直線的斜率為 直線的方程為 （2） 假定存在定點(diǎn)，使恒為定值 由于直線不可能為軸 于是可設(shè)直線的方程為且設(shè)點(diǎn) 將代

33、入得 . 顯然 ， 則 若存在定點(diǎn)使為定值（與值無關(guān)），則必有 在軸上存在定點(diǎn)，使恒為定值3、如圖：已知橢圓是長軸的一個端點(diǎn)，弦BC過橢圓的中心O，且. （1）求橢圓的方程； （2）若AB上的一點(diǎn)F滿足求證：CF平分BCA； （3）對于橢圓上的兩點(diǎn)P、Q，PCQ的平分線總是垂直于x軸時，是否存在實(shí)數(shù)，使得 【解析】(I) 又 AOC是等腰直角三角形. A（2，0），C（1，1）而點(diǎn)C在橢圓上， .所求橢圓方程為 （）證明C（1，1），則B（1，1） 又 即點(diǎn)F分所成的定比為2.設(shè) CFx軸，ACF=FCB=45，即CF平分BCA. （）對于橢圓上兩點(diǎn)P、Q，PCQ的平分線總是垂直于x軸 PC與

34、CQ所在直線關(guān)于x=1對稱，kpC=k，則kcQ=k， 設(shè)C（1，1），則PC的直線方程y1=k(x1)y=k(x1)+1 QC的直線方y(tǒng)1=k(x1) y=k(x1)+1 將代入得(1+3k2)x26k(k1)x+3k26k1=0 C（1，1）在橢圓上，x=1是方程的一個根， xp1=1同理將代入x2+3y2=4得 （1+3k2）x26k(k+1)x+3k2+6k1=0 C（1，1）在橢圓上，x=1是方程的一個根， xQ1= 存在實(shí)數(shù)，使得.4、已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切. （I）求橢圓的方程； （II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于

35、橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；【解析】（） 直線相切， 橢圓C1的方程是 （）MP=MF2， 動點(diǎn)M到定直線的距離等于它到定點(diǎn)F1（1，0）的距離， 動點(diǎn)M的軌跡是C為l1準(zhǔn)線，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線 點(diǎn)M的軌跡C2的方程為5、(本小題滿分14分) 已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，且橢圓上的點(diǎn)到的最小距離為. （）求橢圓的方程； （）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中垂線交軸于，求m的取值范圍.【解析】（）由題意可設(shè)橢圓為， ，故橢圓的方程為 （）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，線段的中垂線為軸，； 8分 當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，代入得： ，由得， 設(shè)，則， ， 線段的中點(diǎn)為，

36、中垂線方程為，令得. 由，易得. 綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 6、 如圖所示，已知圓，為定點(diǎn)，為圓上的動點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線E. （）求曲線的方程； （）過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中垂線交軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】（）由題意知，. 又， 動點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓的長軸長， 焦距. ， 曲線的方程為（）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，線段的中垂線為軸，；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，代入 得： ，由得， 設(shè)，則， ， 線段的中點(diǎn)為，中垂線方程為， 令得. 由，易得. 綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是. 7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且

37、橢圓E上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之和為4；，是過點(diǎn)且相互垂直的兩條直線，交橢圓E于，兩點(diǎn)，交橢圓E于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)分別為， （1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求直線的斜率的取值范圍； （3）求證直線與直線的斜率乘積為定值【解析】（1）設(shè)橢圓E的方程為， 由得所以所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，由于，則， 由消去并化簡整理，得，根據(jù)題意，解得 ，同理可得，即， 有，解得（3）設(shè)，那么， 則 ，即，同理可得，即， ，即直線與直線的斜率乘積為定值8、已知橢圓C:,點(diǎn)M(2,1). （1）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率； （2）求通過M點(diǎn)且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程.【解析】（1

38、）由得 所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是離心率（2）顯然直線不與x軸垂直，可設(shè)此直線方程為，且它與橢圓的交點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)，則 所以： 又，所以：，直線方程為：9、如圖，橢圓C：(ab0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分 ()求橢圓C的方程； () 求ABP的面積取最大時直線l的方程 【解析】()由題：； (1) 左焦點(diǎn)(c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為： (2) 由(1) (2)可解得：所求橢圓C的方程為： ()易得直線OP的方程：yx，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)其中y0x0 A，

39、B在橢圓上， 設(shè)直線AB的方程為l：y(m0)， 代入橢圓： 顯然 m且m0 由上又有：m， |AB| 點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離為： SABPd|AB|，其中m且m0 利用導(dǎo)數(shù)解：令， 則 當(dāng)m時，有(SABP)max 此時直線l的方程10、已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為,以線段F1 F2為直徑的圓的面積為， (1)求橢圓的方程； (2) 設(shè)直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F2（l不垂直坐標(biāo)軸），且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M（m,0），試求m的取值范圍.【答案】(1)由離心率為得:= 又由線段F1 F2為直徑的圓的面積為得: c2=, c2=1 由, 解得a=,c

40、=1,b2=1,橢圓方程為 (2) 由題意，F(xiàn)2（1，0），設(shè)l的方程為 整理，得6分 因?yàn)閘過橢圓的右焦點(diǎn)， 設(shè)， 則 8分 令10分 由于11、已知：橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，e，過F1的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AF2、AB、BF2成等差數(shù)列，且AB4。 （I）求橢圓C的方程； （II）M、N是橢畫C上的兩點(diǎn)，若線段MN被直線x1平分，證明：線段MN的中垂線過定點(diǎn)?！敬鸢浮?（）、成等差數(shù)列， . ，得，又，所以， 所求的橢圓方程為：. （）設(shè)， 由題意知：，.兩式相減得：， ， 所以， 易證，此直線經(jīng)過定點(diǎn). 平行線類1、已知A1，A2，B是橢圓1（ab0）的頂點(diǎn)（如圖），直線l與橢圓交于異于頂點(diǎn)的P，Q兩點(diǎn)，且lA2B，若橢圓的離心率是，且A2B。 （1）求此橢圓的方程； （2）設(shè)直線A1P和直線BQ的傾斜角分別為，試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由。 【答案】 【解析】略2、已知橢圓：（）的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn). （i）求點(diǎn)的軌跡的方程； （ii）若為點(diǎn)的軌跡的過點(diǎn)的兩條相互垂直的弦，求四