1、初中一年級基礎數(shù)學講義一、第一講與絕對值相關的問題知識結構圖：第二，絕對值的含義：(1)幾何意義：一般來說，從數(shù)字A點到數(shù)軸上原點的距離稱為數(shù)字A的絕對值，記為|a|。(2)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值本身；(2)負數(shù)的絕對值是它的反數(shù)；(3)零的絕對值為零。也可以寫成：注：(1)|a|0表示| a |是非負數(shù)；()| a | a |概念包含分類討論的思想。典型例1。(組合數(shù)字和形狀的想法)數(shù)字軸上的A、B和C的位置如下圖所示。那么代數(shù)表達式| a | | a | | b | | c-a |-| b-c |的值等于(a)A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b解決方案：| a | | a

2、b | | c-a |-| b-c |=-a-(ab)(c-a)b-c=-3a分析：在解決絕對值問題時，經常需要去掉絕對值的符號，將其轉化為一般的有理數(shù)計算。當絕對值符號被去掉時，必須先確定絕對值符號，然后根據絕對值的代數(shù)意義去掉。本例利用數(shù)形結合的數(shù)學思想，從數(shù)軸上A、B、C的對應位置判斷絕對值符號中的數(shù)的符號，從而消除絕對值符號，完成簡化。案例2。已知：和，然后的價值A.是正數(shù)b，是負數(shù)c，是零d，符號無法確定。解答：根據問題的含義，數(shù)字軸上的X、Y和Z的位置如圖所示。因此分析：數(shù)軸是數(shù)與代數(shù)領域中數(shù)與形結合的重要載體。本例中的三個看似復雜的不平等關系，借助數(shù)軸，直觀、方便地找到了x、y、

3、z三個數(shù)的大小關系，為我們順利簡化鋪平了道路。雖然例子中沒有給出數(shù)值軸，但我們應該有把數(shù)字和形狀結合起來解決問題的意識。例3。(分類討論的思想)眾所周知，A數(shù)的絕對值是B數(shù)的絕對值的3倍，在數(shù)軸上代表這兩個數(shù)的點位于原點的兩邊，兩點之間的距離是8，所以求這兩個數(shù)；如果代表這兩個數(shù)的數(shù)軸上的點在原點的同一側呢？分析：從主題中找出解決問題的關鍵信息，“數(shù)字軸上指示這兩個數(shù)字的點位于原點的兩側”意味著數(shù)字A和B的符號是相反的，即一個是正的，一個是負的。那么誰是積極的，誰是消極的，我們應該用分類討論的數(shù)學思想來解決這個問題。解決方法：讓一個數(shù)字是x，b是y從問題的含義來看：(1)數(shù)字軸上代表這兩個數(shù)字

4、的點位于原點的兩側：如果x在原點的左側，y在原點的右側，即x0，y0，那么4y=8，所以y=2，x=-6如果x在原點的右側，y在原點的左側，即x0，y0，-4y=8，那么y=-2，x=6(2)數(shù)字軸上代表這兩個數(shù)字的點位于原點的同一側：如果x和y在原點的左側，即x0和y0，則-2y=8，所以y=-4，x=-12如果x和y在原點的右邊，即x0和y0，那么2y=8，所以y=4，x=12這個方程的解數(shù)是(d)A.1 b.2 c.3 d.infinity分析：我們用整個想法來解決這個問題。將x-2008作為一個整體，問題轉化為求解方程。利用絕對值的代數(shù)意義，我們可以很容易地得出負數(shù)和零的絕對值等于它的

5、反數(shù)，所以零和任何負數(shù)都是方程的解，也就是說，這個問題的答案是d例5。(非負數(shù))已知| AB-2 |和| A-1 |是倒數(shù)，請嘗試找出以下公式的值。分析：利用絕對值的非負性，我們可以得到：| AB-2 |=| A-1 |=0，解為：a=1，b=2因此.在對以上分數(shù)進行累加和求和的過程中，我們采用了分裂項法，巧妙地得到了最終的結果。學生可以重新思考。如果問題變成了價值，你有辦法解決它嗎？有興趣的學生可以課后繼續(xù)探索。例6。(距離問題分析：點B代表的數(shù)是-1，所以我們可以找到點B在數(shù)軸上的位置。a點怎么樣？因為x可以代表任何有理數(shù)，點a可以位于數(shù)軸上的任何地方。那么，你如何找到a點和b點之間的距離

6、？結合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)討論應該分為以下三種情況。當x-1時，距離是-x-1，當-10時，距離是x 1總而言之，我們得到點a和b之間的距離可以表示為(3)組合數(shù)軸得到的最小值為5，得到最小值時X的取值范圍為-3x_2_。分析：即x和2之差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x和2之間的距離。也就是x和-3之差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x和-3之間的距離。如圖所示，x在數(shù)軸上有三個可能的位置：圖1圖2圖3圖2符合主題(4)滿足值范圍為x-4或x-1分析：類似地，它表示數(shù)軸上的X和-1之間的距離，以及數(shù)軸上的X和-4之間的距離。主題是找出，當x是什么數(shù)時，x和-1之間的距離加上x和-4之間的距離將大于3。借助

7、數(shù)軸，我們可以得到正確的答案：x-4或x-1。注：借助數(shù)軸，絕對值問題可以轉化為數(shù)軸上的距離問題。相反，數(shù)軸上的距離問題也可以轉化為絕對值問題。這種相互轉化可以為解決某些問題帶來便利。事實上，表示的幾何意義是在數(shù)軸上表示數(shù)字A和數(shù)字B的點之間的距離。這是一個非常有用的結論。利用這個結論，結合數(shù)軸知識，我們解決了(3)和(4)兩個難題。Iii .摘要1.理解絕對值的代數(shù)和幾何意義以及絕對值的非負性2.體驗重要數(shù)學思想的應用，如數(shù)形結合、分類和討論解決問題第二講：代數(shù)表達式的簡化和評估一、知識鏈接1.“代數(shù)”是由數(shù)字或代表數(shù)字的字母與運算符號連接而成的表達式。它包括代數(shù)表達式、分數(shù)、二次根等。這是

8、初中學生應該關注的內容之一。2.通過用特定值替換代數(shù)表達式中的字母獲得的值稱為該代數(shù)表達式的值。注：一般來說，代數(shù)表達式的值隨字母的值而變化。3.找到代數(shù)表達式的值可以幫助我們實現(xiàn)簡單數(shù)學建模的好處，并為將來學習方程、函數(shù)和其他知識打下基礎。第二，典型例子例1。如果多項式的值與X無關，所追求的價值。分析：多項式的值與x無關，即包含x的項的系數(shù)都為零因為.所以m=4M=4代，用“整體思維”尋找代數(shù)表達式的價值例2。當x=-2時，代數(shù)表達式的值為8。當x=2時，求代數(shù)表達式的值。分析：因為當x=-2時，我們得到，因此當x=2時，=例3。當代數(shù)表達式的值為7時，求代數(shù)表達式的值。分析：觀察兩個代數(shù)表

9、達式的系數(shù)利用方程的同解原理整整一代人，代數(shù)表達式的求值是中考中的一個熱點問題。它的操作技巧和解決問題的方法需要我們靈活掌握，而整體替代人的方法就是其中之一。例4。已知的計算值。分析：解決方案1(整代):由所以：解2(降級):作為描述現(xiàn)實世界中等式關系的數(shù)學模型，該方程還具有降階功能。到，到，所以：解決方案3(降階、消去):(消去、相減)例5。(實際應用)甲公司和乙公司都準備從社會上招聘人才。兩家公司的招聘條件基本相同，除了以下工資差異：公司甲，年薪1萬元，年加工年齡工資200元；B公司，半年工資5000元，半年加工年齡工資50元。哪家公司對我有利從上面可以看出，B公司的年收入總是比a公司多5

10、0元，如果你不仔細檢查，你很可能會犯錯誤。例6。三個數(shù)的乘積是負的，和是正的，那么這個值就是_ _ _ _ _ _。解決方法：因為abc0，A，B和C中只有一個是負的，或者三個都是負的因為有b c0，所以a，b和c中只有一個是負的。假設a0，b0，c0然后是ab0、ac0、bc0所以x=-11 1-1 1=0將x=0代入所需的代數(shù)表達式，結果是1。同樣，當b0、c0、x=0時。另一方面，通過觀察代數(shù)表達式并交換A、B和C的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)表達式沒有改變。這樣的代數(shù)表達式變成了旋轉形式。我們不需要再討論A、B和C了。感興趣的學生可以在課后查閱數(shù)據，了解旋轉模式的重要特性。法律探索問題：1728

11、39410511612例7。如圖所示，在平面上具有公共端點的六條射線0A、0B、0C、0D、0E、0F寫數(shù)字1、2、3、4、5、6、7，在光線OA的逆時針方向上。17上的雷_ _，2008正在上映。(2)如果n是正整數(shù)，則射線OA上的數(shù)排列規(guī)則可以與n一起使用代數(shù)表達式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：OA上排列的數(shù)字是：1，7，13，19，據觀察，這一欄的后一項比前一項多6。得出的結論是，列數(shù)可以表示為6n-5因為17=36-1，所以17在射線OE上。因為2008年等于3346年4等于3356年2月，2008年是在

12、射線外徑例8。根據下表將正數(shù)和奇數(shù)排列成5列：第一列、第二列、第三列、第四列、第五列第一排1 3 5 7第二排15 13 11 9第三排17 19 21 23第四排31 29 27 25根據以上規(guī)則，2007年應該在a125行，3列，125行，2列，c251行，2列，d251行，5列分析：觀察第二、三、四列數(shù)字的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列的數(shù)字規(guī)律很容易找到。第三列數(shù)字：3，11，19，27，規(guī)則8n-5因為2007=2508 7=2518-1因此，2007應該出現(xiàn)在第一列或第五列因為第251行是奇數(shù)行，所以數(shù)字從第二列開始從小到大排列。所以2007應該在第251行第5列。例9。(嘉興市，2006)

13、對正整數(shù)N定義一個“F”運算：當N為奇數(shù)時，結果為3N 5；(2)當n是偶數(shù)時，結果是(其中k是正整數(shù)，這使得它是奇數(shù))，并且重復該操作。例如，如果n=26，則：26134411第一次F第二次f1第三次F如果n=449，第449次“f運算”的結果是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：解決問題的難點和關鍵是真正理解“f”的第二個運算，即當n是偶數(shù)時，結果是(其中k是構成奇數(shù)的正整數(shù))，并且只有當?shù)玫降纳淌瞧鏀?shù)時，運算才能完成。449奇數(shù)，通過“F”改為1352；1352是一個偶數(shù)，通過“F 2”變?yōu)?69。169是奇數(shù)，512是“F 1”后的偶數(shù)，“F 2”后的1，1是奇數(shù)，通過“

14、F”改為8，8是偶數(shù)，通過“F”改為1，我們發(fā)現(xiàn)了以下規(guī)則。經過多次運算，其結果將有一個1和8的交替循環(huán)。再看一遍，手術的數(shù)目是449，奇數(shù)。因為在第四次運算之后，所有的奇數(shù)運算得到8，偶數(shù)運算得到1，結果是8。Iii .摘要通過使用字母代數(shù)，我們對對數(shù)的理解又有了一次飛躍。我希望學生能理解用字母和一些簡單的數(shù)學模型代替數(shù)字后思維的擴展。體驗從特殊到一般，再從一般到特殊的重要方法。第三講：與單變量和單變量方程相關的問題一、知識回顧一元方程是我們知道的第一個方程，它使我們學會用代數(shù)解來解決一些用算術解不容易解決的問題。一元二次方程是初中代數(shù)的重要組成部分。它不僅鞏固和深化了以前學過的有理數(shù)部分的知識，而且為以下內容如一元二次方程、不等式、函數(shù)等打下了堅實的基礎。典型示例：第二，典型例子例1。如果x=1的一元方程的解是x=-1，那么k的值是()A.b . 1c-d . 0分析：本主題考察“方程的解”的基本概念因為x=-1是x=1的一元方程的解，所以，解決方法是k=-例2。如果方程3x-5=4與方程的解相同，A的值是多少？分析：這個問題有兩個方程。第一個方程只有一個未知的X，所以X的值可以通過解這個方程得到。在第二個方程中，有兩個未知數(shù)A和X，所以沒有其他條件就無法得到A和X的值。因