1、第三篇 電磁學(xué)第七章 真空中的靜電場(chǎng)本章只討論真空中的電場(chǎng)，下一章再討論介質(zhì)中靜電場(chǎng)。靜電場(chǎng)：相對(duì)于觀察者靜止的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。7-1 電荷 庫(kù)侖定律一、電荷1、電荷 種類 正電荷負(fù)電荷作用 同性相斥異性相吸（一般地說(shuō)：使物體帶電就是使它獲得多余的電子或從它取出一些電子）2、電荷守恒定律電荷從物體的一部分轉(zhuǎn)移到另一部分，這稱為電荷守恒定律。它是物理學(xué)的基本定律之一。3、電荷量子化在自然界中所觀察到的電荷均為基本電荷的整數(shù)倍。這也是自然界中的一條基本規(guī)律，表明電荷是量子化的。直到現(xiàn)在還沒(méi)有足夠的實(shí)驗(yàn)來(lái)否定這個(gè)規(guī)律。二、庫(kù)侖定律點(diǎn)電荷：帶電體本身線度比它到其他帶電體間的距離小得多時(shí)，帶電體的大小和

2、形狀可忽略不計(jì)，這個(gè)帶電體稱為點(diǎn)電荷。（如同質(zhì)點(diǎn)一樣，是假想模型）庫(kù)侖定律：真空中兩點(diǎn)電荷之間的相互作用力大小與他們電量乘積成正比，與他們之間距離成反比，方向在他們連線上，同性相斥、異性相吸。這叫做庫(kù)侖定律。它構(gòu)成全部靜電學(xué)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)表達(dá)式：受的作用力： 斥力（同號(hào)） 吸引（異號(hào)）采用國(guó)際單位制，其中的比例常數(shù)。寫(xiě)成矢量形式：令， （7-1）說(shuō)明：是對(duì)是作用力，是由指到的矢量。對(duì)的作用力為：庫(kù)侖定律的形式與萬(wàn)有引力定律形式相似。但前者包含吸力和斥力，后者只是引力，這是區(qū)別。7-2 電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度一、電場(chǎng)1、電荷間作用電荷間作用原有不同看法，在很長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，人們認(rèn)為帶電體之間是超距作用，即二者

3、直接作用，發(fā)生作用也不用時(shí)間傳遞。即兩種看法 超距作用：電荷電荷到了上世紀(jì)，法拉第提出新的觀點(diǎn)，認(rèn)為在帶電體周圍存在著電場(chǎng)，其他帶電體受到的電力是電場(chǎng)給予的，即場(chǎng)觀點(diǎn)：電荷場(chǎng)電荷近代物理學(xué)證明后者是正確的。2、靜電場(chǎng)的主要表現(xiàn)表現(xiàn) 電場(chǎng)力：放到電場(chǎng)中的電荷要受到電場(chǎng)力。電場(chǎng)力作功：電荷在電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力要作功。二、電場(chǎng)強(qiáng)度從靜電場(chǎng)的力的表現(xiàn)出發(fā)，利用試驗(yàn)電荷來(lái)引出電場(chǎng)強(qiáng)度概念來(lái)描述電場(chǎng)的性質(zhì)。試驗(yàn)電荷（點(diǎn)電荷且很?。?，放入A點(diǎn)，它受的電場(chǎng)力為，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，將加倍。則受的電場(chǎng)力也增加為相同的倍數(shù)，即實(shí)驗(yàn)電荷： 受力： 可見(jiàn)，這些比值都為，該比值與試驗(yàn)電荷無(wú)關(guān)，僅與A點(diǎn)電場(chǎng)性質(zhì)有關(guān)，因此，可以用

4、來(lái)描述電場(chǎng)的性質(zhì)，定義： （7-2）為電荷的電場(chǎng)在A點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。三、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理試驗(yàn)電荷放在點(diǎn)電荷系所產(chǎn)生電場(chǎng)中的A點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)表明在A處受的電場(chǎng)力是各個(gè)點(diǎn)電荷各自對(duì)作用力的矢量和，即： 按場(chǎng)強(qiáng)定義： （7-3）上式表明，點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)矢量和，這稱為場(chǎng)強(qiáng)疊加原理。四、場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算1、點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度在A處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：假設(shè)A處有試驗(yàn)電荷，受力為，有即 (7-4)由指向A， 0 與同向（由）0 ：沿x軸正向0：背離圓盤0背離平面0時(shí)，不能說(shuō)S內(nèi)只有正電荷當(dāng) 0時(shí)，不能說(shuō)S內(nèi)只有負(fù)電荷=0時(shí)，不能說(shuō)S內(nèi)無(wú)電荷注意：這些都是S內(nèi)電荷代數(shù)和的結(jié)果

5、和表現(xiàn)。高斯定理說(shuō)明與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無(wú)關(guān)，這并不是說(shuō)只與S內(nèi)電荷有關(guān)而與S外電荷無(wú)關(guān)。實(shí)際上，是由S內(nèi)、外所有電荷產(chǎn)生的結(jié)果。高斯面可由我們?nèi)芜x。二、高斯定理應(yīng)用舉例下面介紹應(yīng)用高斯定理計(jì)算幾種簡(jiǎn)單而又有對(duì)稱性的場(chǎng)強(qiáng)方法?？梢钥吹?，應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)比前面介紹的方法更為簡(jiǎn)單。例7-6：一均勻帶電球面，半徑為，電荷為，求：球面內(nèi)外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。解：由題意知，電荷分布是球?qū)ΨQ的，產(chǎn)生的電場(chǎng)是球?qū)ΨQ的，場(chǎng)強(qiáng)方向沿半徑向外，以O(shè)為球心任意球面上的各點(diǎn)值相等。球面內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)以O(shè)為圓心，通過(guò)P1點(diǎn)做半徑為的球面為高斯面，高斯定理為： 與同向，且上值不變即均勻帶電球面內(nèi)任一點(diǎn)P1場(chǎng)強(qiáng)為零。注意：

6、1）不是每個(gè)面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，而是所有面元上電荷在球面內(nèi)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的矢量和=0。2）非均勻帶電球面在球面內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)不可能都為零。（在個(gè)別點(diǎn)有可能為零）球面外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)以O(shè)為圓心，通過(guò)P2點(diǎn)以半徑做一球面作為高斯面，由高斯定理有：方向：沿方向（若，則沿方向）結(jié)論：均勻帶電球面外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，如圖電荷全部集中在球心處的點(diǎn)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)一樣。0 圖7-20例7-7：有均勻帶電的球體，半徑為，電量為，求球內(nèi)外場(chǎng)強(qiáng)（8-13）。解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場(chǎng)也具有對(duì)稱性，場(chǎng)強(qiáng)方向由球心向外輻射，在以O(shè)為圓心的任意球面上各點(diǎn)的相同。（1）球內(nèi)任一點(diǎn)P的 以O(shè)為球心，

7、過(guò)P點(diǎn)做半徑為的高斯球面S1，高斯定理為：與同向，且S1上各點(diǎn)值相等，沿方向。（若，則沿方向）結(jié)論：注意：不要認(rèn)為S1外任一電荷元在P1處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為0，而是S1外所有電荷元在P1點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的疊加為0。（2）球外任一點(diǎn)P2的以O(shè)為球心，過(guò)P2點(diǎn)做半徑為的球形高斯面S2，高斯定理為：由此有：沿方向結(jié)論：均勻帶電球體外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，如同電荷全部集中在球心處的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)一樣。 曲線如左圖。例7-8：一無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，設(shè)電荷線密度為，求直線外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。解：由題意知，這里的電場(chǎng)是關(guān)于直線軸對(duì)稱的，的方向垂直直線。在以直線為軸的任一圓柱面上的各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小是等值的。以直線為軸線，過(guò)考察點(diǎn)P做半

8、徑為高為的圓柱高斯面，上底為S1、下底為S2，側(cè)面為S3。高斯定理為： 在此，有：在S1、S2上各面元，前二項(xiàng)積分=0又 在S3上與方向一致，且=常數(shù)，即 由帶電直線指向考察點(diǎn)。（若，則由考察點(diǎn)指向帶電直線）上面結(jié)果將與例4結(jié)果一致。例7-9：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面，半徑為，電荷面密度為，求柱面內(nèi)外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。解：由題意知，柱面產(chǎn)生的電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，場(chǎng)強(qiáng)方向由柱面軸線向外輻射，并且任意以柱面軸線為軸的圓柱面上各點(diǎn)值相等。1）帶電圓柱面內(nèi)任一點(diǎn)P1的以O(shè)O為軸，過(guò)P1點(diǎn)做以為半徑高為的圓柱高斯面，上底為S1，下底為S2，側(cè)面為S3。高斯定理為：在此，有：在S1、S2上各面元，上式前二項(xiàng)積分=0，

9、又在S3上與同向，且=常數(shù)，結(jié)論：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓筒內(nèi)任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)=02）帶電柱面外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)以為軸，過(guò)P2點(diǎn)做半徑為高為的圓柱形高斯面，上底為S1，下底為S2，側(cè)面為S3。由高斯定理有：=單位長(zhǎng)柱面的電荷（電荷線密度）=，由軸線指向P2。時(shí)，沿P2指向軸線結(jié)論：無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面在其外任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，如全部電荷都集中在帶電柱面的軸線上的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)一樣。例7-10：無(wú)限大均勻帶電平面，電荷面密度為，求平面外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。解：由題意知，平面產(chǎn)生的電場(chǎng)是關(guān)于平面二側(cè)對(duì)稱的，場(chǎng)強(qiáng)方向垂直平面，距平面相同的任意二點(diǎn)處的值相等。設(shè)P為考察點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)做一底面平行于平面的關(guān)于平面又對(duì)稱的圓柱形

10、高斯面，右端面為S1，左端面為S2，側(cè)面為S3，高斯定理為：在此，有：在S3上的各面元，第三項(xiàng)積分=0又 在S1、S2上各面元與同向，且在S1、S2上=常數(shù)，有：即： （均勻電場(chǎng)）垂直平面指向考察點(diǎn)（若，則由考察點(diǎn)指向平面）。此結(jié)論與例5完全一致。例7-11：有二平行無(wú)限大均勻帶電平板A、B，電荷面密度分別為1）；2）。求：板內(nèi)、外場(chǎng)強(qiáng)。解：1）設(shè)P1為板內(nèi)任一點(diǎn)，有即： 設(shè)P2為B右側(cè)任一點(diǎn)（也可取在A左側(cè)），即 2）設(shè)P3為二板內(nèi)任一點(diǎn)，即 設(shè)P4為B右側(cè)任一點(diǎn)（也可取在A左側(cè)）即： 上面，我們應(yīng)用高斯定理求出了幾種帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，從這幾個(gè)例子看出，用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)是比較簡(jiǎn)單的。但是，我

11、們應(yīng)該明確，雖然高斯定理是普遍成立的，但是任何帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng) 不是都能由它計(jì)算出，因?yàn)檫@樣的計(jì)算是有條件的，它要求電場(chǎng)分布具有一定的對(duì)稱性，在具有某種對(duì)稱性時(shí)，才能適選高斯面，從而很方便的計(jì)算出值。應(yīng)用高斯定理時(shí)，要注意下面環(huán)節(jié)：1）分析對(duì)稱性；2）適選高斯面；3）計(jì)算 4）由高斯定理求出。 7-5 靜電場(chǎng)力的功 電勢(shì)此前，從靜電場(chǎng)力的表現(xiàn)引入了場(chǎng)強(qiáng)這一物理量來(lái)描述靜電場(chǎng)。這一節(jié)，我們將從靜電場(chǎng)力作功的表現(xiàn)來(lái)闡述電勢(shì)這一物理量來(lái)描述靜電場(chǎng)的性質(zhì)。一、靜電場(chǎng)力的功力學(xué)中引進(jìn)了保守力和非保守力的概念。保守力的特征是其功只與始末二位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。前面學(xué)過(guò)的保守力有重力、彈性力、萬(wàn)有引力等。

12、在保守力場(chǎng)中可以引進(jìn)勢(shì)能的概念，并且保守力的功=勢(shì)能增量的負(fù)值 （7-9）在此，我們研究一下靜電力是否為保守力。1、點(diǎn)電荷情況點(diǎn)電荷置于O點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)電荷由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。在c處，在位移內(nèi)，靜電力對(duì)的功為：: （7-10）可見(jiàn)：僅與的始末二位置有關(guān)，而與過(guò)程無(wú)關(guān)。2、點(diǎn)電荷系情況設(shè)在的電場(chǎng)中，由場(chǎng)強(qiáng)迭加原理有：從中，靜電場(chǎng)力的功為：上式左邊每一項(xiàng)都只與始末二位置有關(guān)，而與過(guò)程無(wú)關(guān)，點(diǎn)電荷系靜電力對(duì)作的功只與始末二位置有關(guān)，而與過(guò)程無(wú)關(guān)。3、連續(xù)帶電體情況對(duì)連續(xù)帶電體，可看成是很多個(gè)點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，所以2中結(jié)論仍成立。綜上所述，靜電場(chǎng)力為保守力（靜電場(chǎng)為保守力場(chǎng)）。在靜電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周，靜電力對(duì)

13、它作功為： （代替） （7-11）此式表明，靜電場(chǎng)中的環(huán)流=0（任何矢量沿閉合路徑的線積分稱為該矢量的環(huán)流），這一結(jié)論叫做場(chǎng)強(qiáng)環(huán)流定律。靜電場(chǎng)的環(huán)流定律是靜電場(chǎng)的重要特征之一，靜電學(xué)中的一切結(jié)論都可以從高斯定理及場(chǎng)強(qiáng)的環(huán)流定律得出。他們是靜電場(chǎng)的基本定律。（7-10）、（7-11）等價(jià)，由（7-11）知，電場(chǎng)線不可能閉合）二、電勢(shì)能 電勢(shì)1、電勢(shì)能：靜電場(chǎng)為保守力場(chǎng)，可以引進(jìn)相應(yīng)勢(shì)能的概念，此勢(shì)能叫做電勢(shì)能。設(shè)、為在a、b二點(diǎn)的電勢(shì)能，可有 （7-12）電勢(shì)能的零點(diǎn)與其他勢(shì)能零點(diǎn)一樣，也是任意選的，對(duì)于有限帶電體，一般選無(wú)限遠(yuǎn)處（電勢(shì)能只有相對(duì)意義，而無(wú)絕對(duì)意義）選，令b點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)，有結(jié)論：在

14、電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能=從該點(diǎn)移到電勢(shì)能為零處電場(chǎng)力所作的功，在此,電勢(shì)能零點(diǎn)取在無(wú)限遠(yuǎn)處。2、電勢(shì)由表達(dá)式知，它與位置a有關(guān)，還有有關(guān)。但是且僅與位置a有關(guān)，而與無(wú)關(guān)。它如同一樣，反映的是電場(chǎng)本身的性質(zhì)，該物理量稱為電勢(shì)，記做，定義：為a點(diǎn)電勢(shì)，選時(shí)，有 （7-13）選，有 （7-14）結(jié)論：電場(chǎng)中某一點(diǎn)a的電勢(shì)等于單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢(shì)為零處（即電勢(shì)能為零處）靜電力對(duì)它做的功。A點(diǎn)電勢(shì)等于把單位正電荷從該點(diǎn)移到電勢(shì)為零點(diǎn)電場(chǎng)力做的功。說(shuō)明：1）為標(biāo)量，可正、負(fù)或0。單位：2）電勢(shì)的零點(diǎn)（電勢(shì)能零點(diǎn)）任選。在理論上對(duì)有限帶電體通常取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)=0，在實(shí)用上通常取地球?yàn)殡妱?shì)零點(diǎn)。一方面因?yàn)榈厍?/p>

15、是一個(gè)很大的導(dǎo)體，它本身的電勢(shì)比較穩(wěn)定，適宜于作為電勢(shì)零點(diǎn)，另一方面任何其他地方都可以方便地將帶電體與地球比較，以確定電勢(shì)。3）電勢(shì)與電勢(shì)能是兩個(gè)不同概念，電勢(shì)是電場(chǎng)具有的性質(zhì)，而電勢(shì)能是電場(chǎng)中電荷與電場(chǎng)組成的系統(tǒng)所共有的，若電場(chǎng)中不引進(jìn)電荷也就無(wú)電勢(shì)能，但是各點(diǎn)電勢(shì)還是存在的。4）場(chǎng)強(qiáng)的方向即為電勢(shì)的降落方向。3.電勢(shì)差：電場(chǎng)中任意二點(diǎn)電勢(shì)差，稱為他們的電勢(shì)差。 （7-15）結(jié)論：a、b二點(diǎn)電勢(shì)差等于單位正電荷從靜電力做的功。三、電勢(shì)的計(jì)算1、點(diǎn)電荷電勢(shì)：2、點(diǎn)電荷系電勢(shì)設(shè)有點(diǎn)電荷， （7-16）結(jié)論：點(diǎn)電荷系中某點(diǎn)電勢(shì)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和，此結(jié)論為靜電場(chǎng)中的電勢(shì)疊加原理

16、。3、連續(xù)帶電體電勢(shì)設(shè)連續(xù)帶電體由無(wú)窮多個(gè)電荷元組成，每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷，在a處產(chǎn)生電勢(shì)為：整個(gè)帶電體在a處產(chǎn)生的電勢(shì)為：例7-12：均勻帶電圓環(huán)、半徑為，電荷為，求其軸線上任一點(diǎn)電勢(shì)。解：如圖所示，x軸在圓環(huán)軸線上， 方法一用解：圓環(huán)在其軸線上任一點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為（與x軸平行）方法二用電勢(shì)疊加原理解把圓環(huán)分成一系列電荷元，每個(gè)電荷元視為點(diǎn)電荷，在p點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)為：整個(gè)環(huán)在p點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)為：討論：1）處，2）時(shí)，環(huán)可視為點(diǎn)電荷。例7-13：一均勻帶電球面，半徑為，電荷為，求球面外任一點(diǎn)電勢(shì)。解：如圖所取坐標(biāo)，場(chǎng)強(qiáng)分布為 0（球面內(nèi)）（球面外）球面外任一點(diǎn)P1處電勢(shì)（積分與路徑無(wú)關(guān)，可沿方向）結(jié)論：

17、均勻帶電球面外任一點(diǎn)電勢(shì)，如同全部電荷都集中在球心的點(diǎn)電荷一樣。球面內(nèi)任一點(diǎn)P2電勢(shì)可見(jiàn)，球面內(nèi)任一點(diǎn)電勢(shì)與球面上電勢(shì)相等。（球面內(nèi)任一點(diǎn)，在球面內(nèi)移動(dòng)試驗(yàn)電荷時(shí)，無(wú)電場(chǎng)力作功，即電勢(shì)差=0，有上面結(jié)論）例7-14：有二個(gè)同心球面，半徑為、，電荷為，求二面的電勢(shì)差。解：方法一用解在二球面間，場(chǎng)強(qiáng)為： 方法二用電勢(shì)疊加原理解內(nèi)球面在二球面上產(chǎn)生電勢(shì)分別為：外球面在二球面上產(chǎn)生電勢(shì)分別為：二球面電勢(shì)分別為：注意電勢(shì)計(jì)算方法。7-6 等勢(shì)面 場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系一、等勢(shì)面1、等勢(shì)面：電勢(shì)相等的點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)成的曲面稱為等勢(shì)面。如：在距點(diǎn)電荷距離相等的點(diǎn)處電勢(shì)是相等的，這些點(diǎn)構(gòu)成的曲面是以點(diǎn)電荷為球心的球面

18、?？梢?jiàn)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的等勢(shì)面是一系列同心的球面，如左圖所示。2、場(chǎng)中等勢(shì)面性質(zhì)1）等勢(shì)面上移動(dòng)電荷時(shí)電場(chǎng)力不作功設(shè)：設(shè)點(diǎn)電荷沿等勢(shì)面從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)電場(chǎng)力作功為： 2）任何靜電場(chǎng)中電力線與等勢(shì)面正交證：如下圖所示，設(shè)點(diǎn)電荷自a沿等勢(shì)面發(fā)生以位移，電場(chǎng)力作功為：在等勢(shì)面上運(yùn)動(dòng)，,，即故電力線與等勢(shì)面正交，垂直于等勢(shì)面。說(shuō)明：在相鄰等勢(shì)面電勢(shì)差為常數(shù)時(shí)，等勢(shì)面密集地方場(chǎng)強(qiáng)較強(qiáng)。二、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)關(guān)系 是描述電場(chǎng)性質(zhì)的物理量，他們應(yīng)有一定的關(guān)系， 前面已學(xué)過(guò)、之間有一種積分關(guān)系 （無(wú)限遠(yuǎn)處）那么，、之間是否還存在著微分關(guān)系呢？這正是下面要研究的問(wèn)題。如圖所示，設(shè)a、b為無(wú)限接近的二點(diǎn)，相應(yīng)所在等勢(shì)面分別為、。單位正電荷從過(guò)程中，電場(chǎng)力作功=電勢(shì)能增量負(fù)值，即 （7-17）又 代（7-17）中，有：是任意的，上式若成立必有兩邊相應(yīng)系數(shù)相等，即 （7-18） （7-19） （7-20） （矢量式） （7-21）以上是場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系。數(shù)學(xué)上，叫做的梯度，記作：（其中算符） （7-22）結(jié)論：電場(chǎng)中任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)等于電勢(shì)梯度在該點(diǎn)的負(fù)值。例7-15：用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)關(guān)系求點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)解：如圖所取坐標(biāo)，沿x軸正向，沿x軸負(fù)向。例7-16：一均勻帶電