1、（22）（本題滿分11分）已知是的特征向量，求的值，并證明的任一特征向量均能由線性表出.解 設(shè)是所對(duì)應(yīng)的特征向量，則，即即故由，知是的三重特征根.又因，從而對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè).所以的特征向量均可由線性表出.(23) （本題滿分11分）已知二次型，通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，求參數(shù)及所用正交變換矩陣.解 變換前后二次型的矩陣分別為，由正交變換性質(zhì)知，與相似，于是即將(或)代入上式，得因，故，這時(shí)其特征值分別為(與的特征值相同)當(dāng)時(shí)，解方程，得；當(dāng)時(shí)，解方程，得當(dāng)時(shí)，解方程，得將單位化，得，故所用正交變換矩陣為.(22) （本題滿分11分）設(shè)向量組，.試問(wèn)：當(dāng)滿足什么條件時(shí)(1)可由線性

2、表出，且表示唯一？(2) 不能由線性表出？(3) 可由線性表出，但表示不唯一？并求出一般表達(dá)式.解 設(shè)有一組數(shù)，使得 對(duì)應(yīng)方程組的增廣矩陣作初等行變換，有線性表出，且表示唯一.(1)當(dāng)，即時(shí)，秩=秩=3，方程組有唯一解，可由(2)當(dāng)，即時(shí)，對(duì)作初等行變換，有當(dāng)時(shí)，秩秩，方程組無(wú)解，不能由線性表出.(3)當(dāng)且時(shí)，秩=秩=23，方程組有無(wú)窮多解，可由線性表出，但表示不唯一.此時(shí)，解得(為任意常數(shù)) 因此有(23)（本題滿分11分）已知矩陣有特征值，求的值；并當(dāng)時(shí)，正交矩陣，使.解 因是矩陣的特征值，則由.可得.當(dāng)時(shí)，則由矩陣的特征多項(xiàng)式，知矩陣的特征值是1,2,5.由得基礎(chǔ)解系 由得基礎(chǔ)解系由得基礎(chǔ)解系 即矩陣屬于特征值1,2,5的特征向量分別是.由于實(shí)對(duì)稱矩陣特征值不同特征向量相互正交，故只需單位化，有，那么，令，則有.（22）設(shè)為三階矩陣，為3維列向量.若向量組線性無(wú)關(guān)，且，. (1)求矩陣的特征向量；（2）設(shè)，求.解 ，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以可逆，于是，即，則與有相同的特征值，由，得 于是的特征值為（2），的特征值為，于是的特征值為，故.（23）設(shè)實(shí)二次型經(jīng)過(guò)正交變換后得到的標(biāo)準(zhǔn)型為，是的伴隨矩陣，且向量滿足，求二次型.解 由于的特征值為，所以.對(duì)兩邊左乘，并利用得，這表明是對(duì)應(yīng)