1、相交弦、切割線、切線長定理,五 與圓有關(guān)的比例線段,一、下面我們首先沿用從特殊到一般的思路,討論與圓有關(guān)的相交弦的問題.,探究1:如圖1,AB是O的直徑,CDAB,AB與CD相交于P,線段PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？,證明:連接AD、BC.,則由圓周角定理的推論可得:AC.,RtAPDRtCPB.,探究2:將圖中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直徑（如圖），結(jié)論（）還成立嗎？,證明:連接AD、BC.,則由圓周角定理的推論可得:AC.,RtAPDRtCPB.,證明:連接AD、BC.,則由圓周角定理的推論可得:AC.,APDCPB.,探究3:上面討論了CDAB的情形進一步地,如果C

2、D 與AB不垂直，如圖, AB 、CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,結(jié)論（）還成立嗎？,PAPB=PCPD(3),綜上所述，不論AB 、 CD具有什么樣的位置，都有結(jié)論（）成立！,相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等.,幾何語言： AB 、 CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,交點為P, PAPB=PCPD.,上面通過考察相交弦交角變化中有關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理.下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比例線段,探究4:使圓的兩條弦的交點從圓內(nèi)（圖）運動到圓上（圖），再到圓外（圖），結(jié)論(1)還成立嗎？,當點P在圓上,PA=PC=0,所以PAPB=PCPD=0仍成立.,當點P在圓外,連接A

3、D、BC,容易證明:,PADPCB,所以PA:PC=PD:PB,即PAPB=PCPD仍成立.,如圖,已知點P為O外一點,割線PBA、PDC分別交O于A、B和C、D. 求證:PAPB=PCPD.,證法2：連接AC、BD， 四邊形ABDC為O 的內(nèi)接四邊形, PDB= A， 又 P=P, PBD PCA. PD ：PA=PB ：PC. PAPB=PCPD.,割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每一條割線與圓的交點的兩條線段長的乘積相等.,應用格式（幾何語言描述）: PAB,PCD是O 的割線, PAPB=PCPD.,證明:連接AC、AD,同樣可以證明,PADPCA, 所以PA:PC=PD:

4、PA, 即PA2=PCPD仍成立.,如圖,已知點P為O外一點，PA切O于點A，割線PCD 交O于C、D. 求證：PA2=PCPD.,證明：連接AC、AD， PA切O于點A,D= PAC. 又 P=P, PAC PDA. PA ：PD=PC ：PA. PA2= PCPD.,切割線定理:從圓外一點引圓的切線和條割線,切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項.,應用格式（幾何語言描述）: PA是O 的切線,PCD是O 的割線, PA=PCPD.,O,D,P,C,A,探究5:使圓的割線PD繞點P運動到切線位置，可以得出什么結(jié)論？,思考：從這幾個定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點？,1.結(jié)論都為

5、乘積式;,2.幾條線段都是從同一點出發(fā);,3.都是通過三角形相似來證明（都隱含著三角形相似）.,另外，從全等角度可以得到：,2.聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？,說明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割線定理”的特例！,例1 如圖,圓內(nèi)的兩條弦AB、CD相交于圓內(nèi)一點P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的長.,解：設(shè)CD=x,則PD=4/5x,PC=1/5x.,由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得x=10.,CD=10.,練習1.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D. (1)已知PA=5,PB=8,PC=4,則PD= ,PT= (

6、2)已知PA=5,PB=8,PO=7,則半徑R=,10,3,練習2.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D,連結(jié)AC,BD,下面各比例式中成立的有:,O,D,P,A,T,B,C,PAPB=(7-R) (7+R),PAC PDB,BED AEC,PAD PCB,E,練習3.如圖,A是O上一點,過A切線交直徑CB的延長線于點P,ADBC，D為垂足.求證：PB :PD=PO:PC.,分析：要證明PB ：PD=PO ：PC ,很明顯PB、PD、PO、PC在同一直線上無法直接用相似證明，且在圓里的比例線段通?；癁槌朔e式來證明,所以可以通過證明PB PC=PD PO,而由切割線定理有PA2=PB

7、 PC,只需再證PA2=PD PO，而PA為切線,所以連接OA,由射影定理 得到.,例2 如圖,E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點，直線EF/CB,交AD的延長線于點F，F(xiàn)G切圓于點G.求證：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.,證明： (1)EF/CB, DEF=DCB.,DCB和DAB都是 上的圓周角.,DAB =DCB=DEF.,DFE=EFA（公共角）, DFEEFA.,(2)由(1)知 DFEEFA，,EF2 =FAFD.,又FG是圓的切線，,FG2 =FAFD.,EF2 =FG2 ,即FG=EF.,例3 如圖，兩圓相交于A、B兩點，P為兩圓公共弦AB上任意一點，從P引兩圓的切線PC

8、、PD，求證：PC=PD.,PC2=PAPB, PD2=PAPB.,證明：由切割線定理可得：,PC2=PD2. 即PC=PD,例4 如圖，AB是O的直徑，過A、B引兩條弦AD和BE，相交于點C求證：ACAD+BCBE=AB2,證明：連接AC、AD，過C作CFAB,與AB交于F,AB是O的直徑，AEB=ADB=900.,又 AFC=900, A、F、C、E四點共圓., BCBE=BFBA. (1),同理可證F、B、D、C四點共圓., ACAD=AFAB. (2),(1)+(2)可得 ACAD+BCBE= AB(AF+BF)=AB2.,例5 如圖，AB、AC是O的切線，ADE是O的割線，連接CD、

9、BD 、BE 、CE.,問題1:由上述條件能推出哪些結(jié)論？, CD:CE=AC:AE, CDAE=ACCE. (2),同理可證BDAE=ACCE. (3),AC=AB,由(2)(3)可得BECD=BDCE. (4),探究1:由已知條件可知ACD=AEC,而CAD=EAC,ADCACE. (1),問題2 在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時又能推出哪些結(jié)論？,問題2 在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時又能推出哪些結(jié)論？,探究2:連接FG.與探究1所得到的結(jié)論相比較,可以猜想ACDAEC.下面給出證明.,AB2=AD

10、AE,而AB=AC,ADCACE. (5),而CAD=EAC, AC2=ADAE,同探究1的思路，還可得到探究1得出的結(jié)論(2)(3)(4).,另一方面，由于F、G、E、D四點共圓.,CFG=AEC.,又ACF=AEC.,CFG=ACF.,故FG/AC. (6),你還能推出其他結(jié)論嗎？,問題3 在圖2中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn)，使割線CFD變成切線CD,得到圖3. 此時又能推出哪些結(jié)論？,探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)(6)的所有結(jié)論.,此外，,AC/DG., ADCACE.,由(7)(8)兩式可得：ACCD=AECG. (9),連接BD、BE,延長GC到P,延長BD交AC于Q,則P

11、CQ=PGD DBE,所以C、E、B、Q四點共圓.,你還能推出其他結(jié)論嗎？,練習4. 如圖,過O外一點P作兩條割線, 分別交 O于點A、B和C、D. 再作O的切線PE, E為切點, 連接CE、DE. 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm. （1）求PC的長 ; （2）設(shè)CE=a,試用含a的代數(shù)式表示DE.,解：（1）由切割線定理，得 PC PD=PA PB,AB=3, PA=2,PB=AB+PA=5.,設(shè)PC=m, CD=4 , PD=PC+CD=m+4. m（m+4）=25,化簡，整理得：m2+4m10=0,解得： (負數(shù)不合題意，舍去),由切割線定理得: PE=PCPD=PAPB=10.,由弦切角定理,得CEP=D.,又 CPE=EPD（公共角）.,CPEEPD.,（2）設(shè)CE=a,試用含a的代數(shù)式表示DE.,練習5.如圖：過點A作O的兩條割線,分別交O于B、C和D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC