1、直線與圓綜合（定點、定值、最值問題）一、解答題1已知圓與曲線有三個不同的交點.（1）求圓的方程；（2）已知點是軸上的動點， ， 分別切圓于， 兩點.若，求及直線的方程；求證：直線恒過定點. 2在平面直角坐標系中，已知圓過坐標原點且圓心在曲線上(1)若圓分別與x軸、y軸交于點A、B(不同于原點O)，求證：的面積為定值；(2)設直線與圓交于不同的兩點，且，求圓M的方程；(3)設直線與(2)中所求圓交于點E、F， P為直線x=5上的動點，直線PE，PF與圓的另一個交點分別為G，H，且G，H在直線異側，求證：直線GH過定點，并求出定點坐標.3已知圓，直線.（1）若直線與圓交于不同的兩點,當時，求的值.

2、（2）若是直線上的動點，過作圓的兩條切線，切點為，探究：直線是否過定點；（3）若為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，求四邊形的面積的最大值.4已知平面直角坐標系內兩個定點、,滿足的點形成的曲線記為.(1)求曲線的方程;(2)過點B的直線與曲線相交于C、D兩點,當COD的面積最大時,求直線的方程(O為坐標原點);(3)設曲線分別交x、y軸的正半軸于M、N兩點,點Q是曲線位于第三象限內一段上的任意一點,連結QN交x軸于點E、連結QM交y軸于.求證四邊形MNEF的面積為定值.5已知圓，直線:x=6，圓與軸相交于點（如圖），點P(-1,2)是圓內一點，點為圓上任一點（異于點），直線與相交于點（1）若過點P

3、的直線與圓相交所得弦長等于，求直線的方程；（2）設直線的斜率分別為，求證： 為定值.6已知圓經過點，圓的圓心在圓的內部，且直線被圓所截得的弦長為.點為圓上異于的任意一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點.（1）求圓的方程；（2）求證: 為定值；（3）當取得最大值時，求7如圖，已知定圓，定直線，過的一條動直線與直線相交于，與圓相交于，兩點，是中點.（）當與垂直時，求證：過圓心；（）當時，求直線的方程；（）設，試問是否為定值，若為定值，請求出的值；若不為定值，請說明理由.8已知圓 ，相互垂直的兩條直線都過點，（1）當時，若圓心為的圓和圓外切且與直線都相切，求圓的方程；（2）當時，記被圓所截得的弦長分

4、別為，求：的值；的最大值.9已知圓C： ，直線l： （）求直線l所過定點A的坐標；（）求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值及最短弦長；（）已知點，在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數。10已知為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有.（1）求橢圓的標準方程；（2）圓是以， 為直徑的圓，直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點，若，求的值.11已知圓的圓心在坐標原點，且與直線相切（1）求直線被圓所截得的弦的長；（2）過點作兩條與圓相切的直線，切點分別為求直線的方程；（3）若與直線垂直的直線與圓交于不同的兩點，若為

5、鈍角，求直線 在軸上的截距的取值范圍12已知圓與直線相切，設點為圓上一動點， 軸于，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）直線與直線垂直且與曲線交于兩點，求面積的最大值參考答案1（1）；（2）或；過定點.【解析】試題分析：（1）由得或。直線與圓相交，故直線與圓相切，所以可用圓心到直線的距離等于，可求得；（2）設直線， 交于點，由弦長、勾股定理可求|MP|，在直角三角形AMQ，由三角形相似得，求得，設點，由距離公式求點的坐標，再結合點M的坐標求直線MQ的方程；設點，求過點Q、M的圓的方程，弦AB為兩圓的公共弦，求直線AB的方程，由方程求定點的坐標。試題解析：（1）因為直線與圓相

6、切，故圓心到直線的距離為，即： ， .所以圓的方程為.（2）設直線， 交于點，則，又，所以，而，所以，設，而點，由， ，則或，從而直線的方程為：或.證明：設點，由幾何性質可以知道， ， 在以為直徑的圓上，此圓的方程為， 為兩圓的公共弦，兩圓方程相減得，即，所以過定點.【點睛】（1）曲線表示兩直線或。兩直線與圓一相交、一相切，由相切求半徑；（2）分析圖形，在三角形OMQ中，由三角形相似求|MQ|，再由距離公式求點Q的坐標，有兩點式求直線方程；弦AB為過點Q、M的圓與圓M的公共弦，兩圓方程相減求直線AB方程，由方程求定點坐標。2(1)證明過程見解析；(2) ；（3）直線過定點.【解析】(1)由題意

7、可設圓M的方程為，即令，得；令，得(定值) (2)由，知所以，解得當時，圓心M到直線的距離小于半徑，符合題意；當時，圓心M到直線的距離大于半徑，不符合題意所以，所求圓M的方程為 (3)設，又知，所以，顯然，設，則.從而直線PE方程為：，與圓M的方程聯立，消去y，可得：，所以，即； 同理直線PF方程為：，與圓M的方程聯立，消去y，可得：，所以，即.所以 ； .消去參數m整理得 設直線的方程為，代入，整理得所以，代入式，并整理得， 即，解得或當時，直線的方程為，過定點；當時，直線的方程為，過定點第二種情況不合題意(因為在直徑的異側)，舍去.所以，直線過定點.點睛：本題的設置旨在考查直線的方程、圓的

8、方程及直線與圓的位置關系等知識的綜合運用，同時檢測學生運用所學知識去分析問題和解決問題的能力.求解第一問時，直接借助圓在坐標軸上的截距，結合三角形的面積公式進行分析推證；第二問則運用分類整合思想分別求圓的標準方程；第三問則是借助直線與圓的位置關系建立方程組，通過對方程根的分析推證進行探求，進而使得問題獲解.3（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）利用點到直線的距離公式，結合點到直線的距離，即可求解的值；（2）由題意得可知四點共圓且以為直徑的圓上，在圓上可得直線的方程，即可得到直線是否過定點；（3）設圓心到直線的距離分別為 ，則，表示出四邊形的面積，利用基本不等式，可求求四邊形的面積.

9、試題解析：（1） 點到的距離,.（2）由題意可知：四點共圓且在以為直徑的圓上，設,其方程為：,即：，又在圓上，即，由得，直線過定點.（3） 設圓心到直線的距離分別為 ,則，.當且僅當即時，取“=”.四邊形的面積的最大值為.考點：直線與圓的位置關系；兩點間的距離公式.【方法點晴】本題主要考查了直線與圓的位置及其應用問題，其中解答中涉及到點到直線的距離公式，基本不等式的應用、三角形的面積公式、直線過定點問題等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，解答中靈活應用直線與圓的位置關系、點到直線的距離、以及合理轉化是解答的關鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.4(1

10、) ;(2) ;(3)見解析【解析】試題分析：(1) 由題設知,兩邊平方化簡可得結論；(2)設直線l的方程，求出原點到直線的距離d，再利用垂徑定義求出弦長,再化簡求解，可得結論；(3) 設 (其中)，分別求出直線QM、QN的方程，即可得點E、F的坐標，由化簡求解，即可得出結論.試題解析： (1)由題設知,兩邊平方化簡得點的軌跡的方程為(2)由題意知的斜率一定存在, 設即,原點到直線的距離,當且僅當時,取得“=” 當時,此時, 直線的方程為(3)設設 (其中)則,令得,令得 (定值)5（1）或（2）-3【解析】試題分析：（1）由點到直線距離公式可得圓心到直線的距離，設直線的方程為， 由 解得，又

11、過點P且與軸垂直的直線顯然符合要求，故滿足題意的直線應為兩條；（2）方法1：聯立 得點 ，問題得證；方法2：設點的坐標為，分 ， ，兩組情況討論得證；方法3：設點的坐標為, 則，則由三點A、Q、C三點共線及直線的方程得點，表示出 ，可證為定值試題解析：（1）因直線與圓相交所得弦長等于，所以圓心到直線的距離 設直線的方程為，即 由 解得又過點P且與軸垂直的直線顯然符合要求所以直線的方程是或 （2）方法1：設點的坐標為，則直線的方程為 由 解得 從而得點 所以 方法2：設點的坐標為， 若 ，則 所以 當時，同理可得 所以為定值 方法3：設點的坐標為, 則 則三點A、Q、C三點共線及直線的方程得點

12、點睛：本題考查直線方程的求法，考查直線與圓的位置關系，注意等價的條件，同時考查聯立方程，消去變量的運算能力，屬于中檔題6（1）；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：（1）首先根據條件設出圓心及半徑，然后利用弦長公式求得半徑，再利用點到直線的距離公式求得圓心，從而求得圓的方程；（2）直線的斜率不存在可直接求出定值，直線與直線的斜率存在時，設點，由此得到直線的方程與的方程，從而求得點的坐標，進而利用向量數量積公式求出定值；（3）首先求得關于的表達式，然后根據直線與圓位置關系求得的值試題解析：（1） 易知點在線段的中垂線上，故可設,圓的半徑為直線被圓所截得的弦長為，且到直線 的距離,或.又圓的圓心

13、在圓的內部，,圓的方程.（2）證明: 當直線的斜率不存在時,. 當直線與直線的斜率存在時，設,直線的方程為令得.直線的方程為令得.,故 為定值為（3）解: 設,易知當直線與圓切于第三象限時，取得最小值，此時， 此時，故.考點：1、直線與圓的位置關系；2、向量的數量積【方法點睛】平面向量數量積的類型及求法：（1）求平面向量數量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標公式；三是利用數量積的幾何意義；（2）求較復雜的平面向量數量積的運算時，可先利用平面向量數量積的運算律或相關公式進行化簡7（I）證明見解析；（II）或；（III）的值為定值.【解析】試題分析：（I）由已知，故，所以直線的方程為，即可證明；

14、（II）當直線與軸垂直時，易知符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解；（III）當與軸垂直時，易得，求得；當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程，利用根與系數的關系，化簡即可求解定值.試題解析：（）由已知，故，所以直線的方程為.將圓心代入方程易知過圓心.（）當直線與軸垂直時，易知符合題意；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，由于，所以，由，解得.故直線的方程為或.（）當與軸垂直時，易得，又，則，故,即.當的斜率存在時，設直線的方程為，代入圓的方程得，則.，即，.又由得，則.故，綜上，的值為定值，且.另解一：連結，延長交于點，由（）知，又于，故

15、.于是有.由，得.故.另解二：連結并延長交直線于點，連結，由（）知，又，所以四點都在以為直徑的圓上，由相交弦定理得.考點：直線與圓的位置關系；向量的運算.【方法點晴】本題主要考查了直線與圓的位置關系、向量的運算，其中解答中涉及到直線的方程、點到直線的距離公式、一元二次方程中根與系數的關系等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及分類討論和轉化與化歸思想的應用，其中解答中直線方程和圓的方程聯立，利用根與系數的關系是解答的關鍵，屬于中檔試題.8（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）設出所求的圓的半徑r，利用和已知圓外切及圓心M（1，m）到點A（2，0）的距離為r，求出半徑r

16、和m的值，寫出所求圓的標準方程（2）設弦長分別為d1，d2，因為四邊形AECF是矩形，應用勾股定理和基本不等式求d12+d22的值；d1+d2的最大值試題解析:（1）設圓的半徑為,由題意得： （2） 當時,設被圓所截得的弦的中點分別為. 得即的最大值為. 9（1）直線過定點（2）（3）【解析】試題分析：（1）將直線中m合并到一起，然后令系數及剩余都為0即可得定點（2）直線l被圓C所截得的弦長最短時即當時（3）由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，則設， ，得 ，且再根據圓系方程可得對任意恒成立， 且即可求出結論試題解析： 解：（）依題意得， 令且，得直線過定點（）當時，所截得弦長最短，由

17、題知， ，得， 由得圓心到直線的距離為最短弦長為（）法一：由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，則設， ，得 ，且 整理得， 上式對任意恒成立， 且解得 或（舍去，與重合）綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數法二：設直線上的點取直線與圓的交點，則取直線與圓的交點，則令，解得或（舍去，與重合），此時若存在這樣的定點滿足題意，則必為，下證：點滿足題意，設圓上任意一點，則 綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數10（1）;（2）.【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可得，再將點代入橢圓方程得，（2）先由直線與圓相切可得,再由，得，利用直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理可得，代入化簡可得的值.

18、試題解析：（1）由題意，橢圓的長軸長，得，因為點在橢圓上，所以橢圓的標準方程為.（2）當直線與圓相切，得，即,設，由消去，整理得，由題意可知圓在橢圓內，所以直線必與橢圓相交，所以，所以，因為，所以，又因為，所以，解得.點睛：研究直線與圓錐曲線位置關系的方法研究直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達定理或求根公式進行轉化，利用根與系數關系、設而不求法簡化運算.11（1）;（2）;（3），且.【解析】【試題分析】（1）依據題設先求圓的半徑和方程，再運用弦心距、半弦長、半徑之間的關系進行分析求解；（2）依據題設條件構造圓以的方程，再運用兩圓的相交弦所在直線即為所求；（3）依據題設條件借助題設條件“為鈍角”建立不等式分析探求：（1）由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，所以圓的標準方程為： 所以圓心到直線的距離 （2）因為點,所以,所以以點為圓心，線段長為半徑的圓方程： （1）又圓方程為： （2），由得直線方程： （3）設直線的方程為： 聯立得： ，設直線與圓的交點， 由，得， （3） 因為為鈍角，所以,即滿足，且與不是反向共線，又，所以 （4）由（3）（4）得，滿足，即， 當與反向共線時，直線過原點，此時，